第4章 不完全信息動(dòng)態(tài)博弈

1、博弈論第4章 不完全信息動(dòng)態(tài)博弈精煉貝葉斯均衡內(nèi)容提要n精煉貝葉斯納什均衡n精煉貝葉斯均衡的再精煉n序貫均衡與顫抖手均衡n適度均衡與穩(wěn)定均衡n不完全信息重復(fù)博弈與聲譽(yù)模型4.1 精煉貝葉斯納什均衡精煉貝葉斯納什均衡不完全信息動(dòng)態(tài)博弈不完全信息動(dòng)態(tài)博弈n在不完全信息動(dòng)態(tài)博弈中，“自然”首先選擇參與人的類型，參與人自已知道，其他參與人不知道；n在自然選擇之后，參與人開始行動(dòng)，參與人的在自然選擇之后，參與人開始行動(dòng)，參與人的行動(dòng)有先有后，后行動(dòng)者能觀測(cè)到先行動(dòng)者的行動(dòng)有先有后，后行動(dòng)者能觀測(cè)到先行動(dòng)者的行動(dòng)，但不能觀測(cè)到先行動(dòng)者的類型；行動(dòng)，但不能觀測(cè)到先行動(dòng)者的類型；n但是，因?yàn)閰⑴c人的行動(dòng)是類型

2、依存類型依存的，每個(gè)參與人的行動(dòng)都傳遞著有關(guān)自己類型的某種信息，后行動(dòng)者可以通過觀察先行動(dòng)者所選擇的行動(dòng)來推斷其類型或修正對(duì)其類型的先驗(yàn)信念-概率分布，然后選擇自己的最優(yōu)行動(dòng)。 精煉貝葉斯納什均衡n先行動(dòng)者預(yù)測(cè)到自己的行動(dòng)將被后行動(dòng)者所利用，就會(huì)設(shè)法選擇傳遞對(duì)自己最有利的信息，避免傳遞對(duì)自己不利的信息。因此，博弈過程不僅是參與人選擇行動(dòng)的過程，而且是參與人不斷修正信念的過程。n精煉貝葉斯均衡要求，給定有關(guān)其他參與人類型的信念，參與人的戰(zhàn)略在每一個(gè)信息集開始的“后續(xù)博弈”上構(gòu)成貝葉斯均衡；并且，在所有可能的情況下，參與人使用貝葉斯法則修正有關(guān)其他參與人類型的信念。 市場(chǎng)進(jìn)入阻撓動(dòng)態(tài)博弈n假定有兩

3、個(gè)時(shí)期，t = 1，2。在t=1時(shí)期，市場(chǎng)上有一個(gè)壟斷企業(yè)(在位者)，一個(gè)潛在的進(jìn)入者考慮是否進(jìn)入；n如果進(jìn)入者進(jìn)入，在t=2時(shí)期，兩個(gè)企業(yè)進(jìn)行庫(kù)諾特搏弈，否則，在位者仍然是一個(gè)壟斷者。n假定在位者有兩個(gè)可能的類型，高成本或低成本，進(jìn)入者在博弈開始時(shí)只知道在位者是高成本的概率是，低成本的概率是l-，這個(gè)概率分布稱為進(jìn)入者的先驗(yàn)信念。戰(zhàn)略空間與支付函數(shù)n假定進(jìn)入者只有一個(gè)類型：進(jìn)入成本為2，如果進(jìn)入的話，生產(chǎn)成本函數(shù)與高成本的在位者的成本函數(shù)相同。 n在t=1，在進(jìn)入者決定是否進(jìn)入之前，在位者要決定該時(shí)期的價(jià)格(或生產(chǎn)量)，假定只有三種可能的價(jià)格選擇p=4,p=5或p=6。n如果在位者是高成本，

4、對(duì)應(yīng)三種價(jià)格選擇的利潤(rùn)分別是：2,6或7；如果在位者是低成本，對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)分別是：6,9或8。t=1 (2,0) (2,0) (6,0) (6,0) (7,0) (7,0) (6,0) (6,0) (9,0) (9,0) (8,0) (8,0)t=2 (3,1) (7,0) (3,1) (7,0) (3,1) (7,0) (5,-1) (9,0) (5,-1) (9,0) (5,-1) (9,0)戰(zhàn)略空間與支付函數(shù)n高成本在位者的單階段最優(yōu)壟斷價(jià)格是P=6，低成本時(shí)的單階段最優(yōu)壟斷價(jià)格是P=5(最優(yōu)壟斷價(jià)格總是邊際成本的增函數(shù))。 n在t=2時(shí)期，如果進(jìn)入者不進(jìn)入，在位者仍然是一個(gè)壟斷者，不同價(jià)

