基本不等式(1)(課堂實錄+點評)

1、基本不等式 課堂實錄執(zhí)教曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)273165劉偉點評曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)273165孟祥東（特級教師）在前兩節(jié)課的研究當(dāng)中，學(xué)生已掌握了一些簡單的不等式及其應(yīng)用，并能用不等式及不等式組抽象出實際問題中的不等量關(guān)系，掌握了不等式的一些簡單性質(zhì)與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題.本節(jié)課的研究是前三大節(jié)學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展.另外，為基本不等式的應(yīng)用墊定了堅實的基礎(chǔ)，所以說，本節(jié)課是起到了承上啟下的作用.本節(jié)課是通過讓學(xué)生觀察第屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的.通過分析得出基本不等式：，然后從三種角度對基本不等式展開

2、證明及對基本不等式展開一些簡單的應(yīng)用,進而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.教師應(yīng)作好點撥，利用幾何背景，數(shù)形結(jié)合做好歸納總結(jié)、邏輯分析，并鼓勵學(xué)生從理性角度去分析探索過程，進而更深層次理解基本不等式，鼓勵學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法獲得過程的探索，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助.一、課堂實錄教學(xué)過程1、導(dǎo)入新課（走進智者，挑戰(zhàn)自我）探究：由菲爾茲獎引到在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，它既標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，同時又像一

3、只轉(zhuǎn)動的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)精英們多媒體展示上面的會標(biāo)變化成轉(zhuǎn)動的風(fēng)車接著問：你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？ 設(shè)計依據(jù)：用多媒體展示菲爾茲獎獎牌，并簡單介紹菲爾茲獎背景，然后引出第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，并介紹此會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，通過直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力，在授課中滲透數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并增強學(xué)生的自豪感和愛國主義熱情2、探究新知（自學(xué)質(zhì)疑，交流展示）師 同學(xué)們能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？（沉靜片刻）生 應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形師 同學(xué)們觀察得很細(xì)致，可以抽象出哪些幾何圖形？生 四個

4、全等的直角三角形，兩個正方形.師 同學(xué)們的觀察比較準(zhǔn)確下面我們就來詳細(xì)的探究這些幾何圖形過程引導(dǎo)師 設(shè)直角三角形的兩直角邊的長分別為a、b，那么，四個直角三角形的面積之和與大正方形的面積有什么關(guān)系呢？生 顯然正方形的面積大于四個直角三角形的面積之和師 一定嗎？（大家齊聲：不一定，有可能相等）師 好！那大正方形的面積是多少？四個直角三角形的面積之和又是多少？同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號去進行嚴(yán)格的推理證明剛剛的猜想呢？ （思考片刻）生 每個直角三角形的面積為，四個直角三角形的面積之和為2ab，正方形的邊長為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b22ab師 這位同學(xué)回答得很好，表達(dá)很全面、準(zhǔn)確請你接著

5、回答，這里能取到等號嗎？生 可以取到等號，當(dāng)直角三角形是等腰直角三角形，即a=b時，等號成立師 回答的非常好，也就是說我們得到的應(yīng)該是a2+b22ab下面請大家思考一下，這位同學(xué)對a2+b22ab證明了嗎？生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀得到的，只是用字母表達(dá)一下而已師 回答得很好（有的同學(xué)感到迷惑不解）師 這樣的敘述不能代替證明.這是同學(xué)們在解題時經(jīng)常會犯的錯誤.實質(zhì)上，對文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明（有的同學(xué)竊竊私語，確實是這樣，并沒有給出證明）師 請同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b22ab設(shè)計意圖：在于引領(lǐng)學(xué)生從感性認(rèn)識基本不等式到理性證明

6、，實現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華（思考片刻）生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，(a-b)2是一個完全平方數(shù)，它是非負(fù)數(shù)，即(a-b)20，所以可得a2+b22ab師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？生 正確.教師精講師 這位同學(xué)的證明思路很好.今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個代數(shù)式的大小是否一樣生 實質(zhì)一樣，只是設(shè)問的形式不同而已.一個是比較大小，一個是讓我們?nèi)プC明師 對.那么我們在遇到這類問題時，我們就可以采用作差法去證明設(shè)計依據(jù)：此處講解，意在啟發(fā)學(xué)生以后遇到類似問題如何處理，把以后解決問題的思維空間切

