因式分解最牛全面的方法

1、因式分解一、 提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)二、 運(yùn)用公式法在整式的乘、 除中， 我們學(xué)過若干個乘法公式， 現(xiàn)將其反向使用， 即為因 式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2(2) (a b)2= a22ab+b2(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3下面再補(bǔ)充兩個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b例已知a, b, c是ABC的三邊，且貝 UABC的形狀是()B 等腰三角形ab bc(b c

2、)2a2-b2=(a+b)(a-b)；a22ab+b2=(a b)2；2-ab+b2)；a3+b3=(a+b)(aa3-b3=(a-b)(a2.2+c2-ab-bc-ca)2 ,2a bab2+ab+b2).bc ca,A.直角三角形解：a2b2c2(a b)2三、分組分解法(一)分組后能直接提公因式例 1、分解因式：am anca(cC 等邊三角形2 22a 2ba)20D2 c2a b c等腰直角三角形2ab 2bc 2cabm bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用 公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a,后兩項都含有b,因此可以考慮將前兩項分為

3、一組，后兩項分為一組先分解，然后再考 慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式 =(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n)=(m n )(a b)例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第一、二項為一組；第三、四項為一組。解:原式=(2ax 10ay)=2a(x 5y)=(x 5y)(2a每組之間還有公因式!(5by bx)b(x 5y)b) =(二)分組后能直接運(yùn)用公式例 3、分解因式：x2y2ax aybx解法二：第一、四項為一組； 第二、三項為一組。bx)b)b)(x原式=(2ax=x(2a(2a(10ay 5by)5y(2a b)5y)分析：若將第一、三項分為一組，第二、

4、四項分為一組，雖然可以提公因 式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解:原式: =(x2y2)(ax ay)=(xy)(xy)a(x y)=(xy)(xya)例 4:分解!因式：2a2abb22c解:原式:=(a22abb2)c2=(ab)2c2=(ab c)(a b c)四、十字相乘法(一)二次項系數(shù)為 1 的二次三項式直接利用公式x2(p q)x pq (x p)(x q)進(jìn)行分解。特點：(1)二次項系數(shù)是 1 ；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3 )一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知 Ov a0 而且是一個完全平方數(shù)。于是9 8a為完全平方數(shù)，a

5、1例 5、分解因式：x25x 6分析：將 6 分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有 2X3 的分解適合，即 2+3=5。12. .2 2解：x 5x 6=x (2 3)x 2 31 _J3_=(x 2)(x 3)1X2+1X3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù) 的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例 6、分解因式：x27 x 6解：原式=x2( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1-1=(x 1)(x6)1-6_(-1 ) + (-6 ) = -7(二)二次項系數(shù)不為條件：(1)(2

6、)(3)分解結(jié)果：aa2C2例 7、(三)例&分析：bax2分解因式:分析：解：3x2C2bx3x211xa2C1c=(a1x c1)(a2x11x 101 -23-510=(x 2)(3x的齊次多項式8ab 128b2C2)(-6)+( -5)= -115)二次項系數(shù)為 1分解因式：a2將b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相8b-16b2 2x y 3xy 2把xy看作一個整體1 -11 -2)+(-2)= -3解：原式=(x 2y)(2x 3y)解：原式=(xy 1)( xy 2)五、換元法例 13、分解因式(1)2005x2(200521)x(2)(x 1)(

7、x2)(x 3)(x解：(1 )設(shè) 2005=a，則原式=ax2(a2=(ax 1)(x20056) x21)x aa)乘法進(jìn)行分解。118b+(-16b)= -8b2 2 2解：a 8ab 128b=a 8b( 16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a 16b)(四)二次項系數(shù)不為1 的齊次多項式2 x27xy 6y21-2y -2-3y _(-3y)+(-4y)= -7y=(2005x 1)(x 2005)(2)型如abcd e的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。2 2 21 的二次三項式原式=(x 7x 6)(x 5x 6) x解:原式=2x (2x2x6 -12)x

8、2(x212)(xxxx設(shè)x1t, 則x212t22xx原式=2x 2( t22)t 62=x2t2t 10=2x 2t5 t2=x22x25 x12xx=x2x25 x - x12=:2x25x 22xxx=(x1)2(2x1)(x2)(2)x44x3x24x1解: 原式=2x (x24x1 -=x2x2-124xxxx設(shè)x25x 6 A，則x27x 6 A 2x原式=(A 2x)A x2=A22Ax x2=(A x)2=(x26x 6)2觀察：此多項式的特點一一是關(guān)于x的降幕排列，每一項的次數(shù)依次少 1, 并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。方法：提中間項的字母和它的次數(shù)

9、，保留系數(shù)，然后再用換元法。設(shè)x1y,則x2$ y22xx原式2 / 2=x (y4y 3)=x2(y 1)(y 3)=x2(x112 2-1)(x 3)=x2x 1 x23x1xx六、添項、拆項、配方法例 15、分解因式(1)x33x24解法1 拆項解法2 添項原式 =x31 3x23原式=x3x24x=(x1)( X；x 1)3(x1)(x 1)=x(x23x 4)=(x 1)(x2x13x3)=x(x1)(x 4)=(x1)( x24x4)=(x21)(x 4x=；(x1)( x2)2=(x21)(x 2)(2)9x6x3x3解:原式：=(x91)6(x1) (x31)4x 4(4x4)

