微積分基礎(chǔ)知識(shí)

1、4.1 4.1 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)一、一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念二、不定積分的幾何意義二、不定積分的幾何意義三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)四、基本積分公式四、基本積分公式五、不定積分的求法五、不定積分的求法 前面我們討論了一元函數(shù)的微分學(xué)，它的基前面我們討論了一元函數(shù)的微分學(xué)，它的基本問題是求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分。而在實(shí)際問本問題是求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分。而在實(shí)際問題中，還會(huì)遇到與此相反問題，即已知一個(gè)函數(shù)題中，還會(huì)遇到與此相反問題，即已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，求此函數(shù)。的導(dǎo)數(shù)或微分，求此函數(shù)。 例如：已知作非勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體在任意例如：已知

2、作非勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻時(shí)刻 的速度的速度 ，要求物體的運(yùn)動(dòng)方程：，要求物體的運(yùn)動(dòng)方程： 。這類問題在數(shù)學(xué)中歸結(jié)為求導(dǎo)運(yùn)算。這類問題在數(shù)學(xué)中歸結(jié)為求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，我們稱之為求函數(shù)的不定積分。的逆運(yùn)算，我們稱之為求函數(shù)的不定積分。)(tvv )(tss t一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 1. 1.原函數(shù)：原函數(shù)： 設(shè)設(shè) 是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù)，如果是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)存在一個(gè)函數(shù) ，使對(duì)于該區(qū)間任意，使對(duì)于該區(qū)間任意 ，都有關(guān)系式：都有關(guān)系式： 或或成立，則稱函數(shù)成立，則稱函數(shù) 為函數(shù)為函數(shù) 在該區(qū)間上在該區(qū)間上的一個(gè)的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)

3、。)(xf)(xFx)()(xfxFdxxfxdF)()()(xf)(xF例例 ),( , cossin xxx。上上的的一一個(gè)個(gè)在在是是原原函函數(shù)數(shù)),( cos sin Ixx455)(xx又因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋?55) 1(xx455)3(xx455)(xcx 所以顯然所以顯然 ， ， ， 都是都是 的一個(gè)原函數(shù)。的一個(gè)原函數(shù)。5x15x35xcx 545x 由此不難得出：由此不難得出： （1）一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不惟一，且有無窮多個(gè)。）一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不惟一，且有無窮多個(gè)。 （2）同一函數(shù)的原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。）同一函數(shù)的原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。 （3）若）若 為為 的一個(gè)原函數(shù)，則的一

4、個(gè)原函數(shù)，則 表示表示 的所有原函數(shù)。的所有原函數(shù)。 CxF)()(xF)(xf)(xf2. 不定積分的定義：不定積分的定義： 設(shè)設(shè) 是是 在區(qū)間在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則函上的一個(gè)原函數(shù)，則函數(shù)數(shù) 的全體原函數(shù)的全體原函數(shù) （c為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） )(xF)(xfCxF)()(xf任意常數(shù)任意常數(shù)積分符號(hào)積分符號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量 3.如何求不定積分如何求不定積分稱為稱為 在該區(qū)間在該區(qū)間I上的不定積分。上的不定積分。)(xf即：即：例例1解：解：Ccosdsinxxx例例2解：解：求求dxx211 dsin xx求求xxsin

5、)cos(因?yàn)橐驗(yàn)閤cosxsin所以所以是是的一個(gè)原函數(shù)，從而有的一個(gè)原函數(shù)，從而有因?yàn)橐驗(yàn)?11)(arctanxx所以所以xarctan是是211x的一個(gè)原函數(shù)，從而有的一個(gè)原函數(shù)，從而有cxdxxarctan112從從而而有有的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是所所以以 ,|ln xx1例例3dxx1求求),(|ln01xxx因?yàn)橐驗(yàn)閏xdxx|ln1 結(jié)論結(jié)論 （3）不是每個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上都有原函）不是每個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上都有原函數(shù)；在數(shù)；在 定義區(qū)間上的定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)（即：一定有不定積分）。（即：一定有不定積分）。 （1）求函數(shù)）求函數(shù) 的的 不定積

6、分就是求不定積分就是求 的全體原函數(shù)，實(shí)際上只需求出它的一個(gè)原的全體原函數(shù)，實(shí)際上只需求出它的一個(gè)原函數(shù)，再加上一個(gè)常數(shù)函數(shù)，再加上一個(gè)常數(shù) C 即可。即可。 )(xf)(xf （2）檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否的方法是：積）檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否的方法是：積分結(jié)果的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù)。分結(jié)果的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù)。)(xf)(xF)(xFy )(xf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為，則，則 在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而而的全部積分曲線的全部積分曲線)(xf)(xF.)(cxFy所組成的積分曲線族。其方程為所組成的積分曲線族。其方