5、格選擇下的利潤(rùn)水平與第一階段相同。n在t=2，如果進(jìn)入者已經(jīng)進(jìn)入，在位者的成本函數(shù)變成共同知識(shí)；戰(zhàn)略空間與支付函數(shù)n如果在位者是高成本，兩個(gè)企業(yè)的成本函數(shù)相同，對(duì)稱庫(kù)諾特均衡產(chǎn)量下的價(jià)格為p=5，每個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)是3，扣除進(jìn)入成本2，進(jìn)入者的凈利潤(rùn)是1；n如果在位者是低成本，兩個(gè)企業(yè)的成本函數(shù)不同，非對(duì)稱庫(kù)諾特均衡產(chǎn)量下的價(jià)格是p=4，在位者的利潤(rùn)是5，進(jìn)入者的利潤(rùn)是1，扣除進(jìn)入成本2，進(jìn)入者的凈利潤(rùn)是-1。不完全信息動(dòng)態(tài)博弈n在完全信息動(dòng)態(tài)博弈情況下，如果在位者是高成本，進(jìn)入者在第2階段選擇進(jìn)入，如果在位者是低成本，進(jìn)入者選擇不進(jìn)入；在位者第1階段選擇單階段最優(yōu)壟斷價(jià)格。 n在不完全信息動(dòng)態(tài)博

6、弈情況下在不完全信息動(dòng)態(tài)博弈情況下，在博弈進(jìn)入第2階段后，企業(yè)的行動(dòng)選擇是一個(gè)簡(jiǎn)單的靜態(tài)博弈問題，進(jìn)入者在第2階段是否進(jìn)入依賴于它對(duì)在位者成本函數(shù)的判斷，當(dāng)且僅當(dāng)進(jìn)入者認(rèn)為在位者是高成本的概率大于1/2時(shí)，進(jìn)入者才會(huì)選擇進(jìn)入。不完全信息動(dòng)態(tài)博弈-市場(chǎng)進(jìn)入阻撓n在不完全信息情況下，在位者第1階段的選擇要復(fù)雜得多。n因?yàn)樵谖徽叩膬r(jià)格選擇可能包含著有關(guān)其成本函數(shù)的信息,進(jìn)入者在觀測(cè)到在位者第1階段的價(jià)格選擇后，可以修正對(duì)在位者成本函數(shù)的先驗(yàn)概率，比如，如果進(jìn)入者觀測(cè)到在位者選擇了p=6，它就可以推斷在位者一定是高成本，選擇進(jìn)入是有利可圖的.不完全信息動(dòng)態(tài)博弈-市場(chǎng)進(jìn)入阻撓n預(yù)測(cè)到選擇p=6會(huì)招致進(jìn)入

7、者進(jìn)入，即使高成本的在位者也可能不會(huì)選擇p=6，盡管p=6是單階段的最優(yōu)壟斷價(jià)格。n問題的核心是，在位者必須考慮價(jià)格選擇的信息效應(yīng)，不同的價(jià)格影響進(jìn)入者的后驗(yàn)概率，從而影響進(jìn)入者的進(jìn)入決策。n在靜態(tài)貝葉斯均衡中，參與人的信念是事前給定的，貝葉斯均衡概念沒有規(guī)定參與人如何修正自己的信念，不能用來分析不完全信息動(dòng)態(tài)博弈的均衡及結(jié)果。不完全信息動(dòng)態(tài)博弈-市場(chǎng)進(jìn)入阻撓n一個(gè)單階段非最優(yōu)價(jià)格會(huì)減少現(xiàn)期利潤(rùn)，但如果它能阻止進(jìn)入者進(jìn)入，從而使在位者在第2階段得到壟斷利潤(rùn)，而不是庫(kù)諾特均衡利潤(rùn)，如果壟斷利潤(rùn)與庫(kù)諾特均衡利潤(rùn)之間的差距足夠大，如果在位者有足夠的耐心，選擇一個(gè)單階段非最優(yōu)價(jià)格可能是最優(yōu)的。n在均衡

