三角函數(shù)講義(適用于高三第一輪復(fù)習(xí))

1、.三角函數(shù)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： 2誘導(dǎo)公式 （奇變偶不變，符號看象限） 3兩角和與差的公式 4倍角公式 5降冪公式 6幅角公式 ，其中8補(bǔ)充公式 ， 知識點(diǎn)睛一三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象最值當(dāng)且僅當(dāng)時取到最大值；當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值當(dāng)且僅當(dāng)時取到最大值；當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值周期最小正周期為最小正周期為奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)增；在上單調(diào)減在上單調(diào)增；在上單調(diào)減對稱軸；對稱中心對稱軸；對稱中心說明：表格中的都是屬于，在選擇“代表”的區(qū)間或點(diǎn)時，先盡量選擇離坐標(biāo)原點(diǎn)近的，再盡量選擇正的。正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：定義域?yàn)?，值域?yàn)樽钚≌芷谑牵谏蠁握{(diào)增沒有對稱軸，對稱中心為，奇函數(shù)二正弦

2、型函數(shù)的圖象方法一：先平移變換后伸縮變換平移變換：將圖象向左或向右平移個單位，得到的圖象；伸縮變換：縱坐標(biāo)不變，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長到原來的倍，得到的圖象，此時函數(shù)周期為；振幅變換：橫坐標(biāo)不變，將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長或縮短到原來的倍，得到的圖象，此時函數(shù)的最值分別為、；方法二：先伸縮變換后平移變換伸縮變換：縱坐標(biāo)不變，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長到原來的 倍，所得函數(shù)的圖象，此時函數(shù)的周期為；平移變換：將圖象向左或向右平移個單位，得到的圖象振幅變換：同上解三角形1解三角形：（1）邊的關(guān)系：，（或滿足：兩條較短的邊長之和大于較長邊）（2）角的關(guān)系：， ，2正弦定理：，其中為的

3、外接圓半徑3余弦定理：在中，角的對邊分別為，則有 余弦定理： ， 其變式為：4三角形的面積公式：三角恒等變換例題精講【例1】考查對三角函數(shù)值“知一求二”的掌握（1）已知是第二象限角，且，則_ ,_（2）已知是第四象限角，且，則_，_（3）已知，求、的值點(diǎn)評：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式能夠做到三角函數(shù)值“知一求二”，但要注意正負(fù)符號的確定【例2】已知，計算：（1）； （2）； （3） 點(diǎn)評：如果根據(jù)的值求、的值，則需考慮的象限，這里把寫成構(gòu)造關(guān)于、的齊次式，解法干凈利索【例3】（1）的值是 _ （2）已知，則（3）若記，則_點(diǎn)評：此題主要考查誘導(dǎo)公式的使用，關(guān)于誘導(dǎo)公式希望大家牢記：互補(bǔ)的兩個

4、角正弦值相等，余弦值、正切值互為相反數(shù)，互余的兩個角正弦值、余弦值互換?！纠?】（1）已知，是第三象限角，求（2）已知，是第四象限角，求、（3）若為第二象限角，且，則_【例5】（1）已知，求的值（2）已知，求的值點(diǎn)評：正切的和差角公式把、聯(lián)系到一塊，任一項(xiàng)都能由另兩項(xiàng)表示，如 【例6】（1）若，則 （2）若，則_（3）設(shè)，若，則_點(diǎn)評：在三角函數(shù)的化簡與求值問題中，一要盡量減少三角函數(shù)名，二要盡量減少角的個數(shù)，這里用到“化切為弦”，即將正切化為我們更熟悉的正弦和余弦【例7】（1）已知是第三象限角，且，則_（2）已知是第三象限角，且，則_【例8】（1）已知，則的值為 _，的值為 （2）已知，且，

5、則的值為_點(diǎn)評：此題主要考查與之間的關(guān)系：【例9】若， 求值：（1）；（2）；（3）常見題型一：給角求值在求值過程中，先整體分析三角函數(shù)式的特點(diǎn)，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進(jìn)行局部變換。另外要觀察所給角與特殊角之間的關(guān)系，要盡量利用三角公式將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角?！纠?】求值：（1）_； （2）_；（3）_； （4）_【例2】求值：（1）_； （2）_；常見題型二：給值求值解決此類問題的關(guān)鍵在于角的“整體代換”，找出已知式與欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互補(bǔ)等關(guān)系，另外還要注意角的范圍的討論【例】（1）已知，則_；（2）已知，則_；（3）已知，則_常見題型三：給值求角解決此類問

