操作型問題選

1、 操作型問題選操作型問題能讓學(xué)生經(jīng)歷觀察，操作，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證的探究過程不僅能考查學(xué)生的空間觀念，對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的變換，圖形的設(shè)計(jì)，圖形的直覺判斷能力，而且還能考查學(xué)生的分析綜合，抽象概括邏輯推理的能力，是學(xué)生展示個(gè)體思維發(fā)散創(chuàng)新的好平臺(tái)操作型問題一般包括作圖問題，分割組合圖形問題，圖形的折疊問題和圖形移動(dòng)等問題解決這類問題，要理解掌握軸對(duì)稱軸、中心對(duì)稱及點(diǎn)的軌跡的基本性質(zhì)，審清題意，學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形的平移變換、翻折變換和旋轉(zhuǎn)變換. 注意運(yùn)用分類討論、類比猜想、驗(yàn)證歸納等數(shù)學(xué)思想方法，靈活地解決問題在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要注重操作習(xí)題解題訓(xùn)練，提高思維的開放性，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.NBCAM圖9-1典型

2、例題例如圖9-1，在正方形網(wǎng)絡(luò)上有一個(gè)ABC. （）作ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形（不寫作法）；（）若網(wǎng)絡(luò)上的最小正方形的邊長為1，求ABC的面積.（2003年浙江紹興市中考試題）分析：(1)觀察圖形,先作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1，連結(jié)A1B1、B1C1、C1A1得A1B1C1 (2)ABC等于點(diǎn)、所在邊的矩形面積與三個(gè)直角三角形面積和的差.解：（1）作圖（略）. （2）此三角形面積為：ABC232（12）13=62=說明：本題利用軸對(duì)稱性質(zhì)來作圖. 常見的作圖題依據(jù)著軸對(duì)稱、中心對(duì)稱及點(diǎn)的軌跡的性質(zhì)來作圖. 例2某地板廠要制作正六邊形形狀的地板磚，為了適應(yīng)市場多樣化

3、需求，要求在地板磚上設(shè)計(jì)的圖案能夠把正六邊形6等分，請(qǐng)你幫助他們設(shè)計(jì)等分圖案（至少設(shè)計(jì)兩種）. （2003年甘肅省中考試題） 分析：由題意得：本例屬于等分分割圖形問題，正六邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形.設(shè)計(jì)圖案的關(guān)鍵：以正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)和正六邊形的中心為頂點(diǎn)分割設(shè)計(jì)成6等分圖案. 解：（答案不惟一，在下圖9-2中任選兩種）. 圖9-2 說明：本例屬于等分分割圖形問題，與此例類似的如將平行四邊形、矩形、正方形分割成4等分等.這類問題解決，只有抓住被分割圖形的中心及圖形的頂點(diǎn)后，發(fā)揮個(gè)人的想象力，才能創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)出圖案. 例3如圖9-3，把一個(gè)等腰直角三角形ABC沿斜邊上的高CD（裁剪線）

4、剪一刀，從這個(gè)三角形中裁下一部分，與剩下部分能拼成一個(gè)平行四邊形ABCD（見示意圖a）. (以下探究過程中有畫圖要求的，工具不限，不必寫畫法和證明.)探究一：（1）想一想判斷四邊形ABCD是平行四邊形的依據(jù)是 ；(c)CAB(b)DCAB圖9-3（2）做一做按上述的裁剪方法，請(qǐng)你拼一個(gè)與圖（a）位置或形狀不同的平行四邊形，并在圖（b）中畫出示意圖.(a)DCBAA探究二：在直角三角形ABC中，請(qǐng)你找出其他的裁剪線，把分割成的兩部分拼出不同類型的特殊四邊形.（1）試一試你能拼得不同類型的特殊四邊形有 ，它們的裁剪線分別是 ；（2）畫一畫請(qǐng)?jiān)趫D（c）中畫出一個(gè)你拼得的特殊四邊形示意圖. （2003