8、情況下，在位者的價(jià)格選擇不僅與其成本函數(shù)有關(guān)，而且與進(jìn)入者的后驗(yàn)概率有關(guān)；不論先驗(yàn)概率為多少，單階段最優(yōu)壟斷價(jià)格不構(gòu)成一個(gè)均衡。精煉貝葉斯均衡n精煉貝葉斯均衡是貝葉斯均衡、子博弈精煉均衡和貝葉斯推斷的結(jié)合。它要求:n(1)在每一個(gè)信息集上，決策者必須有一個(gè)定義在屬于該信息集的所有決策結(jié)上的一個(gè)概率分布(信念)；n(2)給定該信息集上的概率分布和其他參與人的后續(xù)戰(zhàn)略，參與人的行動(dòng)必須是最優(yōu)的；n(3)每一個(gè)參與人根據(jù)貝葉斯法則和均衡戰(zhàn)略修正先驗(yàn)概率。精煉貝葉斯均衡n運(yùn)用子博弈精煉均衡概念的邏輯，將從每一個(gè)信息集開始的博弈的剩余部分稱為一個(gè)“后續(xù)博弈”(不同于子博弈，因?yàn)樽硬┺谋仨氶_始于單結(jié)信息集

9、，并且不能切割信息集)，n一個(gè)“合理”的均衡要求，給定每一個(gè)參與人有關(guān)其他參與人類型的后驗(yàn)信念，參與人的戰(zhàn)略組合在每一個(gè)后續(xù)博弈上構(gòu)成貝葉斯均衡。n假定參與人(在所有可能的情況下)根據(jù)貝葉斯法則修正先驗(yàn)信念，并且，每個(gè)參與人都假定其他參與人選擇的是均衡戰(zhàn)略。 4.1-2 4.1-2 貝葉斯法則貝葉斯法則n在日常生話中，在任何一個(gè)時(shí)點(diǎn)上，我們對(duì)某種不確定性事件發(fā)生的可能性有一個(gè)判斷。然后，我們會(huì)根據(jù)新的信息來修正這個(gè)判斷。n統(tǒng)計(jì)學(xué)上，修正之前的判斷稱為“先驗(yàn)概率”，修正之后的判斷稱為“后驗(yàn)概率。n貝葉斯法則正是人們根據(jù)新的信息從先驗(yàn)概率得到后驗(yàn)概率的唯一合理方法。n在不完全信息博弈中，我們假定參

10、與人的類型是獨(dú)立分布的，參與人i有K個(gè)可能的類型，有H個(gè)可能的行動(dòng)。用k和ah分別表示一個(gè)參與人的一種特定的類型和一個(gè)特定的行動(dòng)。貝葉斯法則n假定i屬于類型k的先驗(yàn)概率是p(k)0，并且Kp(k)=1；給定i屬于k，i選擇ah的條件概率為p(ah|k)，并且Hp(ah|k)=1。那么，i選擇ah的邊緣概率(全概率)是nProb(ah)= Kp(ah|k)p(k)n即參與人i選擇行動(dòng)ah的總概率是每一種類型的i選擇ah的條件概率p(ah|k)的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)是他屬于每種類型的先驗(yàn)概率p(k)。n現(xiàn)在的問題是：假如我們觀測(cè)到i選擇了ah，i屬于類型k的后驗(yàn)概率是多少？貝葉斯法則n我們用Prob(k

11、|ah)代表這個(gè)后驗(yàn)概率，即給定ah的情況下，i屬于類型k的概率。根據(jù)條件概率或乘積概率公式，nProb(k,ah) p(ah|k)p(k) Prob(k|ah)Prob(ah) n也就是說，i屬于k并選擇ah的聯(lián)合概率，等于i屬于k的先驗(yàn)概率乘以k類型的參與人選擇ah的概率，或等于i選擇ah的總概率乘以給定ah情況下i屬于k的后驗(yàn)概率。貝葉斯法則n因此，Prob(k|ah) p(ah|k)p(k)/Prob(ah)n p(ah|k)p(k)/ Kp(ah|k)p(k)n這就是貝葉斯法則貝葉斯法則。精煉貝葉斯均衡假定參與人是根據(jù)貝葉斯法則修正先驗(yàn)概率的。n貝葉斯法則要求Prob(ah)0即參與

