546教學(xué)一得如何求圓錐曲線中點(diǎn)弦的軌跡方程

1、教學(xué)一得：如何求圓錐曲線中點(diǎn)弦的軌跡方程冰兒求曲線的軌跡方程時(shí)，要仔細(xì)審題，尋找和確定求解途徑，分清解題步驟，逐步推演，綜合陳述完整作答，但求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題題把基礎(chǔ)知識(shí)、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融為一體。有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題，主要有以下三種類(lèi)型：過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦。其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法等，現(xiàn)具體介紹以上幾種弦中點(diǎn)軌跡方程的求法。一、求圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)弦的軌跡方程。其求法：（1）用直線的點(diǎn)斜式，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)它的方程為y=

2、k(x-x0)+y0代入F(x,y)=0中。由韋達(dá)定理得x1+x2=f(k)。設(shè)中點(diǎn)M(x,y)，則,將代入上式得G(x,y)=0。當(dāng)P在圓錐曲線外部時(shí)，再由直線與圓錐曲線相交的條件>0。求中點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y的取值范圍。最后檢驗(yàn)斜率不存在時(shí)x=x0與圓錐曲線的弦AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是否滿足G(x,y)=0(2)代點(diǎn)相減法也稱(chēng)“點(diǎn)差法”；例1，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作弦。求弦中點(diǎn)的軌跡方程。精析：由已知能得到什么，與弦中點(diǎn)的軌跡方程如何轉(zhuǎn)化，畫(huà)出草圖進(jìn)行分析，尋求解答。方法一：巧解：設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)F（-1，0）的弦與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)。設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）,弦中點(diǎn)為M（x,y）,則 由-

3、整理得 4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0又因?yàn)閤1+x2=2x. y1+y2=2y所以 8x(x1-x2)+10(y1-y2)=0當(dāng)x1x2時(shí) 由題意知 由、整理得 當(dāng)x1=x2時(shí)M(-1,0)滿足上式。方法二：橢圓的左焦點(diǎn)為F（-1，0），設(shè)焦點(diǎn)弦所在的直線方程為y=k(x+1)代入橢圓方程并整理得 設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)M(x,y),則 所以 將代入y=k(x+1)得；當(dāng)k不存在時(shí)，弦中點(diǎn)為（-1，0）滿足上述方程即 為所求的軌跡方程二、求圓錐曲線中斜率為定值的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程；利用直線的斜截式方程：設(shè)平行弦所在的方程為y=

4、kx+m(m為參數(shù))代入F(x,y)=0中。利用韋達(dá)定理得x1+x2=f(k,m)，設(shè)中點(diǎn)M(x,y),則,y =kx+m,從中消去M，可得G（x,y）=0,再由直線與圓錐曲線相交的條件>0.得M的坐標(biāo)x，y的取值范圍。代點(diǎn)相減法；例2、求的斜率為k的平行弦中點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)平行弦所在的直線方程為y=kx+m（m為參數(shù)）代入，整理得 當(dāng) 即2km<p時(shí)，直線與拋物線相交設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，弦中點(diǎn)則 消去m，得 又由式及x的代數(shù)式得故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為方法二：設(shè)動(dòng)弦與拋物線交于兩點(diǎn)，弦中點(diǎn)則 由，整理得 又點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，所以 即所以所求軌跡方程為注意：在使用代點(diǎn)相減法時(shí)，應(yīng)該注意中點(diǎn)在

5、圓錐曲線內(nèi)部的條件，否則會(huì)增解。三、長(zhǎng)為定值的圓錐曲線動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程 求長(zhǎng)為定值的弦中點(diǎn)的軌跡方程的方法為：設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)M(x0,y0),弦與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1,y1）,B(x2,y2)，利用代點(diǎn)相減法用x0,y0表示kAB。寫(xiě)出直線AB的點(diǎn)斜式方程，代入圓錐曲線方程，用弦長(zhǎng)公式求解。例3、定長(zhǎng)為2()的線段AB。其兩端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)。求線段中點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)中點(diǎn)M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，則 由得 y1-y2=(x1+x2)(x1-x2)由題意得x1x2。直線AB的方程為y-y0=2x0(x-x0)代入得 ；由弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理得 x1+x2=2

6、x0 x1x2=2x02-y0又AB=2 即AB中點(diǎn)的軌跡方程為四、變式訓(xùn)練:1、已知，求滿足條件的軌跡方程；（1）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線與橢圓相交，求直線被截得弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）求過(guò)點(diǎn)且被P平分的弦所在直線方程；解：（1）設(shè)斜率為2的直線方程為y=2x+b代入 整理得：9x2+8bx+2b2-2=0設(shè)平行弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，（x2,y2）,則 =b2-4ac=(8b)2-4×9(2b2-2)0 得-3b3 則 （2）設(shè)與橢圓的焦點(diǎn)為（x1,y1）(x2,y2),弦中點(diǎn)為（x,y）則 由-整理得 （x1+x2）(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 又 由題意知 代入整理得 即(3)由（2）得 x1+x2=1 y1+y2=1 代入