圓周角公式推導(dǎo)

1、文件 sxc3jja0010.doc科目 數(shù)學(xué)年級 初三章節(jié) 關(guān)鍵詞 圓周角/圓標(biāo)題 圓周角(二)內(nèi)容 教學(xué)目標(biāo) (一)使學(xué)生掌握圓周角定理的三個推論，并能運(yùn)用這些知識進(jìn)行有關(guān)的計算和證明； (二)使學(xué)生掌握利用直徑所對的圓周角是直角作輔助線的方法； (三)使學(xué)生認(rèn)識到圓周角定理及其推論是證明和圓有關(guān)的角相等的重要定理，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題以及綜合運(yùn)用知識的能力. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 圓周角定理的三個推論是重點(diǎn)；三個推論的靈活應(yīng)用以及輔助線的添加是難點(diǎn). 教學(xué)過程設(shè)計 一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題 1.什么是圓周角?(學(xué)生回答) 2.敘述圓周角定理. 3.觀察圖形7-72，如果AOB12

2、0°，那么AC1B，AC2B，AC3B各等于多少度? 先由學(xué)生觀察回答，后教師指出：由于AC1B，AC2B，AC3B都是所對的圓周角，由圓周角定理知，它們都等于圓心角AOB的一半，故AC1BAC2BAC3B60°.如果AOB等于任意角，那么結(jié)論又會怎樣呢? 學(xué)生易答出AC1BAC2BAC3B. 于是由學(xué)生用文字語言敘述出上述結(jié)論：同弧所對的圓周角相等. 4.觀察圖7-73，如果，那么E和F是什么關(guān)系?反過來如果EF，那么AB和CD是什么關(guān)系? 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，由教師總結(jié)，并由學(xué)生用文字語言敘述出結(jié)論：等弧所對的圓周角相等，在同圓中，相等的圓周角所對的弧也相等. 5.觀察

3、圖7-74，O1和O2是等圓，如果，那么C1和C2相等嗎?反過來，如果C1C2，那么是否相等? 根據(jù)3、4、5的討論，由師生共同歸納得出推論： 推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等. 提問：在推論1中， (1)“同弧或等弧”能否改為?“同弦或等弦”?為什么? (2)“同圓或等圓”的條件能否去掉?在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影打出圖形7-75. 由圖(1)可以看到，C1和C2在一般情況下是不相等的，由圖(2)可知，如果在兩個不相等的圓中，相等的圓周角所對的弧是不等的. 6.請學(xué)生再思考： (1)一個特殊的圓弧半圓，它所對的圓周角是什么樣的角? (2)如果一條

4、弧所對的圓周角是90°，那么這條弧所對的圓心角是什么樣的角? 通過以上兩個問題的解決，得推論2： 推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑(圖7-76) 教師指出：這個推論是圓中一個很重要的性質(zhì)，為在圓中確定直角、構(gòu)成垂直關(guān)系創(chuàng)造了條件，要熟練掌握. 7.啟發(fā)學(xué)生根據(jù)推論2推出推論3： 推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形 教師指出：推論3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半. 二、應(yīng)用舉例，變式練習(xí) 例1 如圖7-77，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑. 求證：AB

5、83;ACAEAD 分析：由AE是O的直徑，聯(lián)想到直徑的幾個性質(zhì)： (1)直徑上的圓周角是直角. 若連結(jié)BE或CE，便可得直角三角形ABE和直角三角形ACE.(2)垂徑定理 若過點(diǎn)O作弦AB的垂線OF，便可得直角三角形AOF，同時.由于不同的思考方法，便得下述不同的證明方法 證法一：如圖7-78，連結(jié)BE.(具體證明過程由學(xué)生口述，教師板書) 證法二：如圖7-79.連結(jié)CE. 因為ACEADB90°，BE，所以ACEABD 證法三：如圖7-80，過點(diǎn)O作OFAB于F，交O于G. 證完后教師引導(dǎo)學(xué)生思考： (1)此題還有其它證法嗎? (2)比較以上證法的優(yōu)缺點(diǎn). 最后教師指出：在解圓的

6、有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑上的圓周角，以便利用直徑上的圓周角是直角的性質(zhì).變式1 (投影打出) 如圖7-81，ABC內(nèi)接于O，12. 求證：AB·ACAE·AD. 分析：要證明AB·ACAE·AD，只要證明，于是考慮到要證明ABDAEC，或ABEADC成立，因此連結(jié)BE或CE便可得出上述結(jié)論. 證明：(學(xué)生口述，教師板書)變式2 (投影打出) 如圖7-82，已知ABC內(nèi)接于O，弦AE平分BAC交BC于D. 求證：AB·ACAE·AD 由學(xué)生口述證題思路后，由一名學(xué)生上黑板板演一種證明方法. 教師指出：這組題目比較典型，圓

7、和相似三角形有密切聯(lián)系，證明圓中某些線段成比例，常常需要找出或通過輔助線構(gòu)造出相似三角形.練習(xí)1 根據(jù)圖7-83中的條件，回答下列問題：(點(diǎn)A，B，C，D在同一個圓上) (1)圖7-83(1)中有哪些相等的角?找出圖中所有的相似三角形. (2)在圖7-83(2)中，若ADBCDB，則圖中哪些角相等?有幾對相似三角形?有哪些相等的弧和線段?例2 如圖7-84，已知在O中，直徑AB為10厘米，弦AC為6厘米，ACB的平分線交O于D. 求BC，AD和BD的長. 分析：由AB為直徑，知ACB和ADB為直角三角形，又AC和AB已知，可由勾股定理求BC.而CD是ACB的角平分線，所以ADDB,再由勾股定理

8、可求AD和BD. 解：(略) 例3 求證：以等腰三角形的一腰為直徑的圓平分底邊.缺圖7-85 分析：首先引導(dǎo)學(xué)生依題意畫出圖7-85，并且明確題目的已知和求證，然后再考慮證法重點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生添加輔助線AD. 證完此題后，教師進(jìn)一步指出： (1)若另一腰AC與O交于點(diǎn)E，連結(jié)DE.則DE和BD、DC有何關(guān)系?DEC是什么三角形?它與ABC有何關(guān)系?( (2)若ABC為等邊三角形，則D，E分別是邊BC和AC的什么點(diǎn)?AE，DE和BD有何關(guān)系?請證明你的結(jié)論.(圖7-87) 練習(xí)2 如圖7-88，AB為O的直徑，弦AC3厘米，BC=4厘米CDAB，垂足為D. 求AD，BD和CD的長. 說明：此題除了要用

9、圓周角定理的推論，還要用到相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解題時可引導(dǎo)學(xué)生回憶以上內(nèi)容后自己寫出解題過程.另外，此題還可利用三角形的面積公式AC·BCAB·CD先求出CD，再求AD和BD的長. 練習(xí)3 如圖7-89，已知CD是ABC的中線，AB2CD，B60°. 求證：ABC外接圓的半徑等于CB. 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)推論3推出ABC是直角三角形，并且點(diǎn)D是ABC的外心，再應(yīng)用直角三角形的性質(zhì). 三、小結(jié)(以提問的形式師生共同小結(jié)) 1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了圓周角定理的三個推論.這三個推論各具特色，作用各異，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)熟練掌握. 2.在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角或構(gòu)成相似三角形，這種基本技能技巧一定要掌握. 四、布置作業(yè) 課本p.100.習(xí)題7.2.A組.9，10，12，13，14題；另外對學(xué)有余力的同學(xué)做p.102.習(xí)題7.2.，B組.3，4. 思考題：如何用圓周角的有關(guān)性質(zhì)證明“圓的兩條平行弦