12、人i必須以正的概率選擇ah，否則，后驗(yàn)概率沒有定義。n如果Prob(ah)=0，我們?cè)试SProb(k|ah)在0,1區(qū)間取任何值，只要所取的值與均衡戰(zhàn)略相容，即均衡仍然成立。n在動(dòng)態(tài)博弈中，Prob(ah)=0對(duì)應(yīng)的是非均衡路徑上的信息集。貝葉斯法則n后驗(yàn)概率Prob(k|ah)不僅依賴于先驗(yàn)概率p(k)，而且依賴于參與人“認(rèn)為”i是類型k并選擇行動(dòng)ah的條件概率p(ah|k)。n在精煉貝葉斯均衡中，參與人“認(rèn)為”的條件概率必須是正確的。4.1-3 4.1-3 精煉貝葉斯均衡精煉貝葉斯均衡n假定有n個(gè)參與人，參與人i的類型是ii， i是私人信息，pi(-i|i)是屬于類型i的參與人i認(rèn)為其他n

13、-1個(gè)參與人屬于類型-i = (i, , i-1, i+1, , n)的先驗(yàn)概率；n令Si是i的戰(zhàn)略空間，siSi是依賴于類型i的一個(gè)特定戰(zhàn)略；ah-i=(ah1, , ahi-1, ahi+1, , ahn)是在第h個(gè)信息集上參與人i觀測(cè)到的其他n-1個(gè)參與人的行動(dòng)組合，它是戰(zhàn)略組合s*-i=(s*1, , s*i-1, s*i+1, , s*i)的一部分(s*-i規(guī)定的行動(dòng))；精煉貝葉斯均衡npi(-i|ah-i)是在觀測(cè)到ah-i的情況下參與人i認(rèn)為其他n-1個(gè)參與人屬于類型-i的后驗(yàn)概率，pi是所有后驗(yàn)概率的集合(即pi包括了參與人i在每一個(gè)信息集h上的后驗(yàn)概率)；nui(si, s-

14、i, i)是i的效用函數(shù)。 n那么，精煉貝葉斯均衡可以定義如下: 精煉貝葉斯均衡n精煉貝葉斯均衡是一個(gè)戰(zhàn)略組合，s*()= (s*1(1)，s*n(n)和一個(gè)后驗(yàn)概率組合p=(p1，pn)，滿足:n(P) 對(duì)于所有的參與人i,在每一個(gè)信息集h， s*i(i) argmax pi(-i|ah-i)ui(si, s*-i, i) si -in(B) pi(-i|ah-i)是使用貝葉斯法則從先驗(yàn)概率pi(-i|i)、觀測(cè)到的ah-i和最優(yōu)戰(zhàn)略s*-i()得到的(在可能的情況下)。 精煉貝葉斯均衡n(P)是精煉條件，意為，給定其他參與人的戰(zhàn)略s*-i=(s*1, , s*i-1, s*i+1, , s

15、*n)和參與人i的后驗(yàn)概率pi(-i|ah-i)，每個(gè)參與人i的戰(zhàn)略在所有從信息集h開始的后續(xù)博弈上都是最優(yōu)的，或者說，所有參與人都是序貫理性的。n這個(gè)條件是子博弈精煉均衡在不完全信息動(dòng)態(tài)博弈上的擴(kuò)展。在完全信息動(dòng)態(tài)博弈中，子博弈精煉納什均衡要求均衡戰(zhàn)略在每一個(gè)子博弈上構(gòu)成納什均衡；類似地，在不完全信息動(dòng)態(tài)博弈中，精煉貝葉斯均衡要求均衡戰(zhàn)略在每一個(gè)“后續(xù)博弈”上構(gòu)成貝葉斯均衡。精煉貝葉斯均衡n(B)對(duì)應(yīng)的是貝葉斯法則的運(yùn)用。如果參與人是多次行動(dòng)的，修正概率涉及貝葉斯法則的重復(fù)運(yùn)用。因?yàn)閼?zhàn)略是一個(gè)行動(dòng)規(guī)則，它本身是不可觀測(cè)的，參與人i只能根據(jù)觀測(cè)到的行動(dòng)組合a-i修正概率，但他假定所觀測(cè)到的行動(dòng)

