圓錐曲線秒殺法

1、圓錐曲線秒殺法 吳磊研究高考作文之余，本人也研究高考數(shù)學(xué)的秒殺方法，主要包括隱函數(shù)求導(dǎo)、柯西不等式、仿射、參數(shù)方程、極點(diǎn)極線一、圓錐曲線部分小題用到的方法1、橢圓C：x/8+y/2=1與斜率K=1/2的直線l相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_注:傳統(tǒng)方法我就不講了，講兩種秒殺法法一、隱函數(shù)求導(dǎo) 直接對(duì)C：x/8+y/2=1求關(guān)于X導(dǎo)數(shù)可得 x/4+yy=0，帶入K=1/2，x=-2y,帶入橢圓方程，很容易解出切點(diǎn)為(-2,1)和 (2,-1)；法二、縮放坐標(biāo)將橢圓縮放成圓利用圓的性質(zhì)快速解題，將X軸壓縮為原來的1/2，即x=2x(這里不是導(dǎo)數(shù)，只表示一個(gè)未知數(shù))；斜率K=2K=1，橢圓化為圓C: x+ y=

2、2;很容易求得I與C相切于(-1,1)和 (1,-1)，還原，可知I與C相切于(-2,1)和 (2,-1)2、橢圓C：x/4+y/3=1上的點(diǎn)到直線L:x-2y-1=0距離的取值范圍為:_法一、直接用柯西不等式橢圓和直線相交，最小距離為0，最大距離為橢圓C與l平行的切線l與l的距離，l= x-2y+b=0;構(gòu)造柯西不等式可知(x/4+y/3)（4+12）(x-2y);-4b4;把4和-4代入l；再利用平行線距離公式求I和l距離，最大距離為5 所以0d5法二、縮放坐標(biāo)系橢圓和直線相交，最小距離為0，最大距離為橢圓C與l平行的切線l與l的距離。l= x-2y+b=0；縮放y=3/2 y；橢圓C縮放

3、后方程C為: x+y=4；l縮放后表達(dá)式為l=x-3y+b=0, C與l相切，利用點(diǎn)到直線距離為半徑，容易求的b=4和-4；再利用平行線距離公式很容易求得范圍為0d53、過定點(diǎn)(4、0)的直線l與橢圓C：x/4+y=1有公共點(diǎn)，則直線l斜率K取值范圍為:_法一、直接用柯西不等式l:my=x-4,則x-my=4;構(gòu)造柯西不等式，(x/4+y)（2+ m）(x-my)可得，m12,注意是反設(shè)斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范圍為-3/6k3/6法二、縮放坐標(biāo)l:my=x-4， x=2x C: x + y =1; I:m y=2 x-4, 用點(diǎn)到直線距離公式，d=4/(4+ m )1；可解的m1

4、2,注意是反設(shè)斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范圍為-3/6k3/6二、柯西不等式柯西不等式在高中數(shù)學(xué)提升中非常重要，是高中數(shù)學(xué)研究?jī)?nèi)容之一，是求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)經(jīng)常使用的理論根據(jù)，技巧以拆常數(shù)，湊常值為主?？挛鞑坏瓤挛鞑坏仁?方和 積不小于積和 方柯西不等式的主要變形公式變形公式1 取等條件同 變形公式2 變形公式3柯西不等式三角公式 變形公式4 取等條件同 變形公式5 取等條件同 三、仿射四、參數(shù)方程 橢圓參數(shù)方程 吳磊 一、沒吃過豬肉，你還沒見過豬跑x=acos；y=bsin 是一組我們熟悉而又陌生的方程，可問題是你真懂他們的含義嗎? 究竟是個(gè)什么東東，和圓參數(shù)方程和

5、極坐標(biāo)方程中是一個(gè)意思嗎?1、從一道百分之九十以上人都做錯(cuò)的簡(jiǎn)單題展開例1、P是橢圓C上一點(diǎn): x= 4cos; y=23sin 且在第一象限 O（ O為原點(diǎn)）P的傾斜角為/3，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_經(jīng)典錯(cuò)法: 因?yàn)閮A斜角為/3，x= 4cos; y=23sin，所以x= 4cos/3=2; y=23sin/3 =3 求得P坐標(biāo)（2、3）正解: 橢圓參數(shù)方程是旋轉(zhuǎn)而成的圓心角而不是傾斜角 因?yàn)?OP的傾斜角為/3，故OP的斜率K= tan/3=3；3=y/x 23sin/4cos=3 (1) sin+cosa=1 (2) 聯(lián)立二式，P在第一象限，可解cos=5/5 sin=25/5 P點(diǎn)坐標(biāo)為(45