10、4( x 1)2x 11xmn3=(x1)(x63x1)(x31)(x31)(x31)=(3=(x1)(x63x1x311)=(x1)(x2x1)(x62x33)七、待定系數(shù)法。 例16、分解因式x2xy6y2x13y6分析：原式的前 3 項x2xy 6y2可以分為(x 3y)(x 2 y)，則原多項式必定可分為(x 3y m)( x 2y解：設(shè)x2xy 6y2x 13 y2/(x 3y m)(x 2y n)=xn)6=(x 3y m)(x 2y n)2xy 6y (m n)x (3n 2m)y2 2 2 2x xy 6y x 13y 6=x xy 6y(m n)x (3n 2m)y mn對比

11、左右兩邊相同項的系數(shù)可得mn13n 2m 13， 解得mn 6m2n3原式=(x 3y 2)( x 2y 3)5y6能分解因式，并分必為( xy a)(xyb)解：設(shè)x22ymx5y 6=(xya)( xyb)則x22ymx 5y 6=2x2y(ab)x( b a ) y ababma2 a 2例 17、( 1)當(dāng)m為何值時，多項式x2y2mx解此多項式。(2)如果x3ax2bx 8有兩個因式為x1和x 2，求a b的值。(1)分析：前兩項可以分解為(x y)(x y)，故此多項式分解的形式比較對應(yīng)的系數(shù)可得：b a 5，解得：b 3或b 3ab 6m 1 m 1當(dāng)m 1時，原多項式可以分解；

12、當(dāng)m 1時，原式 =( x y 2)( x y 3)； 當(dāng)m 1時，原式 =(x y 2)(x y 3)2)分析：x3ax2bx 8是一個三次式， 所以它應(yīng)該分成三個一次式相乘， 因此第三個因式必為形如x c的一次二項式。解：設(shè)x3ax2bx 8=(x 1)(x2)(x c)則x3ax2bx 8=x3(3 c)x2(2 3c)x 2c3c2 3c解得14，2c(1) x2(2) x4(3) X8(4)x16(5)1.-a b =21X1X1x8x1x4x1x1x21xx1解一：原式(X5X4X3)(X2X1)X3(X2X1)(X2X 1)3(X1)(X2X1)(X1)(X2X1)(X2X1)解

13、二：原式 =(X5X4)(X3X2)(X1)X4(X1)X2(X 1)(X1)(X1)( X4X1)(X1)( X42X21)X2(X1)( X2X1)(X2X1)通過變形達(dá)到分解的目的例 1. 分解因式 X33X24解一：將 3X2拆成2X22X，則有原式X32X2(X24)X2(X2)(X 2)(X2)2)x2.(x 2)(x2例 1. 分解因式 x5分析：這是一X5X4X3禾口公因式后， 再進(jìn)此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進(jìn)行分解。2)2解二：將常數(shù) 4 拆成通過基本思路達(dá)到分解多項式的目的X4X3X2X 1個六項式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把X2X 1 分別看成一組， 此時六

14、項式變成二項式，提取 步分解；也可把 X5X4，X3X2，X 1 分別看成一組，(x 1)(x1 3 ，則有原式 x31 (3x23)(x 1)(x2x 1) (x 1)(3x 3)(x 1)(x24x 4)(x 1)(x 2)23. 在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項式 (x24)(x210 x 21) 100 的值一定是非負(fù)數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。 本題要證明這個多項式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明： (x24)(x210 x 21) 100(x2)(x2)(x3)(x 7)100(x2)(x7)(x2)(x3)100(x25x14)(x25x6)

15、 100設(shè) yx25x，則原式(y 14)(y 6)1002y28y 16 (y 4)2無論 y 取何值都有(y 4)20(x24)(x210 x 21) 100 的值一定是非負(fù)數(shù)4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式： (a 2b c)3(a b)3(b c)3分析：本題若直接用公式法分解， 過程很復(fù)雜，觀察 a+b，b+c 與 a+2b+c 的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：設(shè) a+b=A， b+c=B，a+2b+c=A+B原式 (A B)3A3B3A33A2B 3AB2B3A3B3223A2B 3AB23AB(A B) 3(a b)(b c)(a 2b c)在分解因式時，靈活運(yùn)用公式，

16、對原式進(jìn)行“代換”是很重要的。例 1. 在 ABC 中，三邊 a,b,c 滿足 a216b2c26ab 10bc 0 求證： a c 2b 證明： a216b2c26ab 10bc 02 2a26ab 9 b22 2c210bc 25b0即(a 3b)2(c 5b)20(a 8b c)(a 2b c) 0 a b ca 8b c,即 a 8b c 0于是有 a 2b c 0即 a c 2b說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不 能丟分。例 2.已知：x1x2,則 x313x解：x3$(xi)(x21 丄)xxx(xl)(x丄)22 1xx212說明：利用 x212(x丄)22 等式化繁為易。xx題型展示1.若x 為任意 整數(shù)，求證：(7x)(3x)(4 x2)的值不大于解:(7x)(3x)(4x2)100(x7)(x2)(x3)(x2)100(x25x14)(x:25x6