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1、七、三角形四心問題一、四心的概念介紹(1)重心中線的交點:重心將中線長度分成2:1;(2)垂心高線的交點:高線與對應邊垂直;(3)內心角平分線的交點(內切圓的圓心):角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等;(4)外心中垂線的交點(外接圓的圓心):外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結合(1)是的重心.證法1:設 是的重心.證法2:如圖三點共線,且分為2:1是的重心(2)為的垂心.證明:如圖所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.同理,為的垂心(3)設,是三角形的三條邊長,O是ABC的內心為的內心.證明:分別為方向上的單位向量,平分,),令()化簡得(4)
2、為的外心。三、例題分析例1:是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足, ,則點的軌跡一定通過的 例2: 是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足, ,則點的軌跡一定通過的 例3:是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足, ,則點的軌跡一定通過的 四、鞏固練習1已知三個頂點及平面內一點,滿足,若實數滿足:,則的值為 2若的外接圓的圓心為O,半徑為1,則 3點在內部且滿足,則面積與凹四邊形面積之比是 4的外接圓的圓心為O,若,則是的 5是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,若,則是的 6的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點為H,則實數m = 7已知非零向量與滿足(+)·
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