高三導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題題型1. 高考命題回顧例1已知函數(shù)f(x)exln(xm)（2013全國新課標(biāo)卷）(1)設(shè)x0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m2時，證明f(x)>0.(1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定義域為x|x>1，f(x)ex，顯然f(x)在(1,0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增(2)證明g(x)exln(x2)，則g(x)ex(x>2)h(x)g(x)ex(x>2)h(x)ex>0，所以h(x)是增函數(shù)，h(x)0至多只有一個實數(shù)根，又g()<0，g(0)1>0，所以h(x)g(x)0的唯一實

2、根在區(qū)間內(nèi)，設(shè)g(x)0的根為t，則有g(shù)(t)et0，所以，ett2et，當(dāng)x(2，t)時，g(x)<g(t)0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(t，)時，g(x)>g(t)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)ming(t)etln(t2)t>0，當(dāng)m2時，有l(wèi)n(xm)ln(x2)， 所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min>0.例2已知函數(shù)滿足（2012全國新課標(biāo)）(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的最大值。（1） 令得： 得： 在上單調(diào)遞增 得：的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）得 當(dāng)時，在上單調(diào)遞增 時，與矛盾 當(dāng)時， 得：

3、當(dāng)時， 令；則 當(dāng)時， 當(dāng)時，的最大值為例3已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（2011全國新課標(biāo)）（）求、的值；（）如果當(dāng)，且時，求的取值范圍。解（） 由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知，所以。考慮函數(shù)，則。(i)設(shè)，由知，當(dāng)時，h(x)遞減。而 故當(dāng)時， ，可得；當(dāng)x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0從而當(dāng)x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設(shè)0<k<1.由于=的圖像開口向下，且，對稱軸x=.當(dāng)x（1，）時，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x

4、（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾。（iii）設(shè)k1.此時，（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x （1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾。 綜合得，k的取值范圍為（-，0例4已知函數(shù)f(x)(x3+3x2+ax+b)ex. （2009寧夏、海南）(1)若ab3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在(,),(2,)單調(diào)增加,在(,2),(,+)單調(diào)減少,證明6.解: (1)當(dāng)ab3時,f(x)(x3+3x23x3)ex,故f(x)(x3+3x23x3)ex +(3x2+6x3)exex (x39x)x(x3)(x+3)ex.

5、當(dāng)x3或0x3時,f(x)0;當(dāng)3x0或x3時,f(x)0.從而f(x)在(,3),(0,3)單調(diào)增加,在(3,0),(3,+)單調(diào)減少.(2)f(x)(x3+3x2+ax+b)ex +(3x2+6x+a)exexx3+(a6)x+ba.由條件得f(2)0,即23+2(a6)+ba0,故b4a.從而f(x)exx3+(a6)x+42a.因為f()f()0,所以x3+(a6)x+42a(x2)(x)(x)(x2)x2(+)x+.將右邊展開,與左邊比較系數(shù),得+2,a2.故.又(2)(2)0，即2(+)+40.由此可得a6. 于是6.2. 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(1)曲線在處的切線的斜率等于，且切

6、線方程為。(2)若可導(dǎo)函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導(dǎo)函數(shù),不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立（ 不恒為0）.(5)函數(shù)（非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價于在區(qū)間I上有極值，則可等價轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6) 在區(qū)間I上無極值等價于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D，若D 恒成立，則有.(10)若對、 ，恒成立，則.若對，使得,則. 若對，使得，則.（11）已知

7、在區(qū)間上的值域為A,，在區(qū)間上值域為B，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 1 xx+ 3. 題型歸納導(dǎo)數(shù)切線、定義、單調(diào)性、極值、最值、的直接應(yīng)用（構(gòu)造函數(shù)，最值定位）（分類討論，區(qū)間劃分）（極值比較）（零點存在性定理應(yīng)用）（二階導(dǎo)轉(zhuǎn)換）例1（切線）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當(dāng)時，曲線在點處的切線為，與軸交于點求證：.例2（最值問題，兩邊分求）已知函數(shù).當(dāng)時，討論的單調(diào)性；設(shè)當(dāng)時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.交點與根的分布例3（切線交點）已知函數(shù)在點處的

8、切線方程為求函數(shù)的解析式；若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的最小值；若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍例4（綜合應(yīng)用）已知函數(shù)求f(x)在0,1上的極值；若對任意成立，求實數(shù)a的取值范圍；若關(guān)于x的方程在0，1上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍.不等式證明例5 (變形構(gòu)造法)已知函數(shù)，a為正常數(shù)若，且a，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；在中當(dāng)時，函數(shù)的圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，試證明：若，且對任意的，都有，求a的取值范圍例6 (高次處理證明不等式、取對數(shù)技巧)已知函數(shù).（1）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，若，求證例7（絕對值處理）

9、已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，且在處取得極大值（I）求實數(shù)的取值范圍；（II）若方程恰好有兩個不同的根，求的解析式；（III）對于（II）中的函數(shù)，對任意，求證：例8（等價變形）已知函數(shù)（）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；（）若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（）當(dāng)且時，試比較的大小例9（前后問聯(lián)系法證明不等式）已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標(biāo)為1。 （I）求直線的方程及m的值； （II）若，求函數(shù)的最大值。 （III）當(dāng)時，求證：例10 (整體把握，貫穿全題)已知函數(shù)（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）設(shè)，求在上的最大值；（3）試證明：對任意，不等式都

