天體運(yùn)動問題的基本模型與方法

1、天體運(yùn)動問題的基本模型與方法天體運(yùn)行問題的分析與求解，是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運(yùn)用，問題的分析與求解的關(guān)鍵是建模能力。一、基本模型計算天體間的萬有引力時，將天體視為質(zhì)點，天體的全部質(zhì)量集中于天體的中心；一天體繞另一天體的穩(wěn)定運(yùn)行視為勻速圓周運(yùn)動；研究天體的自轉(zhuǎn)運(yùn)動時，將天體視為均勻球體。二、基本規(guī)律1天體在軌道穩(wěn)定運(yùn)行時，做勻速圓周運(yùn)動，具有向心加速度，需要向心力。所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供。設(shè)質(zhì)量為m的天體繞質(zhì)量為M的天體，在半徑為r的軌道上以速度v勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律及萬有引力定律有：。這就是分析與求解天體運(yùn)行問題的基本關(guān)系式，由于有線速度與角速度關(guān)系、角速度

2、與周期關(guān)系，這一基本關(guān)系式還可表示為：或。2在天體表面，物體所受萬有引力近似等于所受重力。設(shè)天體質(zhì)量為M，半徑為R，其表面的重力加速度為g，由這一近似關(guān)系有：，即。這一關(guān)系式的應(yīng)用，可實現(xiàn)天體表面重力加速度g與的相互替代，因此稱為“黃金代換”。 3天體自轉(zhuǎn)時，表面各物體隨天體自轉(zhuǎn)的角速度相同，等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力最大。對于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，式中N為天體表面對物體的支持力。如果天體自轉(zhuǎn)角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出，“甩”出的臨界條件是：N=0，此時有：，由此式可以計算天體不瓦解所對應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已

3、知天體自轉(zhuǎn)的角速度，由及可計算出天體不瓦解的最小密度。 三、常見題型 1估算天體質(zhì)量問題 由關(guān)系式可以看出，對于一個天體，只要知道了另一天體繞它運(yùn)行的軌道半徑及周期，可估算出被繞天體的質(zhì)量。 例1據(jù)媒體報道，嫦娥一號衛(wèi)星環(huán)月工作軌道為圓軌道，軌道高200km，運(yùn)行周期為127分鐘。若還知道引力常量和月球半徑，僅利用以上條件不能求出的是 A月球表面的重力加速度B月球?qū)πl(wèi)星的吸引力C衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速度D衛(wèi)星繞月運(yùn)行的加速度解析：設(shè)月球質(zhì)量為M，半徑為R，月面重力加速度為g，衛(wèi)星高度為h，運(yùn)行周期為T，線速度為v，加速度為a，月球?qū)πl(wèi)星的吸引力為F。

4、對于衛(wèi)星的繞月運(yùn)行，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，由此式可求知月球的質(zhì)量M。由“黃金代換”有：，由這兩式可求知月面重力加速度g。由線速度的定義式有：，由此式可求知衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速度。由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，由此式可求知繞月運(yùn)行的加速度。由萬有引力定律有：，由于不知也不可求知衛(wèi)星質(zhì)量m，因此，不能求出月球?qū)πl(wèi)星的吸引力。故，本題選B。2估算天體密度問題若已知天體的近“地”衛(wèi)星（衛(wèi)星軌道半徑等于天體半徑）的運(yùn)行周期，可以估算出天體的密度。 例2天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍。已知某一近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的周期約為1.4小

5、時，引力常量G6.67×10-11N·m2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為 A1.8×103kg/m3        B5.6×103kg/m3      C1.1×104kg/m3        D2.9×104kg/m3解析：對于近地衛(wèi)星饒地球的運(yùn)動有：，而，代入已知數(shù)據(jù)解得：=2.9×104kg/m3。本題選D3運(yùn)行

6、軌道參數(shù)問題對于做圓周運(yùn)動的天體，若已知它的軌道半徑，可以計算它的運(yùn)行線速度、角速度、周期等運(yùn)行參數(shù)，并且可以看出，這些參數(shù)取決于軌道半徑。例3最近，科學(xué)家在望遠(yuǎn)鏡中看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運(yùn)動一周所用的時間為1200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100陪。假定該行星繞恒星運(yùn)行的軌道和地球繞太陽運(yùn)行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數(shù)據(jù)可以求出的量有 A恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比         B恒星密度與太陽密度之比C行星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比   &

