必修五解三角形?？碱}型

1、 必修五解三角形?？碱}型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理典型題剖析考察點(diǎn)1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值圍?？疾禳c(diǎn)2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3在ABC中，·tanB=·tanA，判斷三角形ABC的形狀。例4在ABC中，如果，并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀。考察點(diǎn)3：利用正弦定理證明三角恒等式例5在ABC中，求證.例6在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，C=2B，求證.考察點(diǎn)4：求三角形的面積例7在ABC中，a,b,c分別是三

2、個角A,B,C的對邊，若,求ABC的面積S.例8已知ABC中a,b,c分別是三個角A,B,C的對邊，ABC的外接圓半徑為12，且,求ABC的面積S的最大值?？疾禳c(diǎn)5：與正弦定理有關(guān)的綜合問題例9已知ABC的角A,B極其對邊a,b滿足求角C例10在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a,b,c,且c=10,，求a,b與ABC的切圓半徑。易錯疑難辨析易錯點(diǎn) 利用正弦定理解題時，出現(xiàn)漏解或增解易錯點(diǎn)辨析本節(jié)知識在理解與運(yùn)用中常出現(xiàn)的錯誤有：（1）已知兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，出現(xiàn)漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時，出現(xiàn)漏解的情況。例1（1） 在ABC中，（2） 在ABC中

3、，易錯點(diǎn) 忽略三角形本身的隱含條件致錯易錯點(diǎn)解析解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如角和為180°等造成的錯誤。例2在ABC中，若求的取值圍。高考真題評析例1（2010·高考）已知a，b，c分別是ABC的三個角A，B，C所對的邊，若則例2（2010·高考）如圖1-9所示，在ABC中，若則ABC1圖1-9例3（2010·高考）在ABC中，則等于（ ）例4（2010·高考）在ABC中，（1）求證 ；（2）若，求的值。1.1.2 余弦定理典型題剖析考察點(diǎn)1： 利用余弦定理解三角形例1：已知ABC中，求A，C和。例2：ABC中，已知，求A，B，C考

4、察點(diǎn)2： 利用余弦定理判斷三角形的形狀例3：在ABC中，已知且，試判斷ABC的形狀。例4：已知鈍角三角形ABC的三邊求k的取值圍?？疾禳c(diǎn)3：利用余弦定理證明三角形中的等式問題例5在中，a,b,c分別是角A，B，C的對邊，（1）求證（2）求證例6在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c。（1）求證（2）求證考察點(diǎn)4：正余弦定理的綜合應(yīng)用例7：在中，已知例8：設(shè)的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求A的大小；（2）求的值。例9：設(shè)得到角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求邊長a；（2）若的面積S=10，求的周長。易錯疑難解析易錯點(diǎn) 利用余弦定理判斷三角形的形狀時出現(xiàn)漏解情況易錯

5、點(diǎn)辨析在等式兩邊同時約去一個因式時，需要十分小心，當(dāng)該因式恒正或恒負(fù)時可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導(dǎo)致漏解。例1：在中，已知試判斷的形狀易錯點(diǎn) 易忽略題中的隱含條件而導(dǎo)致錯誤易錯點(diǎn)辨析我們在解題時要善于應(yīng)用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細(xì)致地分析問題，如下列題中的ba就是一個重要條件。例2：在中，已知求。高考真題評析例1：（2011.模擬）在中，D為BC邊上一點(diǎn)，若則例2：（2010.高考）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若則A等于（ ）A30° B.60° C.120° D.150°例3：（2010.高考）某班設(shè)計了一個八邊

6、形的班徽（如圖1-14所示），它由腰長為1，頂角為a的四個等腰三角形，與其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（ ）A. B.C. D.例4：（2010.高考）設(shè)是銳角三角形，a，b，c分別是角A，B，C所對邊長，且。（1）求角A的值；（2）若，求b，c（其中bc）例5：（高考）如圖1-15所示，在中，已知B=45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的長。圖1-15例6：（2010.高考）在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若求的值。必修五解三角形?？碱}型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理典型題剖析考察點(diǎn)1：利用正弦定理解三角形例1 在

7、ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.點(diǎn)撥 本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形角和定理與正弦定理的變形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：解題策略要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應(yīng)用。例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值圍。點(diǎn)撥 此題可先運(yùn)用正弦定理將a+b表示為某個角的三角函數(shù)，然后再求解。解：C=30°，c=+，由正弦定理得： a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150°-A）.a+b=2(+)sinA+sin(150°-A)= 2(