5、年浙江省麗水市中考試題）DCABD(1) 分析：探究二：本例屬于分割圖形后，再重新組合圖形問題.由于裁剪線的不定性，使組合圖形變得更加多姿多彩.重新組拼圖形的關(guān)鍵是找出不同類型的特殊四邊形：平行四邊形、矩形、等腰梯形、直角梯形再用實(shí)驗(yàn)和類比的方法來尋找答案.ADCAB(2)圖9-4 解：探究一：/ = / = （1）CD AB（或AD BC等）. (2)(只要畫出圖9-4（1），（2）之一的示意圖).探究二：平行四邊形、矩形、等腰梯形、直角梯形. 三角形ABC的中位線（或一條三角形的中位線）（注：若寫出直角梯形，并指出這條裁剪線是“把一條直角邊分成：1的兩段，且平行于另一條直角邊（或斜邊）的線

6、段”，才算正確.） DCABD(3)AABCDD(2)AABCD(1)C k Dk BAC(6) k kCBADA(5)圖9-5CABDD(4) (2)只要畫出圖9-5中（1）（6）之一的示意圖. 說明：本例探究二中，由于裁剪線的不定性，給重新組合圖形留下較大的創(chuàng)新空間.解答此類問題，常用的方法有實(shí)驗(yàn)法、分析法、類比法、聯(lián)想法和驗(yàn)證法.想一想：探究一中，能否拼成菱形？請(qǐng)說明理由. 例4閱讀下面短文：如圖9-6（1）所示，ABC是直角三角形，C=900，現(xiàn)在ABC補(bǔ)成矩形，使ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩個(gè)：矩形ACBD和矩形AEFB

7、（如圖9-6（2）所示）.F圖9-6（2）DACAB圖9-6（1） EBC 解答問題： （1）設(shè)圖9-6（2）所示矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S1、S2，則S1 S2（填“”、“=”、“”） （2）如圖9-6（3）所示， ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出 個(gè) ，利用圖9-6（3）把畫出來.圖9-6（4）ABCCAB9-6（3） （3）如圖9-6（4）所示，ABC是銳角三角形三邊滿足BCACAB，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出 個(gè)，利用圖9-6（4）把它出來. （4）在（3）中所畫出的矩形中，哪一個(gè)的周長最?。繛槭裁?？（

8、2002年陜西省中考試題） 分析：（2）只能以AB為一邊，作一個(gè)矩形；（3）可以銳角ABC的三邊作三個(gè)矩形；（4）由（1）類推（3）中的三個(gè)矩形的面積相等，設(shè)其面積為S，用S與a、b、c三邊分別表示三個(gè)矩形的周長L1、L2、L3，用作差法類比三個(gè)矩形的周長的大小.解：（1）S1=S2；（2）一個(gè)（如圖9-6（5）；（3）三個(gè)（如圖9-6（6）； 圖9-6（6）HABCDEFGQ圖9-6（5）CAB(4)以AB為邊的矩形周長最小. 設(shè)矩形BCED、ACHQ、ABGF的周長分別為L1、L2、L3，BC=a,AC=b,AB=c.易知這三個(gè)矩形的面積相等.令其面積為S，則有，L1=+2a，L2=+2b

9、，L3=+2c.L1 L2=+2a(+2b)=2(ab). 而abS，ab，L1 L20，即L1 L2，同理L2 L3. 以AB為邊的矩形周長最小. 說明：本例要求在熟悉按要求補(bǔ)圖、組合圖形的基礎(chǔ)上，分析、歸納、類比一此量的變化.另外通過解答可以發(fā)現(xiàn)本例有三個(gè)規(guī)律：一是所畫矩形個(gè)數(shù)的規(guī)律（一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)）.二是符合要求的矩形的面積的規(guī)律（各圖中矩形面積均為原三角形面積的2倍等）. 三是矩形周長的規(guī)律（以短邊為矩形一邊的矩形周長最短）. 例5已知兩個(gè)等圓O1和O2相交A、B兩點(diǎn)，O1經(jīng)過O2，點(diǎn)C是AO2B上任一點(diǎn)（不與A、O2、B重合），連結(jié)BC并延長交O2于D，連結(jié)AC、AD. (1) 圖

