九年級(jí)數(shù)學(xué)圓

1、圓第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 1圓的有關(guān)概念 2垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其它們的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo) 了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問(wèn)題 從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過(guò)程，講授圓的有關(guān)概念利用操作幾何的方法，理解圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的直線都是它的對(duì)稱軸通過(guò)復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問(wèn)題 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)口答下面兩個(gè)問(wèn)題（提問(wèn)一、兩個(gè)同學(xué)） 1舉出生活中的圓

2、三、四個(gè) 2你能講出形成圓的方法有多少種？ 老師點(diǎn)評(píng)（口答）：（1）如車輪、杯口、時(shí)針等（2）圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn)，固定一個(gè)長(zhǎng)度，繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓 二、探索新知 從以上圓的形成過(guò)程，我們可以得出： 在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑 以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O” 學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題1：圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離有什么規(guī)律？ 問(wèn)題2：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？ 老師提問(wèn)幾名學(xué)生并點(diǎn)評(píng)總結(jié) （1）圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑r）； （2）到

3、定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上 因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形 同時(shí)，我們又把 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段AC，AB； 經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB； 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，“以A、C為端點(diǎn)的弧記作”，讀作“圓弧”或“弧AC”大于半圓的?。ㄈ鐖D所示叫做優(yōu)弧，小于半圓的?。ㄈ鐖D所示）或叫做劣弧 圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們回答下面兩個(gè)問(wèn)題 1圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱軸？ 2你是用什么方

4、法解決上述問(wèn)題的？與同伴進(jìn)行交流 （老師點(diǎn)評(píng)）1圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑，我能找到無(wú)數(shù)多條直徑 3我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對(duì)稱軸問(wèn)題的 因此，我們可以得到：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題：如圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，使CDAB，垂足為M （1）如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你理由 （老師點(diǎn)評(píng)）（1）是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是CD （2）AM=BM，即直徑CD平分弦AB，并且平分及 這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條

5、弧 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑CD、弦AB且CDAB垂足為M 求證：AM=BM，. 分析：要證AM=BM，只要證AM、BM構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等因此，只要連結(jié)OA、OB或AC、BC即可證明：如圖，連結(jié)OA、OB，則OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱 O關(guān)于直徑CD對(duì)稱 當(dāng)圓沿著直線CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，與重合，與重合 ， 進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 （本題的證明作為課后練習(xí)） 例1如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦（即圖中，點(diǎn)O是的圓心，其中CD=600m，

6、E為上一點(diǎn)，且OECD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑分析：例1是垂徑定理的應(yīng)用，解題過(guò)程中使用了列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握 解：如圖，連接OC 設(shè)彎路的半徑為R，則OF=（R-90）m OECD CF=CD=×600=300（m） 根據(jù)勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545 這段彎路的半徑為545m 三、鞏固練習(xí) 教材P86 練習(xí) P88 練習(xí) 四、應(yīng)用拓展例2有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當(dāng)洪水泛濫時(shí)，

7、水面寬MN=32m時(shí)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說(shuō)明理由 分析：要求當(dāng)洪水到來(lái)時(shí)，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長(zhǎng)，因此只要求半徑R，然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求R 解：不需要采取緊急措施 設(shè)OA=R，在RtAOC中，AC=30，CD=18 R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324 解得R=34（m） 連接OM，設(shè)DE=x，在RtMOE中，ME=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合設(shè)） DE=4 不需采取緊急措施 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握：

8、 1圓的有關(guān)概念； 2圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸 3垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用 六、布置作業(yè) 1教材P94 復(fù)習(xí)鞏固1、2、3 2車輪為什么是圓的呢？ 3垂徑定理推論的證明4選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 圓(第2課時(shí)) 教學(xué)內(nèi)容 1圓心角的概念 2有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等 3定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等 教學(xué)目標(biāo) 了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個(gè)量的兩個(gè)相等就可以

9、推出其它兩個(gè)量的相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)值就相等，及其它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用 通過(guò)復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)探索在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，最后應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)弦也相等及其兩個(gè)推論和它們的應(yīng)用 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下題已知OAB，如圖所示，作出繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°、45°、60°的圖形 老師點(diǎn)評(píng)：繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，O點(diǎn)就是固定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)30&#

10、176;，就是旋轉(zhuǎn)角BOB=30° 二、探索新知如圖所示，AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們按下列要求作圖并回答問(wèn)題：如圖所示的O中，分別作相等的圓心角AOB和AOB將圓心角AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？ =，AB=AB 理由：半徑OA與OA重合，且AOB=AOB 半徑OB與OB重合 點(diǎn)A與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B重合 與重合，弦AB與弦AB重合 =，AB=AB 因此，在同一個(gè)圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等 在等圓中，相等的圓心角是否也有所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等呢？請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在動(dòng)手作一作（學(xué)生活動(dòng)）老

