每日一題型 7恒成立之分離參數(shù)最值法

1、每日一題型 7 恒成立之分離參數(shù)最值法在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立問題這類問題涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)分離參數(shù)最值法主要通過兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題”思路1、, 思路2、, 先看看幾道例題：1函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：若對(duì)任意，恒成立，即對(duì)，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得.即而 所以2.已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值

2、范圍。分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,即上式等價(jià)于或解得.注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。另解：a+cos2x<5-4sinx+即a+1-2sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,則t-

3、1,1,整理得2t2-4t+4-a+>0,( t-1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t2-4t+4-a+則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1,f(x)在-1，1內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)>0,即>a-2.(下同)3.(2016·德州一模)已知函數(shù)f(x)lnxax22x.(1)若函數(shù)f(x)在x2處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)a時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)xb在1，4上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解：(1)f(x)(x>0)，x2時(shí)，f(x)取得極值，f(2)0，解得a，經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意(2)函數(shù)f(

4、x)的定義域?yàn)?0，)，依題意f(x)0在x>0時(shí)恒成立，即ax22x10在x>0恒成立，即a(1)21min(x>0)，當(dāng)x1時(shí)，(1)21取最小值1，a的取值范圍是(，1(3)a，f(x)xb，即x2xlnxb0.設(shè)g(x)x2xlnxb(x>0)，則.當(dāng)，g(x)單調(diào)遞增.當(dāng)，g(x)單調(diào)遞減.當(dāng)，g(x)單調(diào)遞增.g(x)極小值g(2)ln2b2，g(x)極大值g(1)b.又g(4)2ln2b2.方程g(x)0在1，4上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則解得ln22<b.4(2016·開封一模)已知函數(shù)f(x)ax33x1對(duì)x(0，1總有f(x)0成立，

5、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)x(0，1時(shí)不等式ax33x10可化為a，設(shè)g(x)，x(0，1，.，g(x)單調(diào)遞增. ，g(x)單調(diào)遞減.因此g(x)的最大值為4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是4，)5.(13分)(2016·武漢模擬)已知函數(shù) (a>0).(1)若x=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求a的值.(2)若f(x)0在0,+)上恒成立,求a的取值范圍.提示： (1)x=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),即=0.(2)f(x)0在0,+)上恒成立,即f(x)min0. 解：(1)因?yàn)?a>0),因?yàn)閤=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),所以=0,即a=2.經(jīng)檢驗(yàn)a=2滿足題意.(

6、2)因?yàn)閒(x)0在0,+)上恒成立,所以f(x)min0.當(dāng)0<a1時(shí), 0在0,+)上恒成立,即f(x)在0,+)上為增函數(shù),所以f(x)min=f(0)=0成立,即0<a1.當(dāng)a>1時(shí),令>0,則x>a-1,令<0,則0x<a-1,即f(x)在0,a-1)上為減函數(shù),在(a-1,+)上為增函數(shù),所以f(x)min=f(a-1)0,又f(0)=0>f(a-1),矛盾.綜上,a的取值范圍為(0,1.下面完成幾道練習(xí)：1.(2016·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=x-2lnx-+1, (1)若函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù),求a的取值范圍.(2)求g(x)的最大值.答案：(1) a的取值范圍是1,+).(2) g(x)最大值g(1)=-e.2.已知函數(shù)f（x）=xlnx（1）求函數(shù)f（x）的最小值；（2）若對(duì)一切x（0，+），都有f（x）x2-ax+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；答案：（1）f（x）最小值；（2）a（-，3-ln2；3（2008年上海）已知函數(shù)f(