7、#160;     D行星運(yùn)行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比解析：由萬有引力定律和牛頓第二定律有：，解得：，由題意可知，能求出恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比。由及題意可知，能求出行星運(yùn)行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比。本題選AD。4人造地球衛(wèi)星問題 人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道的中心與地球球心重合。同步通信衛(wèi)星的軌道與赤道平面重合，運(yùn)行的角速度（或周期）與地球的自傳角速度（或周期）相同，距地面的高度一定。近地衛(wèi)星的軌道半徑與地球半徑相等。 例4已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響（1）推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式；（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)

8、動，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期解析：（1）第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度。設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，在地球表面附近滿足 ，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力等于它受到的萬有引力，即 ，解得：； （2）對于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，而，解得：例5某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽照射的此衛(wèi)星。試問春分那天（太陽光直射赤道）在日落后12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射。 解析：如圖1所示，E為地球赤道，S表示衛(wèi)星

9、，A表示觀察者，O表示地心。由圖知春分那天日落后，當(dāng)衛(wèi)星由位置S運(yùn)動到S/位置過程中，恰好處于地球的陰影區(qū)域，衛(wèi)星無法反射陽光，觀察者看不到衛(wèi)星。設(shè)地球質(zhì)量、衛(wèi)星質(zhì)量分別為M、m，衛(wèi)星軌道及地球半徑分別為r、R，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，由幾何關(guān)系有：，觀察不到衛(wèi)星的時間為：，在地球表面有：。解得：。 5“相遇”問題 若某天體有兩顆軌道共面的衛(wèi)星，從某次它們在天體中心同側(cè)與天體中心共線（兩衛(wèi)星相距最近）到下次出現(xiàn)這一情形的時間與兩衛(wèi)星角速度、間滿足關(guān)系：,。例6如圖2所示，A是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星 B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為 h。已知地球半徑為 R

10、，地球自轉(zhuǎn)角速度為o，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心。  （1）求衛(wèi)星B的運(yùn)行周期。 （2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近？解析：（1）對衛(wèi)星B繞地球的運(yùn)行，由萬有引力定律和牛頓第二定律有： ，在地面有：，解得：。（2）由題意應(yīng)有：，而，由于衛(wèi)星A是同步衛(wèi)星，故：，解得：6外星上的物理問題      若已知某天體的半徑及質(zhì)量，由黃金代換式可求出天體表面的重力加速度，此后可運(yùn)用有關(guān)物理規(guī)律求解在外星表面的進(jìn)行的與重力加速度

11、有關(guān)的物理問題。這類問題的另一形式是由運(yùn)動學(xué)公式，根據(jù)運(yùn)動量求解出天體表面的重力加速度，然后由黃金代換式及基本關(guān)系式求解天體的其它參量。 例7在“勇氣號”火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為vo，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計火星大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T?；鹦强梢暈榘霃綖閞o的均勻球體。 解析：以M表示火星的質(zhì)量，m表示火星表面處某一物體的質(zhì)量，以g表示火星表面附近的重力加速度，由于在火星表面的重力等于火

12、星對它的萬有引力，故有：；以m表示火星的衛(wèi)星的質(zhì)量，由萬有引力定律和牛頓第二定律有：。設(shè)著陸器第二次落到火星表面時的速度為v，它的豎直分量為v1，則水平分量仍為vo，由于著陸器第一次反彈后在最高點時的豎直分速度為零，故有：， 。解以上各式解得 ：。7變軌問題飛船或衛(wèi)星從地面發(fā)射時，一般先將其發(fā)射到距地球較近的軌道上做圓周運(yùn)動，再在適當(dāng)位置實施變軌，使其離開原來的圓周軌道，在半長軸較大的橢圓軌道運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)行至橢圓軌道的遠(yuǎn)地點時再次實施變軌，使其在以橢圓半長軸為半徑的圓軌道上做圓周運(yùn)動，這個軌道就是飛船或衛(wèi)星的穩(wěn)定運(yùn)行或工作軌道。還有一類變軌問題：在某確定軌道（半徑一定）上圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，由于某種