10、9-7（1）供操作測量用，（測量時(shí)使用刻度尺和圓規(guī)）將圖9-7（1）按題中敘述補(bǔ)充完整，并觀察或度量AC、CD、AD三條線段的長短，通過觀察和度量，說出三條線段的長度之間存在怎樣關(guān)系？(2) 猜想結(jié)論（求證部分），并證明你的猜想，在補(bǔ)充完整圖9-7（1）中進(jìn)行證明.(3) 如圖9-7（2），若C點(diǎn)是BO2的中點(diǎn)，AC與O1O2相交于點(diǎn)E. 連接O1C、O2C，求證CE2= O1O2E O2.ABEO1 O2C(2)O1 O2ABCD(1) 圖9-7 （2002四川眉山市中考試題）O1 O2ABCD圖9-7（3）分析：（1）畫圖測量，易得AC=CD=AD. （2）欲證ACD為正三角形，可利用圓周

11、角定理及其推論證明ACD每一個(gè)內(nèi)角都等于600即可.（3）欲證CE2= O1O2E O2.只需證：O1O2CCO2E. 解：（1）補(bǔ)充完整圖形如圖9-7（3），三條線段AC、CD、AD相等.（2）結(jié)論：ACD是正三角形.證明：連結(jié)AO1、AO2、BO2、O1O2.O1、O2是等圓，且O1過O2點(diǎn)，A O2= O1O2=A O1. AO2 O1=600, AO2B=1200. D=AO2B=1200=600. ACB=AO2B=1200,ACD=600. ACD是正三角形.（3）（如圖9-7（2）C是BO2的中點(diǎn), C O1O2=300. ACO2=300. C O1O2=ACO2O1O2C=C

12、O2E O1O2CCO2E. =. O1O2=O1C， O1O2 C =O1CO2=CEO2 CO2=CE. CE2= O1O2E O2. 說明：本例是一道以相交兩圓為背景，集操作、測量、猜想、證明于一體探究性問題,著重考查動(dòng)手操作變換圖形和推理論證的能力.本例以留空回填命題的思路，解答時(shí)應(yīng)順向逐層進(jìn)行. 例6取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖9-8（1）；第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，得RtA BE，如圖9-8（2）；第三步：沿E B線折疊得折痕EF，如圖9-8（3）.利用展開圖9-8（4）探究：

13、（1） AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論.（2） 對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請(qǐng)說明理由.BFEMABCDN（4）CAD（2）圖9-8FAE（3）FABCMDN（1）ENC NDBB（2003年山西省中考試題） 分析：（1）經(jīng)過操作測量易判定AEF是正三角形.再運(yùn)用平行線等分線段定理、直角三角形的性質(zhì)來證明AEF是正三角形； (2) 不一定.運(yùn)用由特殊到一般的思路來解答：若矩形恰好能折出等邊三角形，先找出矩形長a與寬b的關(guān)系，再按ba、aba的情形分類討論. FEMABBCDN 31 2P 解：（1）AEF是正三角形.證法一：（如圖右圖）由平行線等分線段定理知：PE=PA

14、，BP是RtA BE斜邊上的中線， PA=P B，1=3. 又PN/AD，2=3.而BAF=21+2=900， 1=2=300. 在RtA BE，1+AEF=900，AEF=600，EAF=1+2=600，AEF是正三角形.證法二：ABE與A BE完全重合， ABEA BE，BAE=1.由平行線等分線段定理知 EB=BF. 又A BE=900，ABEA BF，AE=AF. 1=2=BAD=300.AEF是正三角形.（2）不一定.由上推證可知當(dāng)矩形的長恰好等于AEF的邊AF時(shí)，即 矩形的寬：長AB：AF=sin600=：2時(shí)正好能折出. 如果設(shè)矩形的長為a，寬為b ,可知當(dāng)ba時(shí)，按此法一定能折

15、出等邊三角形；當(dāng)aba時(shí)，按此法無法折出完整的等邊三角形. 說明：折疊圖形問題，著重考察動(dòng)手操作和分析推理能力、圖形的直覺判斷能力和書面表述的數(shù)學(xué)素養(yǎng)等. 折疊圖形的常見類型：對(duì)角線折疊問題；角平分線折疊問題；軸對(duì)稱折疊問題；兩點(diǎn)重合折疊問題等. 想一想本例屬于哪種折疊問題？例7 OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y 軸上，OA=10，OC=6.（1）如圖9-9（1），在OA上選取一點(diǎn)G，將COG沿CG翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上，記為E，求折痕CG所在直線的解析式.(2)如圖9-9（2），在OC上選取一點(diǎn)D，將AOD沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上，記為