6、/5 、415/5 )2、橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)和含義解釋3、橢圓參數(shù)方程的設(shè)法可能有的同學(xué)會(huì)按照焦點(diǎn)在X軸:x=acos；y=bsin 焦點(diǎn)在Y軸:x=bcos；y=asin 去記憶，老師告訴你別這么理解，你只要記住cos對(duì)應(yīng)的系數(shù)是a和b中大的，cos和擴(kuò)大諧音，參數(shù)方程還原主要看cos前的系數(shù)，它一定是大的，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸，他在哪個(gè)下面。二、橢圓參數(shù)方程妙用1、橢圓內(nèi)內(nèi)接面積問題例1: 解:可設(shè)A( 10cos； 8sin )，利用對(duì)稱性可知 B( 10cos；- 8sin )C( -10cos；- 8sin )；D( -10cos；8sin )AB長(zhǎng)度為16 sin ；AD長(zhǎng)度為20 cos

7、， 矩形面積S=160 sin2，由三角函數(shù)知識(shí)可知，面積最大為160例2：解:要使SOAPB最大，由圖可知SOAB為定值，需求出P到直線AB距離，距離最大時(shí)SBPA最大，從而SOAPB最大，用橢圓參數(shù)方程設(shè)P為 x=acos；y=bsin直線AB的方程為:x/a+y/b=1 用P到AB的距離公式可以求得距離最大為ab(2-1)2, SOAPB= ab2/22、橢圓相關(guān)距離問題例1:解: 用橢圓參數(shù)方程設(shè)P為 x=2cos；y=sin；A(0,3/2)由點(diǎn)到距離公式可知AP最大為5/2,所以PQ最大值為3例2:橢圓約束下二次型最值問題解:用橢圓參數(shù)方程解，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)最值問題。由于b和4大小

8、未知，顯然需要分類討論 0b2，時(shí) P(x=2cos；y=bsin),轉(zhuǎn)化成求4 cos+ 2bsin最大值 可求得最大值為(b/4)+4 b2 P(x=bcos；y=2sin), 轉(zhuǎn)化成求bcos+ 4sin最大值可求得最大值為2b3、橢圓與向量求范圍、求值問題例1已知橢圓E：,A在E上（1,1/2），若點(diǎn)P在E上滿足（1）求t的范圍（2）過原點(diǎn)O的直線交E于BC，求SBCA的最大值解: Smax=2五、極點(diǎn)極線圓錐曲線的極點(diǎn)與極線理論在高考中應(yīng)用較多，原因有二：其一，有高等數(shù)學(xué)背景，結(jié)論非常完美；其二，運(yùn)用高中知識(shí)解決問題，能夠考查學(xué)生思維、計(jì)算多方面能力。掌握有關(guān)極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)，才

9、能“識(shí)破”試題中蘊(yùn)含的有關(guān)極點(diǎn)與極線的知識(shí)背景，做題事半功倍。PEFGHMANB圖11.從幾何角度看極點(diǎn)與極線定義1 如圖1，設(shè)是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)，連接交于，連接交于，則直線為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線.若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線即為極線.由圖1同理可知， 為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，為點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線.因而將稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線交圓錐曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則恰為圓錐曲線的兩條切線.定理1 (1)當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，則點(diǎn)的極線是曲線在點(diǎn)處的切線；(2)當(dāng)在外時(shí)，過點(diǎn)作的兩條切線，設(shè)其切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)的極線是直線(即切點(diǎn)弦所在的直線)；(3) 當(dāng)在內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)任作一割線交于，設(shè)在處的切線

