基于最小二乘法的系統(tǒng)參數(shù)辨識

1、基于最小二乘法的系統(tǒng)參數(shù)辨識研究生二隊 李英杰 082068摘 要：系統(tǒng)辨識是自動控制學科的一個重要分支，由于其特殊作用，已經(jīng)廣泛應用于各種領域，尤其是復雜系統(tǒng)或參數(shù)不容易確定的系統(tǒng)的建模。過去，系統(tǒng)辨識主要用于線性系統(tǒng)的建模，經(jīng)過多年的研究，已經(jīng)形成成熟的理論。但隨著社會、科學的發(fā)展，非線性系統(tǒng)越來越受到人們的關注，其控制與模型之間的矛盾越來越明顯，因而非線性系統(tǒng)的辨識問題也越來越受到重視，其辨識理論不斷發(fā)展和完善本。文重點介紹了系統(tǒng)參數(shù)辨識中最小二乘法的基本原理，并通過熱敏電阻阻值溫度關系模型的辨識實例，具體說明了基于最小二乘法參數(shù)辨識在Matlab中的實現(xiàn)方法。結果表明基于最小二乘法具有

2、算法簡單、精度較高等優(yōu)點。1. 引言所謂辨識就是通過測取研究對象在人為輸入作用下的輸出響應，或正常運行時的輸入輸出數(shù)據(jù)記錄，加以必要的數(shù)據(jù)處理和數(shù)學計算，估計出對象的數(shù)學模型。這是因為對象的動態(tài)特性被認為必然表現(xiàn)在它的變化著的輸入輸出數(shù)據(jù)之中，辨識只不過是利用數(shù)學的方法從數(shù)據(jù)序列中提煉出對象的數(shù)學模型而已1。最小二乘法是系統(tǒng)參數(shù)辨識中最基本最常用的方法。最小二乘法因其算法簡單、理論成熟和通用性強而廣泛應用于系統(tǒng)參數(shù)辨識中。本文基于熱敏電阻阻值與溫度關系數(shù)據(jù)，介紹了最小二乘法的參數(shù)辨識在Matlab中的實現(xiàn)。2. 系統(tǒng)辨識一般而言，建立系統(tǒng)的數(shù)學模型有兩種方法：激勵分析法和系統(tǒng)辨識法。前者是按照

3、系統(tǒng)所遵循的物化（或社會、經(jīng)濟等）規(guī)律分析推導出模型。后者則是從實際系統(tǒng)運行和實驗數(shù)據(jù)處理獲得模型。如圖1 所示，系統(tǒng)辨識就是從系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)測算系統(tǒng)數(shù)學模型的理論和方法。更進一步的定義是L.A.Zadeh 曾經(jīng)與1962 年給出的，即“系統(tǒng)辨識是在輸入和輸出的基礎上，從系統(tǒng)的一類系統(tǒng)范圍內(nèi)，確立一個與所實驗系統(tǒng)等價的系統(tǒng)”。另外，系統(tǒng)辨識還應該具有3 個基本要素，即模型類、數(shù)據(jù)和準則5。被辨識系統(tǒng)模型根據(jù)模型形式可分為參數(shù)模型和非參數(shù)模型兩大類。所謂參數(shù)模型是指微分方程、差分方程、狀態(tài)方程等形式的數(shù)學模型；而非參數(shù)模型是指頻率響應、脈沖響應、傳遞函數(shù)等隱含參數(shù)的數(shù)學模型。在辨識工程中，模

4、型的確定主要根據(jù)經(jīng)驗對實際對象的特性進行一定程度上的假設，如對象的模型是線性的還是非線性的、是參數(shù)模型還是非參數(shù)模型等。在模型確定之后，就可以根據(jù)對象的輸入輸出數(shù)據(jù)，按照一定的辨識算法確定模型的參數(shù)4。圖1 被研究的動態(tài)系統(tǒng)3. 最小二乘法（LS）參數(shù)估計方法對于參數(shù)模型辨識結構，系統(tǒng)辨識的任務是參數(shù)估計，即利用輸入輸出數(shù)據(jù)估計這些參數(shù)，建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。在參數(shù)估計中最常用的是最小二乘法(LS)、誤差預測估計法、輔助變量法(IV 估計)、神經(jīng)網(wǎng)絡法等4。由于最小二乘法容易理解和掌握，利用最小二乘法原理所擬定的辨識算法在實施上比較簡單，并且不需要數(shù)理統(tǒng)計的知識，使得最小二乘法廣泛應用于系統(tǒng)辨識