6、題的關(guān)鍵是先求出此角的某一個三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍確定角的大小，此時要注意根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)號或比較特殊角的三角函數(shù)值大小挖掘隱含條件，要盡量減小角的范圍。【例1】若，且、為銳角，求【例2】已知、均為銳角，且，求【例3】已知，、，求三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)說明：（1）伸縮變換不會改變的值，只是將變?yōu)?；?）若相同，就不用做伸縮變換，若不同，就一定要做伸縮變換；若相同，就不用做平移變換，若不同，就一定要做平移變換；（2）左右平移的量要看發(fā)生在自變量上的變化。三復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)最 值：和；單調(diào)性：若，則正向討論，即令，可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；若，則反向討論，即令，可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 周 期：

7、最小正周期是對稱性：函數(shù)的圖象仍然是波形，它有無數(shù)條對稱軸和無數(shù)個對稱中心令，可求得函數(shù)的所有對稱軸；令，可求得函數(shù)的所有對稱中心【例1】考查三角函數(shù)圖象的變換（1）由函數(shù)的圖象怎么變換到函數(shù)的圖象（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象的對應(yīng)解析式是（ ）A B C D（3）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A向左平移單位  B向左平移單位  C向右平移單位  D向右平移單位【例2】考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱中心（1）函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值是（ ）A B C D（2）已知函數(shù)的最小正周期

8、為,則函數(shù)的圖象（ ）A關(guān)于對稱 B關(guān)于對稱 C關(guān)于對稱 D關(guān)于對稱（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形，則實(shí)數(shù)_（4）若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，那么的最小值為（ ） A B C D （5）已知函數(shù)，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則_【例3】考查三角函數(shù)的單調(diào)性（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 _（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_【例4】已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最小值，并求函數(shù)取得最小值時的的集合；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（4）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （5）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間； （6）求函數(shù)的所有對稱軸和對稱中心；（7）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)，的圖象經(jīng)過怎樣的變換得

9、到；【例5】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程； （2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域【例6】考查三角函數(shù)的最值求法（1）設(shè)和分別表示函數(shù)的最大值和最小值，則 _（2）若函數(shù)，則的最小值為_ （3）當(dāng)時，函數(shù)的最小值是_，最大值是_（4）求函數(shù)的值域（5）求函數(shù)的值域（6）求函數(shù)，的最大值和最小值（7）函數(shù)的值域是 _點(diǎn)撥：三角函數(shù)的值域、最值求法（1）(或)型：利用三角函數(shù)的有界性；（2）型：利用幅角公式轉(zhuǎn)化為形式，再利用有界性；（3）型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意的約束；（4）型：分離常數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性（5）型：數(shù)形結(jié)合法，這里用到直線斜率的幾何意義，也可用純代數(shù)法求法（6）型

10、：換元，要注意變量的范圍【例7】（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域；（5）已知函數(shù)有最大值，求實(shí)數(shù)的值【例8】設(shè)函數(shù)（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍點(diǎn)撥：解決方程有解問題最有效的方法是分離變量求值域【例9】若關(guān)于的方程在上有兩個不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍【例10】（1）若函數(shù)，則是（ ）A最小正周期為的奇函數(shù) B最小正周期為的奇函數(shù)C最小正周期為的偶函數(shù)D最小正周期為的偶函數(shù)（2）函數(shù)的最小正周期是_，最小值是_ （3）函數(shù)的最小正周期是_；（4）函數(shù) 的最小正周期是_點(diǎn)撥：（1）利用降冪公式、幅角公

11、式把已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為形式，從而得到周期； （2）根據(jù)圖象變換知識畫出函數(shù)圖象可以直觀得到函數(shù)周期?！纠?2】已知函數(shù)，有下列命題： 當(dāng)時，的最小正周期是； 當(dāng)時，的最大值是，最小值是；當(dāng)時，將函數(shù)的圖象向左平移可以得到函數(shù)的圖象；當(dāng)時，的對稱中心是 其中正確命題的序號是_（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）13.已知函數(shù)的圖象的一部分如下圖所示。（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值與最小值及相應(yīng)的的值。解三角形例題精講【例1】（1）在中，是的_條件 （2）在銳角中，則的取值范圍是 _ （3）在中，已知，則_【例2】（1）在中，若，則中最大角的余弦值為_（2）某人要制作一個三角形，要求它