8、+)·2sin75°·cos(75°-A)= cos(75°-A) 當(dāng)75°-A=0°，即A=75°時，a+b取得最大值=8+4； A=180°-(C+B)=150°-B,A150°，0°A150°,-75°75°-A75°，cos75°cos(75°-A)1， cos75°=×=+.綜合可得a+b的取值圍為(+,8+4>考察點(diǎn)2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3在ABC中，·tan

9、B=·tanA，判斷三角形ABC的形狀。點(diǎn)撥通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷ABC的形狀。解：由正弦定理變式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，.為等腰三角形或直角三角形。解題策略“在ABC中，由得A=B”是常犯的錯誤，應(yīng)認(rèn)真體會上述解答過程中“A=B或A+B=”的導(dǎo)出過程。例4在ABC中，如果，并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀。點(diǎn)撥通過正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來判斷ABC的形狀。解：.又B為銳角，B=45°.由由正弦定理，得,代入上式得：考察點(diǎn)3：利用正弦定理證明三角恒等式例5在ABC中，求證.點(diǎn)撥觀察等式的特

10、點(diǎn)，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為.證明：由正弦定理的變式得：同理解題策略在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時，常運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，然后利用三角知識去解決，要注意體會其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。例6在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，C=2B，求證.點(diǎn)撥本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用.證明：解題策略有關(guān)三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質(zhì)?？疾禳c(diǎn)4：求三角形的面積例7在ABC中，a,b,c分別是三個角A,B,C的對邊，若,求ABC的面積S.點(diǎn)撥先利用三角公式求出sinB,sinA 與邊c，再求面積。解：由題意，得B為銳角，由正弦定理得解題策

11、略在ABC中，以下三角關(guān)系式在解答三角形問題時經(jīng)常用到，要記準(zhǔn)、記熟，并能靈活應(yīng)用，例8已知ABC中a,b,c分別是三個角A,B,C的對邊，ABC的外接圓半徑為12，且,求ABC的面積S的最大值。點(diǎn)撥本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應(yīng)用。解：解題策略把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值。考察點(diǎn)5：與正弦定理有關(guān)的綜合問題例9已知ABC的角A,B極其對邊a,b滿足求角C點(diǎn)撥本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎(chǔ)知識，考察運(yùn)算能力、分析能力和轉(zhuǎn)化能力。解法1：（R為ABC的外接圓半徑），又A,B為三角形的角，當(dāng)時，由已知得綜上可知，

12、角.解法2：由與正弦定理得，從而即又0A+B，解題策略切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡的常用方法，熟練運(yùn)用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵。例10在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a,b,c,且c=10,，求a,b與ABC的切圓半徑。點(diǎn)撥欲求邊，應(yīng)將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。解：變形為又ABC是直角三角形。由解得解題策略解此類問題應(yīng)注意定理與條件的綜合應(yīng)用。-易錯疑難辨析易錯點(diǎn) 利用正弦定理解題時，出現(xiàn)漏解或增解易錯點(diǎn)辨析本節(jié)知識在理解與運(yùn)用中常出現(xiàn)的錯誤有：（1）已知兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，出現(xiàn)漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時，出現(xiàn)漏解的情況。例1（3）

13、 在ABC中，（4） 在ABC中，錯解（1） 由正弦定理得（2） 由正弦定理得點(diǎn)撥（1）漏解，由（0°B180°）可得因?yàn)閎a,所以兩解都存在。（2）增解。由（0°B180°）可得，因?yàn)閎a,根據(jù)三角形邊對大角可知BA,所以不符合條件，應(yīng)舍去。正解（1）由正弦定理得又0°B180°（經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意）（2）由正弦定理得又0°B180°ba,根據(jù)三角形邊對大角可知BA，不符合條件，應(yīng)舍去，。易錯點(diǎn) 忽略三角形本身的隱含條件致錯易錯點(diǎn)解析解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如角和為180°等造成的錯誤。例2