7、實留給學(xué)生教師板書重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有 a2+b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立跟蹤訓(xùn)練師 請利用重要不等式填空。（學(xué)生思考）首先發(fā)問：上面的三個式子中，a、b對應(yīng)的分別是什么？生 回答略設(shè)計依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來源，理解了a、b只是一個符號，這樣突破了重點和難點，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).師 下面請同學(xué)們完成上面的不等式生 回答略師 （板書：）大家來看，上面不等式兩邊同時除以2，我們可以得到什么式子？生 師 說的好，這就是我們今天這節(jié)課學(xué)的最重要的不等式基本不等式教師精講師 上面不等式中

8、 叫a、b的幾何平均數(shù)，叫a、b的算數(shù)平均數(shù)我們發(fā)現(xiàn)：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)師 怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”？（學(xué)生小組討論，交流看法，師生總結(jié)）生 “當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立”的含義是：當(dāng)a=b時，取等號，即僅當(dāng)a=b時，取等號，即幾何解釋師 上面我們從代數(shù)角度證明了基本不等式，下面我們再從幾何的角度驗證一下.設(shè)計意圖：借助初中階段學(xué)生熟知的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生探究不等式的幾何解釋，通過數(shù)形結(jié)合，賦予不等式幾何直觀進一步領(lǐng)悟不等式中等號成立的條件多媒體展示：如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,CB=b，請比較CD與OD的大小關(guān)系.師 要比較CD與OD的大小關(guān)系就需要

9、先求CD與OD那么CD與OD怎么求呢？（學(xué)生思考）生師我們是不是可以借助三角形相似求CD師幾何解釋實質(zhì)可認(rèn)為是：在同一個圓中，半徑不小于半弦；或者認(rèn)為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高不等式的變形生還有其他的變形嗎？師還有其他的變形，但是，這幾個是以后我們用的最多的3、鞏固新知（小組合作，學(xué)習(xí)研討）（小試牛刀：應(yīng)用基本不等式完成下列各題）追問：設(shè)計意圖：以上題目均是根據(jù)基本不等式的使用條件中的難點和關(guān)鍵處設(shè)置的，目的是利用學(xué)生原有的知識，進一步領(lǐng)悟到不等式成立的條件，及當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。這些“陷阱”要讓學(xué)生自己往里跳，然后自己再從中爬出來，完全放手讓學(xué)生自主探究，老師指導(dǎo)，師生歸納總

10、結(jié)結(jié)論：若兩正數(shù)的乘積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的和有最小值；若兩正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時，它們的乘積有最大值； 簡記為：“一正、二定、三相等”4、深化新知（互動探究，精講點撥）初顯身手公式應(yīng)用之一：師 請應(yīng)用基本不等式完成下列各題(1)若的最小值為_,此時(2)若a0,b0,且a+b=2,則ab的最大值為_,此時a=_,b=_生 回答略展露鋒芒公式應(yīng)用之二：（最優(yōu)化問題）設(shè)計意圖：新穎有趣、簡單易懂、貼近生活的問題,不僅極大地增強學(xué)生的興趣，拓寬學(xué)生的視野，更重要的是調(diào)動學(xué)生探究鉆研的興趣，引導(dǎo)學(xué)生加強對生活的關(guān)注，讓學(xué)生體會：數(shù)學(xué)就在我們身邊的生活中(1)陶淵明打算用籬

11、笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短籬笆是多少米？(2) 陶淵明打算用一段長為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大面積是多少？學(xué)生作答略5、全課小結(jié)，內(nèi)化新知通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？取得了哪些經(jīng)驗教訓(xùn)?還有哪些問題需要請教？設(shè)計意圖：通過反思、歸納，培養(yǎng)概括能力；幫助學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，鞏固知識技能，提高認(rèn)知水平老師根據(jù)情況完善如下：一個不等式：若，則有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，兩種思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想三個注意：基本不等式求函數(shù)的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”6、布置作業(yè) 略板書設(shè)計基

12、本不等式一、重要不等式 全課小結(jié)a2b22ab二、定理若a0，b0， 課后作業(yè)則證明過程：二、點評這是2013年10月23日在曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)多媒體教室為國培項目2013年高中數(shù)學(xué)示范性集中培訓(xùn)項目上的一節(jié)公開課的實錄本節(jié)課的核心是了解基本不等式結(jié)構(gòu)，理解基本不等式的意義，并會用基本不等式解決有關(guān)問題在本節(jié)課的教學(xué)中，劉偉老師通過導(dǎo)入新課、推進新課、探究歸納、初顯身手、展露鋒芒、反思總結(jié)等環(huán)節(jié)，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，使學(xué)生在本課的學(xué)習(xí)中，一步步的去發(fā)現(xiàn)、總結(jié)基本不等式的結(jié)構(gòu)特點并熟練應(yīng)用基本不等式，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)課堂的主體，而教師只是教學(xué)課堂活動的組織者、引導(dǎo)者和參與者在課后的交流中，