5、領域，但它也存在著一定的局限和不足，當系統(tǒng)噪聲為有色噪聲時，最小二乘法不能給出無偏一致估計5。本文應用熱敏電阻阻值溫度關系模型進行了參數(shù)辨識。設一個SISO(單輸入/單輸出)過程的“黑箱”結構，如圖2：圖2 SISO系統(tǒng)的“黑箱”結構系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：，則。若考慮被辨識系統(tǒng)或觀測信息中含有噪聲，最終輸出。其中：為系統(tǒng)輸出量的第次觀測值;為系統(tǒng)輸出量的第次真值;為系統(tǒng)的第個輸入值;是均值為0的隨機噪聲。如果定義，可以表示為：，式中為待估參數(shù)。令，則有，最小二乘的思想就是尋找一個的估計值，使得各次測量的與由估計確定的量測估計之差的平方和最小，即：，可得。如果的行數(shù)大于等于列數(shù)，即，滿秩，即，則存在

6、。則的最小二乘估計為最小二乘估計雖然不能滿足量測方程中的每一個方程，使每個方程都有偏差，但它使所有方程偏差的平方和達到最小，兼顧了所有方程的近似程度，使整體誤差達到最小，這對抑制測量誤差是有益的。4. 實例分析表1中是在不同溫度下測量同一熱敏電阻的阻值，根據(jù)測量值確定該電阻的數(shù)學模型，并求出當溫度在時的電阻值。表1 熱敏電阻的測量值t20.52632.740516173808895.7R76579082685087391094298010101032圖3在給定的溫度下熱敏電阻的測量值可以假設阻值與溫度的關系為，則參數(shù)、的最小二乘估計為：在Matlab 環(huán)境下，編輯M 函數(shù)文件clear all

7、close allclcT=20.5 26 32.7 40 51 61 73 80 88 95.7; %溫度R=765 790 826 850 873 910 942 980 1010 1032; %阻值m,n=size(T);figure plot(T,R,'b+')t=0;z=0;tz=0;tt=0;for i=1:n t=t+T(i); tt=tt+T(i)*T(i); z=z+R(i); tz=tz+T(i)*R(i);enda=(tt*z-t*tz)/(n*tt-t*t);b=(n*tz-t*z)/(n*tt-t*t);R1=a+70*b;%最小二乘擬合A=polyf

8、it(T,R,1);z=polyval(A,T);%畫圖figureplot(T,z);figureplot(T,R,'b+')hold onplot(T,z,'r');hold off經(jīng)過仿真運算可得：a =702.7620，b =3.4344，。在時，電阻阻值R1=943.1681熱敏電阻阻值與溫度關系曲線如圖4所示，最小二乘法的系統(tǒng)辨識模型同實際比較結果如圖5所示。圖4 阻值與溫度關系曲線圖5 基于最小二乘法的系統(tǒng)辨識模型同實際比較結果從參數(shù)辨識的結果可得出結論：辨識模型同實際結果的擬合度可以看出，最小二乘法辨識參數(shù)估計精度比較高，證明了最小二乘法的有效性。系統(tǒng)辨識的方法有很多，最小二乘法是其中最基本、應用最廣泛的一種系統(tǒng)辨識方法。最小二乘法可用于動態(tài)系統(tǒng)，也可以用于靜態(tài)系統(tǒng)；可用于線性系統(tǒng)，也可以用于非線性系統(tǒng)；可用于離線估計，也可以用于在線估計，這種方法不僅在今天，而且在未來都會有非常廣泛的應用前景。參考文獻1 李言俊，張科. 系統(tǒng)辨理論及應用M. 北京：國防工業(yè)出版社，20062 劉叔軍，蓋曉華，樊京，崔世林等.MATLAB7.0 控制系統(tǒng)應用與實例M. 北京：機械工業(yè)出版社，20053