16、是最優(yōu)戰(zhàn)略s*-i規(guī)定的行動(dòng)。n限制條件“在可能的情況下”來自這樣的事實(shí)，如果a-i不是均衡戰(zhàn)略下的行動(dòng)，觀測(cè)到的a-i是一個(gè)零概率事件，此時(shí)，貝葉斯法則對(duì)后驗(yàn)概率沒有定義，任何的后驗(yàn)概率pi(- i|a-i)0,1都是允許的，只要它與均衡戰(zhàn)略相容。精煉貝葉斯均衡n精煉貝葉斯均衡是均衡戰(zhàn)略和均衡信念的結(jié)合，給定信念p=(p1，pn)，戰(zhàn)略組合s*=(s*1, , s*n)是最優(yōu)的；給定戰(zhàn)略s*=(s*1, , s*n)，信念p=(p1，pn)是使用貝葉斯法則從均衡戰(zhàn)略和所觀測(cè)到的行動(dòng)得到的。 n在精煉貝葉斯均衡中，后驗(yàn)概率依賴于均衡戰(zhàn)略，均衡戰(zhàn)略依賴于后驗(yàn)概率，如果我們不知道先行動(dòng)者如何選擇，

17、我們就不可能知道后行動(dòng)者應(yīng)該如何選擇，必須使用前向法進(jìn)行貝葉斯修正。市場(chǎng)進(jìn)入阻撓動(dòng)態(tài)博弈n在市場(chǎng)進(jìn)入阻撓博弈中，在位者有兩個(gè)潛在類型，進(jìn)入者只有一個(gè)類型，因此，只有進(jìn)入者修正信念。令(p)是進(jìn)入者在觀測(cè)到在位者的價(jià)格選擇p后，認(rèn)為在位者是高成本的后驗(yàn)概率。n我們首先證明，不論先驗(yàn)概率是多少，在第1階段，高成本在位者選擇單階段最優(yōu)壟斷價(jià)格p=6和低成本在位者選擇單階段最優(yōu)壟斷價(jià)格p=5不是一個(gè)精煉貝葉斯均衡。 t=1 (2,0) (2,0) (6,0) (6,0) (7,0) (7,0) (6,0) (6,0) (9,0) (9,0) (8,0) (8,0)t=2 (3,1) (7,0) (3,

18、1) (7,0) (3,1) (7,0) (5,-1) (9,0) (5,-1) (9,0) (5,-1) (9,0)非精煉貝葉斯均衡n如果在位者這樣選擇，進(jìn)入者觀測(cè)到p=6就知道在位者是高成本，即(6)=1；觀測(cè)到p=5就知道在位者是低成本，即(5)=0。n給定這個(gè)后驗(yàn)信念，進(jìn)入者將進(jìn)入，當(dāng)且僅當(dāng)她觀測(cè)到p=6。n考慮高成本的在位者，如果他選擇p=6，第1階段得到7單位的壟斷利潤(rùn)，第2階段得到3單位的寡頭利潤(rùn)，總貼現(xiàn)利潤(rùn)為10單位(假定沒有貼現(xiàn))；但是，如果他模仿低成本企業(yè)，選擇p=5，第1階段的利潤(rùn)是6單位，第2階段的利潤(rùn)是7單位，總利潤(rùn)是13單位。精煉貝葉斯均衡1n因此，p=6不是高成本

19、在位者的最優(yōu)選擇，上述戰(zhàn)略不構(gòu)成精煉貝葉斯均衡。n現(xiàn)在考慮兩種不同情況下的均衡，即1/2和1/2。n首先考慮1/2的情況。我們將證明，在這種情況下，精煉貝葉斯均衡是，不論高成本還是低成本，在位者選擇p=5；進(jìn)入者將進(jìn)入，當(dāng)且僅當(dāng)她觀測(cè)到p=6（基于(6)=1）。 精煉貝葉斯均衡-混同均衡n給定進(jìn)入者的后驗(yàn)概率和戰(zhàn)略，如果高成本在位者選擇p=6，進(jìn)入者進(jìn)入，他第1階段利潤(rùn)是7，第2階段利潤(rùn)是3，總利潤(rùn)是10；但是，如果他選擇p=5，進(jìn)入者不進(jìn)入，他第1階段的利潤(rùn)是6，第2階段的利潤(rùn)是7，總利潤(rùn)是13。因此，犧牲第1階段的l單位利潤(rùn)，以換取第2階段增加4單位利潤(rùn)是合算的，p=5是最優(yōu)的。 n類似地