7、程為cxFy)(yo的圖象顯然可由這條曲線沿的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動(dòng)就可以得到，這樣就得到一族曲線，或向下平行移動(dòng)就可以得到，這樣就得到一族曲線， 因此，不定積分的幾何意義是因此，不定積分的幾何意義是軸向上軸向上)(xFy 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為，則，則 在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而而)(xf)(xF.)(cxFy所組成的積分曲線族。其方程為所組成的積分曲線族。其方程為cxFy)(yo的圖象顯然可由這條曲線沿的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動(dòng)就可以得到，這樣就得到一族曲線，或向下平行移動(dòng)就可以

8、得到，這樣就得到一族曲線， 因此，不定積分的幾何意義是因此，不定積分的幾何意義是軸向上軸向上)(xFy 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為，則，則 在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而而)(xf)(xF二、不定積分的幾何意義二、不定積分的幾何意義如下圖所示：如下圖所示： xyx0cxFy)()(xf斜率斜率)(xFy 例例4 4 設(shè)曲線通過點(diǎn)（設(shè)曲線通過點(diǎn)（1, 2），且其上任一點(diǎn)處的切），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解 設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy

9、 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2)(xxf 即即)(xf是是x2的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). ,2Cx ,C)(2 xxf由曲線通過點(diǎn)（由曲線通過點(diǎn)（1，2）, 1C 所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy xxd2三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)（k是常數(shù)，是常數(shù)，)0 k 定理定理1 微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算，即微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算，即 dxxfdxxfdxfdxxf)()()()()(或或1cxFxdFcxFdxxF)()()()()(或或2dxxfkdxxkf)()(定理定理2定理定理3dxxgdxxfdxxgxf)()()()( niiniidxxfdxxf11)()(推

10、論推論 積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此，積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此，對(duì)每一對(duì)每一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式都可以得出一個(gè)相應(yīng)的積分公式個(gè)導(dǎo)數(shù)公式都可以得出一個(gè)相應(yīng)的積分公式。四、基本積分公式四、基本積分公式 將基本導(dǎo)數(shù)公式將基本導(dǎo)數(shù)公式從右往左從右往左讀，（然后稍加整理）讀，（然后稍加整理）可以得出可以得出基本積分公式（基本積分表）基本積分公式（基本積分表）?；颈痉e積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)); dxx )(2 dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(;sinCx ;cotarcCx ;arccosCx xdxsin)7(;

11、cosCx xdx)3(;|lnCx );(111 Cx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsh)14(;chCx xdxch)15(.shCx xdx2sec )8(;tanCx xdx2csc )9(;cotCx 基基本本積積分分表表1.直接積分法直接積分法（直接利用直接利用基本積分公式與性質(zhì)求基本積分公式與性質(zhì)求積分）積分）解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)根據(jù)冪函數(shù)的積分公式冪函數(shù)的積分公式Cxdxx 11 例例5 5 求下列函數(shù)的不定積分求

12、下列函數(shù)的不定積分（恒等變形法恒等變形法） 五、五、 不定積分的求法：不定積分的求法：.2dxxx (1)dxxx)1sin43()2(2 解解:dxxx)1sin43(2 C xxxcos43dxxxxx)35(cos)3(3 cxxxx 131|ln35ln5sin131cxxxx 3443|ln35ln5sin解解:原式原式例例6 求下列函數(shù)的不定積分求下列函數(shù)的不定積分dxxxxx )1(1)(221dxxxxx )1()1(22解：原式解：原式dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx dxxxx )1 (21 ) 2(222dxxxxx )1(12222）（d

13、xxdxx 22111.arctan1Cxx 解：原式解：原式dxxx 241)3(解：原式解：原式dxxx 24111 ）（dxxx）（ 22111.arctan33Cxxx dxxx 2sincos1)4(22解：原式解：原式dxxx)( cos1cos122dx x )cos1(2C.xx )sin(2 xdx2cot (5)解：原解：原 式式 dxx)1(csc2 dxxdx2csc.cotCxx dxexx2 (6)解：原解：原 式式 dxex)2(ceex )2ln()2(cexx 2ln12 dxexxx1235 )7(解：原解：原 式式 dxexx)2)(23()25(21( dxedxxx)2()23()25(21.)2()2ln1(23)25()2ln5(ln21Cexx 解解,sinsec)(2xxxf dxxx sinsec2由由,costanCxx , 5)0( f及及, 6 C得得所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)。是是xx