12、的三條高的長度分別為，則（ ） A不能作出這樣的三角形 B作出一個銳角三角形 C作出一個直角三角形 D作出一個鈍角三角形（3）以為三邊組成一個銳角三角形，則的取值范圍為_點(diǎn)評：最大角決定三角形的形狀，由余弦定理得，較小兩邊的平方和與最大邊的平方的差決定最大角是銳角、直角和鈍角?！纠?】考查正余弦定理的靈活使用（1）在中，若，其面積，則_（2）在中，若，則_（3）在中，若，則_（4）在銳角中，若，則_【例4】判斷滿足下列條件的三角形形狀 （1）； （2）； （3）； （4） 點(diǎn)評：與三角形形狀相關(guān)的幾個結(jié)論:（1）在中，若，則為等腰三角形或直角三角形（2）在中，若，則為等邊三角形（3）在中，若，

13、則為直角三角形（4）在中，若，則為直角三角形【例5】在中，角的對邊分別為、，求【例6】在中，角的對邊分別為，且， （1）當(dāng)時，求角的度數(shù)； （2）求面積的最大值【例7】中，所對的邊分別為，,.（1）求； （2）若,求 【例8】在中，, （1）求的值； （2）設(shè)，求的面積【例9】在中，角的對邊分別為，且 （1）求的大?。?（2）求的最大值 【例10】在中，角的對邊分別為， （1）求的大??； （2）求的范圍【例11】設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知，求【例12】在中，角的對邊分別是，已知.（1）求的值； （2）若，求邊的值.【例13】在中，角的對邊分別是，已知.（1）求的值； （2）若，求邊的值2012

14、高考真題分類匯編：三角函數(shù)一、選擇題1.設(shè)是方程的兩個根，則的值為（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）32.把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的圖像是3.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（ ） 4.如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連接、則（ ）A、 B、 C、 D、5.在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 6.若，則（A） （B） （C） （D）7.已知，(0，)，則=(A) 1 (B) (C) (D) 18.若tan+ =4,則sin2=A B. C

15、. D. 9.函數(shù)f（x）=sinx-cos(x+)的值域?yàn)?A -2 ,2 B.-, C.-1,1 D.- , 10.在中，若，則的形狀是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D不能確定11.設(shè)則“”是“為偶函數(shù)”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分與不必要條件12.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是，已知8b=5c，C=2B，則cosC=（A） （B） （C） （D）13.已知為第二象限角，則cos2=(A) （B） (C) (D)二、填空題14.函數(shù)f（x）=sin ()的導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖4所示，其中，P為圖像與y軸的交點(diǎn)，A,

16、C為圖像與x軸的兩個交點(diǎn)，B為圖像的最低點(diǎn).（1）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，），則 ;（2）若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為 .15.設(shè)的內(nèi)角，所對的邊分別為，. 若，則角 16.在ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，則b=_。17.設(shè)的內(nèi)角所對的邊為；則下列命題正確的是若；則 若；則 若；則 若；則若；則18.已知ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_.19.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，,則 21.當(dāng)函數(shù)取得最大值時，x=_.22.設(shè)為銳角，若，則的值為 三、解答題23.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，（1）求 （2）若，的面積為；求.24.已知

17、向量，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中，為常數(shù)，且. （）求函數(shù)的最小正周期； （）若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.25. 設(shè)函數(shù)。（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）設(shè)函數(shù)對任意，有，且當(dāng)時， ，求函數(shù)在上的解析式。26. 函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，、為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形。（）求的值及函數(shù)的值域；（）若，且，求的值。27.函數(shù)（）的最大值為3， 其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，則，求的值。28.已知函數(shù)，（其中0，xR）的最小正周期為10（1）求的值；（2）設(shè)，求cos（）的值29.已知向量，函數(shù)的最大值為6.（）求；（）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.求在上的值域.30.已知函數(shù)。（1）求的定義域及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間。31.設(shè)，其中（）求函數(shù) 的值域（）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求 的最大值.32.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的