14、在ABC中，若求的取值圍。錯解由正弦定理得點(diǎn)撥在上述解題過程中，得到了后，忽略了三角形的角和定理與隱含的均為正角這一條件。正解由正弦定理可知0°B45°，1.13，故13.高考真題評析例1（2010·高考）已知a，b，c分別是ABC的三個角A，B，C所對的邊，若則命題立意本題主要考察正弦定理和三角形邊對大角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定角C的值。點(diǎn)撥在ABC中，又，故，由正弦定理知又ab，因此從而可知，即。故填1.名師點(diǎn)評解三角形相關(guān)問題時，應(yīng)靈活掌握邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)邊角互化。例2（2010·高考）如圖1-9所示，在ABC中，若則命題立意本題考查利用正弦定理解決

15、三角形問題，同時要注意利用正弦定理得到的兩解如何取舍。點(diǎn)撥由正弦定理得，C為鈍角，B必為銳角，故填1名師點(diǎn)評在圍，正弦值等于的角有兩個，因?yàn)榻荂為鈍角，所以角B必為銳角，防止忽略角的圍而出現(xiàn)增解ABC1圖1-9例3（2010·高考）在ABC中，則等于（ ）命題立意本題考查正弦定理與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是確定角B的圍。點(diǎn)撥由正弦定理得，B為銳角。，故選D名師點(diǎn)評根據(jù)三角形性質(zhì)大邊對大角準(zhǔn)確判斷角B的圍，從而確定角B的余弦值。例4（2010·高考）在ABC中，（1）求證 ；（2）若，求的值。命題立意本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

16、、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，同時考察基本運(yùn)算能力。證明：（1）在ABC中，由正弦定理與已知，得。于是即因?yàn)锽-C，從而B-C=0，所以B=C .解：（2）由和（1）得，故又02B，于是從而，。所以名師點(diǎn)評（1）證角相等，故由正弦定理化邊為角。（2）在（1）的基礎(chǔ)上找角A與角B的函數(shù)關(guān)系，在求2B的正弦值時要先判斷2B的取值圍。1.1.2 余弦定理典型題剖析考察點(diǎn)1： 利用余弦定理解三角形例1：已知ABC中，求A，C和。點(diǎn)撥解答本題可先由余弦定理列出關(guān)于邊長的方程，首先求出邊長，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的邊和角。解法1：由正弦定理得，解得或6.當(dāng)

17、時，當(dāng)時，由正弦定理得解法2：由，知本題有兩解。由正弦定理得，或，當(dāng)時，由勾股定理得：當(dāng)時，ABC為等腰三角形，。解題策略比較兩種解法，從中體會各自的優(yōu)點(diǎn)，從而探索出適合自己思維的解題規(guī)律和方法。三角形中已知兩邊和一角，有兩種解法。方法一利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系列出方程，利用解方程的方法求出第三邊的長，這樣可免去判斷取舍的麻煩。方法二直接運(yùn)用正弦定理，先求角再求邊。例2：ABC中，已知，求A，B，C點(diǎn)撥解答本題可由余弦定理求出角的余弦值，進(jìn)而求得各角的值。解法1：由余弦定理得：。因?yàn)樗?。因?yàn)樗砸驗(yàn)樗越夥?：由解法1知，由正弦定理得，因?yàn)椋訠C，所以角C應(yīng)該是銳角，因此。又

18、因?yàn)樗越忸}策略已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止增解或漏解?？疾禳c(diǎn)2： 利用余弦定理判斷三角形的形狀例3：在ABC中，已知且，試判斷ABC的形狀。點(diǎn)撥本題主要考察利用正弦定理或余弦定理判斷三角形的形狀，從問題的已知條出發(fā)，找到三角形邊角之間的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀。解法1：（角化邊）由正弦定理得，由，得。又由余弦定理的推論得。即。又為等邊三角形。解法2：（邊化角）又，又A與B均為的角，A=B.又由，得，即由余弦定理得，而0°C180°，又為等邊三角形。解題策略已知三角形關(guān)系中的邊角關(guān)系式判斷三

19、角形的形狀，有兩條思考路線：一是化邊為角，求出三個角之間的關(guān)系式；二是化角為邊，求出三條邊之間的關(guān)系式，種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理。例4：已知鈍角三角形ABC的三邊求k的取值圍。點(diǎn)撥由題意知ABC為鈍角三角形，按三角形邊對大角的原則，結(jié)合a,b,c的大小關(guān)系，故必有C角最大且為鈍角，于是可有余弦定力理求出k的取值圍。解：0，解得-2k6.而k+k+2k+4，k2.故2k6.故k的取值圍是解題策略應(yīng)用三角形三邊關(guān)系時，應(yīng)注意大邊對大角?？疾禳c(diǎn)3：利用余弦定理證明三角形中的等式問題例5在中，a,b,c分別是角A，B，C的對邊，（1）求證（2）求證點(diǎn)撥本題考察余弦定理與余弦定理與二倍角公式的綜