11、師點(diǎn)評(píng)：如圖1，在O和O中，分別作相等的圓心角AOB和AOB得到如圖2，滾動(dòng)一個(gè)圓，使O與O重合，固定圓心，將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使得OA與OA重合 (1) (2) 你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由？ 我能發(fā)現(xiàn)：=，AB=A/B/ 現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說(shuō)明了，這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢化歸思想，化未知為已知，因此，我們可以得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等 同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等 （學(xué)生

12、活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在給予說(shuō)明一下 請(qǐng)三位同學(xué)到黑板板書，老師點(diǎn)評(píng) 例1如圖，在O中，AB、CD是兩條弦，OEAB，OFCD，垂足分別為EF （1）如果AOB=COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）如果OE=OF，那么與的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？AOB與COD呢？ 分析：（1）要說(shuō)明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說(shuō)明AE=CF，即說(shuō)明AB=CD，因此，只要運(yùn)用前面所講的定理即可（2）OE=OF，在RtAOE和RtCOF中，又有AO=CO是半徑，RtAOERtCOF，AE=CF，AB=CD，又可運(yùn)用上面的定理得到= 解：（1）如果A

13、OB=COD，那么OE=OF 理由是：AOB=COD AB=CD OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF （2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，AOB=COD 理由是： OA=OC，OE=OF RtOAERtOCF AE=CF 又OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AB=2AE，CD=2CF AB=CD =，AOB=COD 三、鞏固練習(xí) 教材P89 練習(xí)1 教材P90 練習(xí)2 四、應(yīng)用拓展 例2如圖3和圖4，MN是O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P，APM=CPM （1）由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什

14、么，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）若交點(diǎn)P在O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 (3) (4) 分析：（1）要說(shuō)明AB=CD，只要證明AB、CD所對(duì)的圓心角相等，只要說(shuō)明它們的一半相等 上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的 解：（1）AB=CD 理由：過(guò)O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 連結(jié)OD、OB且OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD （2）作OEAB，OFCD，垂足為E、F APM=CPN且OP=OP，PEO=PFO=90° RtOPERtOPF O

15、E=OF 連接OA、OB、OC、OD 易證RtOBERtODF，RtOAERtOCF 1+2=3+4 AB=CD 五、歸納總結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1圓心角概念 2在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都部分相等，及其它們的應(yīng)用 六、布置作業(yè) 1教材P94-95 復(fù)習(xí)鞏固4、5、6、7、8 2選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)圓(第3課時(shí)) 教學(xué)內(nèi)容 1圓周角的概念 2圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弦所對(duì)的圓心角的一半 推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的應(yīng)

16、用 教學(xué)目標(biāo) 1了解圓周角的概念 2理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 3理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑 4熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實(shí)際問(wèn)題 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題 2難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理 3關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)

17、習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題 1什么叫圓心角？ 2圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：（1）我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角 （2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等 剛才講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問(wèn)題 二、探索新知問(wèn)題：如圖所示的O，我們?cè)谏溟T游戲中，設(shè)E、F是球門，設(shè)球員們只能在所在的O其它位置射門，如圖所示的A、B、C點(diǎn)通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像EAF、EBF、ECF這樣的角，

18、它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角 現(xiàn)在通過(guò)圓周角的概念和度量的方法回答下面的問(wèn)題 1一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？ 2同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ 3同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ （學(xué)生分組討論）提問(wèn)二、三位同學(xué)代表發(fā)言 老師點(diǎn)評(píng)： 1一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè) 2通過(guò)度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒有變化的 3通過(guò)度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半 下面，我們通過(guò)邏輯證明來(lái)說(shuō)明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半” （1）設(shè)圓周角ABC的一邊BC是O的直徑，如圖所示 AOC是

19、ABO的外角 AOC=ABO+BAO OA=OB ABO=BAO AOC=ABO ABC=AOC（2）如圖，圓周角ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，那么ABC=AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說(shuō)明過(guò)程 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)BO交O于D同理AOD是ABO的外角，COD是BOC的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2ABC（3）如圖，圓周角ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè)，那么ABC=AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)OA、OC，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交O于D，那么AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO=AOD-COD=AOC 現(xiàn)在，我如果在畫一個(gè)任意的圓周角ABC，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的 從（1）、（2）、（3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)：