13、原因的影響，若速度發(fā)生了變化，由基本關(guān)系式可以得出：，由此可以看出，當(dāng)衛(wèi)星速度變化時，軌道半徑隨之變化。例82008年9月25日至28日我國成功實施了“神舟”七號載人航天飛行并實現(xiàn)了航天員首次出艙。如圖3所示，飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠(yuǎn)地點343千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運(yùn)行周期約為90分鐘。下列判斷正確的是：A飛船在變軌前后的機(jī)械能相等B飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態(tài) C飛船在此圓軌道上運(yùn)動的角速度大于同步衛(wèi)星運(yùn)動的角速度 D飛船變軌前通過橢圓軌道遠(yuǎn)地點時的加速度大于變軌后圓軌道運(yùn)動的加速度 解析：飛

14、船變軌前后，由于推進(jìn)火箭的做功，飛船的機(jī)械能不守恒，A錯；飛船在圓軌道上運(yùn)動時時萬有引力來提供向心力，航天員出艙前后都處于失重狀態(tài)，B對；飛船在此圓軌道上運(yùn)動的周期90分鐘小于同步衛(wèi)星運(yùn)動的周期24小時，根據(jù)可知，飛船在此圓軌道上運(yùn)動的角度速度大于同步衛(wèi)星運(yùn)動的角速度，C對。飛船變軌前通過橢圓軌道遠(yuǎn)地點時只有萬有引力來提供加速度，變軌后沿圓軌道運(yùn)動也是只有萬有引力來提供加速度，沿兩軌道運(yùn)動經(jīng)過該點時，所受萬有引力相等，有牛二定律知加速度相等，D錯。本題選BC。 8自轉(zhuǎn)天體不瓦解問題 天體自轉(zhuǎn)時，天體表面的各部分隨天體做勻速圓周運(yùn)動，由于赤道部分所需向心力最大，赤道上質(zhì)量為m

15、的一部分將離未離天體的臨界條件是：天體對該部分的支持力為零。此時對m這部分運(yùn)用萬有引力和牛頓第二定律有：或，若已知天體的質(zhì)量和半徑或天體的平均密度，可求出天體自轉(zhuǎn)的最大角速度；若已知天體的最大自轉(zhuǎn)角速度或最小周期，可求出天體的最小平均密度。 例9中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為。問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解？計算時星體可視為均勻球體。 解析：設(shè)中子星的質(zhì)量為M，赤道半徑是R，對于中子星赤道上質(zhì)量為m的部分物質(zhì)，有關(guān)系式：，而，代入數(shù)據(jù)解得：9雙星問題天文學(xué)上，把兩顆相距較近，以共同的角

16、速度或周期繞它們連線上的某一固定點做圓周運(yùn)動的天體稱為雙星。雙星運(yùn)行中，兩星體間的萬有引力提供每個星體圓周運(yùn)動的向心力，兩天體的周期、角速度相等。 例10天文學(xué)家將相距較近，僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆行星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)行特征可推算出他們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞他們連線上某一固定點分別作勻速圓周運(yùn)動，周期為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。 解析：設(shè)兩星的質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2，運(yùn)行周期為T。對m1的運(yùn)行有：，對m2的運(yùn)行有：，依題意有：。解以上三式得：雙星系統(tǒng)的總

17、質(zhì)量為。 10黑洞問題宇宙空間的大質(zhì)量恒星演化到末期，在其自身引力作用下發(fā)生急劇塌縮，形成密度極大，引力場特強(qiáng)的特殊星體。它的引力場強(qiáng)得使外界物質(zhì)也只能進(jìn)入星體內(nèi)而不可能逃離，就連射向它的光線也只能乖乖被俘無法反射，看上去它就像宇宙中的無底洞，天文學(xué)上稱這類星體叫黑洞。若取無限遠(yuǎn)處為引力勢能的零位置，在它的引力作用范圍內(nèi)，物體的引力勢能總是負(fù)值。例112008年12月，天文學(xué)家們通過觀測的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A”的質(zhì)量與太陽質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)。有一星體S2繞人馬座A做橢圓運(yùn)動，其軌道半長軸為9.50×102天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個天文單位），人

18、馬座A就處在該橢圓的一個焦點上。觀測到S2星的運(yùn)行周期是15.2年。 （1）若將S2星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.50102天文單位的圓軌道。試估算人馬座A的質(zhì)量MA是太陽質(zhì)量Ms的多少倍(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)；（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有的勢能為 (設(shè)粒子在離黑洞無限遠(yuǎn)處的勢能為零)，式中M、R分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太陽質(zhì)量Ms=2.01030kg，太陽半徑Rs=7.0108m，不考慮相對論效應(yīng)，利用上問結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A的半徑R與太陽半徑之比應(yīng)小于多少。解析：（1）S2星繞