16、E. 求折痕AD所在直線的解析式.再作EF/AB，交AD于點(diǎn)F，若拋物線y=x2+h過點(diǎn)F，求此拋物線的解析式，并判斷它與直線AD的交點(diǎn)的個(gè)數(shù). FxED OyCBA圖9-9（2）xOyCBAGE圖9-9（1）（3）如圖9-9（3），一般地，在OC、OA上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D、G，使紙片沿DG翻折后，點(diǎn)O落在BC邊上，記為E. 請(qǐng)你猜想：折痕DG所在直線與中的拋物線會(huì)有什么關(guān)系？用（1）中的情形驗(yàn)證你的猜想.BG xEDOyCA圖9-9（3） （2003年江蘇省蘇州市中考試題） 分析：（1）由折法易知：G（6，0）、C（0，6）. 求得折痕CG的解析式為y=x+6；（2）由勾股定理易求得D E=，則

17、折痕AD的解析式為：y=x+；由題意設(shè)F（2，yF），點(diǎn)F在AD上，F(xiàn)的坐標(biāo)為（2，），求出拋物線為y=x2+3. 再聯(lián)立方程組，判定直線AD與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn). 解：（1）由折法知，四邊形OCEG是正方形，OG=OC=6，G（6，0）、C（0，6）.設(shè)直線CG的解析式為：y=kx+b，則0=6k+b, 6=0+b. k=1,b=6 直線CG的解析式為：y=x+6.(2) 在RtABE中，BE=8，CE=2. 設(shè)OD=s，則DE=s， CD=6s，在RtDCE中，s2=(6s)2+22, s=.則D（0，）.設(shè)AD：y=kx+.由于它過A（10，0），k=. AD：y=x+.EF/AB, E

18、(2,6) ,設(shè)F（2，yF），F(xiàn)在AD上，yF=2+=，F(xiàn)（2，）.又F在拋物線上，=22+h. 拋物線的解析式為：y=x2+3.將y=x+代入y=x2+3. 得x2+x=0. =()24()()=0. 直線AD與拋物線只一個(gè)交點(diǎn).（3） 例如可以猜想：折痕所在直線與拋物線y=x2+3只有一個(gè)交點(diǎn)；驗(yàn)證：在圖1 中折痕為CG. 將y=x+6 代入y=x2+3.得x2+x3=0. =14 (3)()=0, 折痕CG所在直線的確與拋物線y=x2+3只有一個(gè)交點(diǎn). 說明：本例在直角坐標(biāo)系中，以軸對(duì)稱折疊為變化情境，探究折痕的動(dòng)態(tài)變化，引其函數(shù)變化，并用特殊的（1）中的情形加以驗(yàn)證.若不用（1）中的

19、情形驗(yàn)證，請(qǐng)猜想：DG所在直線與中的拋物線會(huì)有什么位置關(guān)系？【習(xí)題9】1 只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求畫圖：（1）在圖9-10（1）中用下面的方法畫等腰三角形ABC的對(duì)稱軸：量出底邊BC的長度，將線段BC二等分，即畫出BC的中點(diǎn)D； 畫直線AD，即畫出等腰三角形ABC的對(duì)稱軸. （2）在圖9-10（2） 中畫出AOB的對(duì)稱軸，并寫出畫圖和方法.圖9-10（2）ACB圖9-10（1）BOA（2003年江蘇省南京市中考試題）107國道BAOC D320國道圖9-112如圖9-11，107國道OA和國道OB在我市相交于O點(diǎn)，在AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要修建一個(gè)貨站P，使P到O