20、合應(yīng)用。證明：（1）左邊右邊，故原式成立。（2）左邊右邊，故原式成立。解題策略（1）小題利用余弦定理將角化為邊。（2）小題先降冪，然后利用余弦定理將角化為邊。例6在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c。（1）求證（2）求證點(diǎn)撥本題考察余弦定理與余弦定理與兩角和差正弦公式的綜合應(yīng)用證明：（1）由得；。又故原式成立。（2）左邊右邊。故原式成立?？疾禳c(diǎn)4：正余弦定理的綜合應(yīng)用例7：在中，已知點(diǎn)撥本題主要考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用。解：a0,c0,由正弦定理得或.由知ab,若則與已知矛盾。解題策略本題邊未知，已知一角，所以考慮使用余弦定理得a，c的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理求注意特殊角的三角函數(shù)值，如：例

21、8：設(shè)的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求A的大??；（2）求的值。點(diǎn)撥本題考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的綜合應(yīng)用。解：（1）由余弦定理得所以（2）。例9：設(shè)得到角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求邊長a；（2）若的面積S=10，求的周長。點(diǎn)撥本題考察正弦定理、余弦定理、三角形面積公式與同腳三角函數(shù)關(guān)系式的綜合應(yīng)用。解：（1）已知將兩式相除，有又由知0，則，則（2）由得由得。故。解題策略把已知兩個關(guān)系式相除是本題的難點(diǎn)，也是解決此題的關(guān)鍵，相除之后出現(xiàn)，使用正弦定理使問題得到順利解決。易錯疑難解析易錯點(diǎn) 利用余弦定理判斷三角形的形狀時出現(xiàn)漏解情況易錯點(diǎn)辨析在等式兩邊

22、同時約去一個因式時，需要十分小心，當(dāng)該因式恒正或恒負(fù)時可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導(dǎo)致漏解。例1：在中，已知試判斷的形狀。錯解由余弦定理得：故為直角三角形。點(diǎn)撥利用余弦定理把已知等式中角的形式轉(zhuǎn)化為邊的形式，其思路是正確的，但是在等式變形中約去了可能為零的因式，產(chǎn)生了漏解的情況，導(dǎo)致結(jié)論錯誤。正解由余弦定理得：或。為等腰三角形或直角三角形。易錯點(diǎn) 易忽略題中的隱含條件而導(dǎo)致錯誤易錯點(diǎn)辨析我們在解題時要善于應(yīng)用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細(xì)致地分析問題，如下列題中的ba就是一個重要條件。例2：在中，已知求。錯解由余弦定理，得由正弦定理，得又0°A180°，

23、或.點(diǎn)撥注意到已知條件中這一隱含條件，則，顯然是不可能的。正解由余弦定理，得又由正弦定理，得ba，BA.又0°A180°，高考真題評析例1：（2011.模擬）在中，D為BC邊上一點(diǎn)，若則命題立意本題主要考察余弦定理與方程組的應(yīng)用。點(diǎn)撥如圖1-13所示，設(shè)則再設(shè)則在中，由余弦定理得。在中，由余弦定理得。由得解得（負(fù)值舍去），故填。名師點(diǎn)評根據(jù)題意畫出示意圖由CD=2BD,AC=AB,設(shè)出未知量，在兩個三角形中分別利用余弦定理，然后聯(lián)立方程組求解。圖1-13例2：（2010.高考）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若則A等于（ ）A30° B.60° C.120° D.150°命題立意本題考察正、余弦定理的綜合應(yīng)用，考察分析問題、解決問題的能力。點(diǎn)撥由根據(jù)正弦定理得代入得即，由余弦定理得又0°A180°，故選A名師點(diǎn)評應(yīng)用正弦定理把已知條件中轉(zhuǎn)化成邊b，c的關(guān)系，再代入已知得a，b的關(guān)系，利用余弦定理變形形式求角的余弦值。例3：（2010.高考）某班設(shè)計了一個八邊形的