10、交于點(diǎn)，則點(diǎn)的極線是動(dòng)點(diǎn)的軌跡.PQA圖2Bl定理2 如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線為，過點(diǎn)任作一割線交于，交于，則 ；反之，若有成立，則稱點(diǎn)調(diào)和分割線段，或稱點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛，或稱點(diǎn)(或點(diǎn))關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)(或點(diǎn)).點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)是一條直線，這條直線就是點(diǎn)的極線.推論1 如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)，則有 ；反之，若有成立，則點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛.可以證明與是等價(jià)的.事實(shí)上，由有.特別地，我們還有推論2 如圖3，設(shè)點(diǎn)關(guān)于有心圓錐曲線(設(shè)其中心為)的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)，連線經(jīng)過圓錐曲線的中心，則有 ，反之若有此式成立，則點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛.證明：設(shè)直線與的另一交點(diǎn)為，

11、則PQR圖3RO，化簡(jiǎn)即可得.反之由此式可推出，即點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛.推論3 如圖4，圓錐曲線的一條對(duì)稱軸上的兩點(diǎn)(不在上)，若關(guān)于調(diào)和共軛，過任作的一條割線，交于PlA圖4RBQR兩點(diǎn)，則.證明：因關(guān)于直線對(duì)稱，故在上存在的對(duì)稱點(diǎn).若與重合，則與也重合，此時(shí)關(guān)于對(duì)稱，有；若與不重合，則與也不重合，由于關(guān)于調(diào)和共軛，故為上完全四點(diǎn)形的對(duì)邊交點(diǎn)，即在上，故關(guān)于直線對(duì)稱，也有.定理3 (配極原則)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于的極線經(jīng)過點(diǎn)；直線關(guān)于的極點(diǎn)在直線上直線關(guān)于的極點(diǎn)在直線上.由此可知，共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)；共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.以上未加證明的定理，可參閱有關(guān)高等幾何教材，如【1】，其中定理1

12、的初等證法可參閱文【2】.2.從代數(shù)角度看極點(diǎn)與極線定義2 已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換，以替換 ，以替換即可得到點(diǎn)的極線方程.特別地：(1)對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；(2)對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；(3)對(duì)于拋物線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.(4)如果圓錐曲線是橢圓，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線恰為橢圓的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是雙曲線，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線恰為雙曲線的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是拋物線，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線恰為拋物線的準(zhǔn)線. 3.從極點(diǎn)與極線角度看圓錐曲線試題【例1】(2010江蘇卷文理18)在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓

13、的左右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為設(shè)過點(diǎn)的直線與此橢圓分別交于點(diǎn)，其中，(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)的軌跡；(2)設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）xOBA圖5KMN 分析與解：前面兩問比較簡(jiǎn)單，這里從略. 對(duì)于(3)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，連，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，根據(jù)極點(diǎn)與極線的定義可知，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線經(jīng)過，又點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為，即，此直線恒過軸上的定點(diǎn)，從而直線也恒過定點(diǎn). 【例2】 (2008安徽卷理22)設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；BQxyOPA.圖6(2)當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明點(diǎn)總在某定直線上.分析與解：(1)易求得答

14、案.(2)由條件可有，說明點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線調(diào)和共軛.根據(jù)定理2，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，即，化簡(jiǎn)得. 故點(diǎn)總在定直線上.【例3】( 1995全國(guó)卷理26)已知橢圓，直線，是上一點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，又點(diǎn)在上且滿足，當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.,并說明軌跡是什么曲線.分析與解：由條件知可知點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線調(diào)和共軛，而點(diǎn)可看作是點(diǎn)的極線與直線的交點(diǎn). 設(shè)，則與對(duì)應(yīng)的極線方程為RQxyOP.圖7，化簡(jiǎn)得 又直線的方程為，化簡(jiǎn)得 解由聯(lián)立方程組得ABPOxy圖8F，消去得，可化為(不同時(shí)為)，故點(diǎn)的軌跡是以為中心，長(zhǎng)短軸分別為和，且長(zhǎng)軸平行于軸的橢圓，但需去掉坐標(biāo)原點(diǎn).【例4】(2006年全國(guó)卷II理21)已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，并設(shè)其交點(diǎn)為.(1)證明為定值；(2)設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值.分析與解：(1)顯然，點(diǎn)的極線為，故可設(shè)點(diǎn)，再設(shè)，三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程分別為，由于三點(diǎn)共線，故相應(yīng)的三極線共點(diǎn)于，將代入后面兩個(gè)極線方程得，兩式相減得.又，故.ABPOxy圖9Fl(2)設(shè)的方程為，與拋物線的極線方程對(duì)比可知直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)