20、，給定進(jìn)入者的后驗(yàn)概率和戰(zhàn)略，低成本在位者選擇p=5時(shí)的總利潤(rùn)是9+9=18，大于選擇任何其他價(jià)格時(shí)的利潤(rùn)，因此p=5也是低成本在位者的最優(yōu)選擇。 t=1 (2,0) (2,0) (6,0) (6,0) (7,0) (7,0) (6,0) (6,0) (9,0) (9,0) (8,0) (8,0)t=2 (3,1) (7,0) (3,1) (7,0) (3,1) (7,0) (5,-1) (9,0) (5,-1) (9,0) (5,-1) (9,0)精煉貝葉斯均衡-混同均衡n給定兩類在位者都選擇p=5，進(jìn)入者不能從觀測(cè) 到 的 價(jià) 格 中 得 到 任 何 新 的 信 息 ， 即(5)=1/1+

21、1(1-)=1/2，進(jìn)入的期望利潤(rùn)是1+(-1)(1-)=2-10，不進(jìn)入的期望利潤(rùn)是0，因此不進(jìn)入是最優(yōu)的。n進(jìn)一步，因?yàn)閜=6是非均衡路徑，(6)=1與假定的均衡戰(zhàn)略是相容的(所有(6)1/2與均衡相容，所有(6)1/2不構(gòu)成均衡)。精煉貝葉斯均衡-混同均衡n上述均衡稱為混同均衡，因?yàn)閮深愒谖徽哌x擇相同的價(jià)格。直觀地講，因?yàn)閘/2，如果進(jìn)入者不能從在位者的價(jià)格選擇中得到新的信息，她選擇不進(jìn)入。n因此，高成本的在位者可以通過選擇與低成本的在位者相同的價(jià)格隱藏自己是高成本這個(gè)事實(shí)，低成本的在位者也沒有必要披露自己是低成本這個(gè)事實(shí)。 精煉貝葉斯均衡-分離均衡n現(xiàn)在考慮1/2的情況。n首先注意到，

22、如果不同類型的在位者選擇相同的價(jià)格，進(jìn)入者得不到新的信息，她將選擇進(jìn)入，因?yàn)?+(-1)(1-)=2-10。n但是，給定進(jìn)入者一定會(huì)進(jìn)入，在位者的最優(yōu)選擇是單階段最優(yōu)壟斷價(jià)格，即高成本在位者選擇p=6，低成本在位者選擇p=5。但我們已經(jīng)證明，這不可能是一個(gè)均衡。 精煉貝葉斯均衡-分離均衡n我們現(xiàn)在證明，如果1/2，精煉貝葉斯均衡是：低成本的在位者選擇p=4，高成本的在位者選擇p=6；n進(jìn)入者選擇不進(jìn)入，如果觀測(cè)到p=4(基于(4)=O)；選擇進(jìn)入，如果觀測(cè)到p=6或p=5(基于(6)=1， (5)1/2)。精煉貝葉斯均衡-分離均衡n首先考慮低成本在位者的戰(zhàn)略。n給定進(jìn)入者的后驗(yàn)概率和戰(zhàn)略，如果低成本的在位者選擇p=4，進(jìn)入者不進(jìn)入，他的第1階段利潤(rùn)是6，第2階段的利潤(rùn)是9，總利潤(rùn)是15；n如果他選擇單階段壟斷價(jià)格p=5，進(jìn)入者進(jìn)入，他的總利潤(rùn)是9+5=14，因此，選擇p=4是最優(yōu)的。精煉貝葉斯均衡-分離均衡n再考慮高成本在位者的戰(zhàn)略。n給定進(jìn)入者的后驗(yàn)概率和戰(zhàn)略，如果高成本的在位者選擇p=4，進(jìn)入者