20、A、OB的距離相等且PC=PD，用尺規(guī)作貨站P的位置（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）.(2003年湖南省湘譚市中考試題)CAB圖9-123.一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料（如圖9-12），現(xiàn)找出其中的一種，測得C=900，AB=BC=4.今要從這種三角形中剪出一種扇形， 做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在ABC的邊上，且扇形的弧與ABC的其他邊相切，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑）. （2002年湖北省黃岡市中考試題）4. 如圖9-13，有兩個(gè)正方形的花壇，準(zhǔn)備把每個(gè)花壇都分成形狀相同的四塊，種不同的花草

21、.下面左邊的兩個(gè)圖案是設(shè)計(jì)示例，請(qǐng)你在右面的兩個(gè)正方形中設(shè)計(jì)兩個(gè)不同的圖案. 示例： 請(qǐng)你設(shè)計(jì)： 圖9-13 （2003年江蘇省蘇州市中考試題）5. 已知，如圖9-14，ABC中，AB=AC，A=360.仿照?qǐng)D（a），請(qǐng)你再設(shè)計(jì)兩種不同的分法，將ABC分割成3個(gè)三角形，使得每個(gè)三角形都是等腰三角形. (圖（b）、圖(c)供畫圖用，作圖工具不限，不要求寫出畫法，不要求證明；要求標(biāo)出所分得的每個(gè)等腰三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)). （2003年江蘇省鎮(zhèn)江市中考試題）360CBA360CBA360360 1080 360360 720 720360CBA (a) (b) (c) 圖9-14 如圖9-15，把

22、一個(gè)邊長為2cm的的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形. 請(qǐng)用這四個(gè)直角1 1圖9-15三角形拼成符合下列要求的圖形（全部用上，互不重疊且不留空隙），并把你的拼法仿照右圖按實(shí)際大小畫在方格紙內(nèi)（方格為1cm1cm）.(1)不是正方形的菱形（一個(gè)）；（2）不是正方形的矩形（一個(gè)）. (3)梯形（一個(gè)）. (4)不是矩形和菱形的平行四邊形（一個(gè)）(5)不是梯形和平行四邊形的凸四邊形（一個(gè)）. 7.已知，AB為O的直徑，P為AB延長上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作O的切線,設(shè)切點(diǎn)為C.（1） 當(dāng)點(diǎn)P在AB延長線上，如圖9-16（1）時(shí)，連結(jié)AC，作APC的平分線，交AC于D，請(qǐng)你測量CDP的度數(shù).（2） 當(dāng)點(diǎn)P在

23、AB延長線上，如圖9-16（2）和（3）所示時(shí)，連結(jié)AC，請(qǐng)你分別在這兩個(gè)圓中用尺規(guī)作APC的平分線（不寫作法，保留痕跡），設(shè)此角平分線交AC于點(diǎn)D，然后在這兩個(gè)圖中分別測量出CDP的度數(shù). 猜想：CDP的度數(shù)是否隨點(diǎn)P在AB延長線上位置的變化而變化？請(qǐng)對(duì)你加以證明.DP OCBA(3)CPBA(2)圖9-16DCABP(1) OD O （2002年北京市要城區(qū)中考試題）B圖9-17DCA 8. 操作：如圖9-17，在正方形ABCD中，P是CD上一動(dòng)點(diǎn)（與C、D不重合），使三角尺的直角頂點(diǎn)與P重合，并且一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點(diǎn)E.探究：（1）觀察操作結(jié)果

24、，哪一個(gè)三角形與BPC相似？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與BPC的周長比是多少？ （2003年云南省昆明市中考試題）【習(xí)題9】參考答案1（1）略；（2）畫圖略.畫圖方法：利用有刻度的直尺，在AOB的邊OA、OB上分別截取OC、OD，使OC=OD. 連結(jié)CD，量出CD的長，將線段CD二等分，畫出線段CD的中點(diǎn)E. 畫直線OE.直線OE即為AOB的對(duì)稱軸.2 畫圖略.提示：作AOB的平分線OP，再作CD的垂直平分線PQ與OP相交于點(diǎn)P. 點(diǎn)P就是貨站的位置.CAB Or3=44OCAB圖9-18r2=4r4=2CAB3 通過觀察、分析，符合題目要求的方案可以設(shè)計(jì)出如圖9-19所示的四種方案.r1=2DDABC 4（任選圖9-19中兩個(gè)圖案，答案不惟一.）圖9-