13、來自全國各地的國培項目學(xué)員，對這節(jié)課給予高度評價，所以推薦給大家，供觀摩研討本節(jié)課主要有以下特色：一、可以激發(fā)全體同學(xué)的求知欲我不止一次思考過，我們教師給學(xué)生留下什么是最重要的？我想應(yīng)該就是學(xué)生的求知欲和思考問題的方式方法在本節(jié)課的教學(xué)中，劉老師以數(shù)學(xué)故事為引子，以問題為紐帶，不斷提出問題，由學(xué)生通過獨立思考或合作交流，在不斷的討論中積極參與學(xué)習(xí)活動，積極思考問題，主動探求問題的答案劉老師運用多媒體課件教學(xué)，把文字、聲音、圖像、顏色、動畫等多種信息高質(zhì)量高速度的傳達(dá)給學(xué)生，極大的豐富了教學(xué)信息，化難為易，化抽象為具體，化枯燥為生動，增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣二、可以讓學(xué)生有成功的感覺，增強學(xué)生的自信

14、心有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來自于學(xué)生對數(shù)學(xué)活動的參與，而參與的程度卻與學(xué)生學(xué)習(xí)時產(chǎn)生的情感因素密切相關(guān)情感態(tài)度價值觀在學(xué)習(xí)活動中具有動力作用，所以有必要在數(shù)學(xué)教育中加強情感態(tài)度價值觀教育在本節(jié)課中，劉老師多次對學(xué)生的表現(xiàn)給予表揚，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中感受到了老師對自己的認(rèn)可，也感受到了對數(shù)學(xué)問題探究的樂趣以及由此獲得的成功的喜悅?cè)⒖梢耘囵B(yǎng)學(xué)生的團隊精神孔子曰：“獨學(xué)而無友，則孤陋而寡聞”在鞏固新知和深化新知（初顯身手和展露鋒芒）中，由學(xué)習(xí)小組觀察、模仿公式形式、合作交流、解決問題等方面的學(xué)習(xí)行為，產(chǎn)生了同學(xué)間互助學(xué)習(xí)的效果，促進團隊合作精神四、可以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力劉老師在本節(jié)課的教學(xué)中，不是簡單的把基本

15、不等式及其用法講授給學(xué)生，而是讓學(xué)生逐步的發(fā)現(xiàn)、總結(jié)基本不等式的特點，并應(yīng)用基本不等式解決相關(guān)問題整個課堂設(shè)計都是以學(xué)生為主題，教師引導(dǎo)學(xué)生通過主動參與探索、歸納來獲取知識，從而培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、比較、歸納和自學(xué)能力五、本節(jié)課充分展示了教師駕馭教材和把握學(xué)情的能力教師一進課堂就胸有成竹，充滿信心面對復(fù)雜多變的課堂，能駕輕就熟、游刃有余的指揮調(diào)度，能牢牢地吸引住學(xué)生的注意力，充分的調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，出色的完成了教育教學(xué)任務(wù)教師講授課時語言生動、動作富有感染力，使學(xué)生在45分鐘內(nèi)不僅學(xué)到了知識，而且還有一種美的享受，讓學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中快樂學(xué)習(xí)六、教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源生活又服務(wù)生活的中心思想在整節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中體現(xiàn)了：數(shù)學(xué)來源生活又服務(wù)生活的中心思想。從一開始由第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)中幾何圖形的面積關(guān)系引入基本不等式，到后來用一定長度的籬笆圍最大的矩形菜園面積和用最少的籬笆圍一個面積一定的矩形面積，都是生活中經(jīng)常用到的實際問題。在整節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中站的高度較高，知識有一定的的深度和難度。在課堂的最后以兩個高考題作為思考讓學(xué)生體會基本不等式在高考中的難度，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身與高考的距離，在平時的學(xué)習(xí)過程中方向性更加明確總之，本課教學(xué)依據(jù)學(xué)生、教材實際，遵循“教學(xué)設(shè)計問題化，教學(xué)過程活動化，活動過