10、成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（）證明：例11（數(shù)學(xué)歸納法）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值.（）求實數(shù)的值；（）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（）已知正數(shù)，滿足，求證：當(dāng)，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù)，都有.恒成立、存在性問題求參數(shù)范圍例12（分離變量）已知函數(shù)(a為實常數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在(1,+)上是增函數(shù)； (2)求函數(shù)在1,e上的最小值及相應(yīng)的值；(3)若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.例13（先猜后證技巧）已知函數(shù)（）求函數(shù)f (x)的定義域（）確定函數(shù)f (x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.（）

11、若x>0時恒成立，求正整數(shù)k的最大值.例14（創(chuàng)新題型）設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若x=0是F(x)的極值點,求a的值；()當(dāng) a=1時,設(shè)P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x1>0,x2>0), 且PQ/x軸,求P、Q兩點間的最短距離；()若x0時,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(x)的圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍例15(圖像分析，綜合應(yīng)用) 已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)（）求的值；（）不等式在上恒成立，求實數(shù)的范圍；（）方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的范圍導(dǎo)數(shù)與數(shù)列例16（創(chuàng)新型問題）設(shè)

12、函數(shù)，是的一個極大值點若，求的取值范圍；當(dāng)是給定的實常數(shù)，設(shè)是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列（其中=）依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說明理由導(dǎo)數(shù)與曲線新題型例17（形數(shù)轉(zhuǎn)換）已知函數(shù), .(1)若, 函數(shù) 在其定義域是增函數(shù),求b的取值范圍;(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)的最小值;(3)設(shè)函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點R作軸的垂線分別交C1、C2于點、,問是否存在點R,使C1在處的切線與C2在處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.例18（全綜合應(yīng)用）已知函數(shù).(1)是否存在點,使得函數(shù)的圖像上任意一

13、點P關(guān)于點M對稱的點Q也在函數(shù)的圖像上?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;(2)定義,其中,求;(3)在(2)的條件下,令,若不等式對且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合例19（換元替代，消除三角）設(shè)函數(shù)（），其中（）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值和極小值；（）當(dāng)， 時，若不等式對任意的恒成立,求的值。創(chuàng)新問題積累例20已知函數(shù). I、求的極值. II、求證的圖象是中心對稱圖形.III、設(shè)的定義域為,是否存在.當(dāng)時，的取值范圍是?若存在,求實數(shù)、的值；若不存在，說明理由導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納 參考答案例1解：(1)時，由，解得. 的變化情況如下表：01

14、-0+0極小值0 所以當(dāng)時，有最小值.(2)證明：曲線在點處的切線斜率 曲線在點P處的切線方程為. 令，得， ，即. 又， 所以.例2，令當(dāng)時，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時，由，即，解得.當(dāng)時，恒成立，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，,時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時,恒成立,此時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時,函數(shù)在遞減,遞增,遞減.當(dāng)時，在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，（）又當(dāng)時，與（）矛盾；當(dāng)時，也與（）矛盾；當(dāng)時，.綜上，實數(shù)

15、的取值范圍是.例3解：根據(jù)題意，得即解得 所以 令，即得12+增極大值減極小值增2因為，所以當(dāng)時，則對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，所以所以的最小值為4因為點不在曲線上，所以可設(shè)切點為則因為，所以切線的斜率為則=，即因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實數(shù)解所以函數(shù)有三個不同的零點則令，則或02+增極大值減極小值增則 ，即，解得例4解：， 令（舍去）單調(diào)遞增；當(dāng)遞減. 上的極大值.由得設(shè)，依題意知上恒成立， 上單增，要使不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng) 由令，當(dāng)上遞增；上遞減，而，恰有兩個不同實根等價于 例5解：a，令得或,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.證明：當(dāng)時, ,又不妨設(shè) ， 要比較與的大小，

16、即比較與的大小，又， 即比較與的大小 令,則,在上位增函數(shù)又， ，即 ， 由題意得在區(qū)間上是減函數(shù) 當(dāng)， 由在恒成立設(shè)，則在上為增函數(shù)，. 當(dāng)， 由在恒成立設(shè)，為增函數(shù),綜上：a的取值范圍為.例6解：（1）,， 即在上恒成立設(shè),，時，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時，有最大值.，所以.（2）當(dāng)時，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù).因為，所以即,同理.所以又因為當(dāng)且僅當(dāng)“”時，取等號.又，,所以,所以，所以：.例7（I）由，因為當(dāng)時取得極大值，所以，所以；（II）由下表：+0-0-遞增極大值遞減極小值遞增 依題意得：，解得：所以函數(shù)的解析式是： （III）對任意的實數(shù)都有在區(qū)間-2，2有：函數(shù)上的最大值與最

17、小值的差等于81，所以例8解：（），當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù) 在 單調(diào)遞減，在上沒有極值點；當(dāng)時，得，得，在上遞減，在上遞增，即在處有極小值當(dāng)時在上沒有極值點，當(dāng)時，在上有一個極值點 （）函數(shù)在處取得極值， 令，可得在上遞減，在上遞增，即（）證明：， 令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增 ，即，在上單調(diào)遞增，即，當(dāng)時，有 例9 解：（I）的斜率為1，且與函數(shù)的圖像的切點坐標(biāo)為（1，0），的方程為又與函數(shù)的圖象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得依題意，方程有兩個相等的實數(shù)根，解之，得m=4或m=-2， （II）由（I）可知，單調(diào)，當(dāng)時，單減。，取最大值，其最大值為2。 （II

18、I）證明，當(dāng)時，例10解：（1）函數(shù)的定義域是由已知令，得因為當(dāng)時，；當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）可知當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時，綜上所述，（3）由（1）知當(dāng)時所以在時恒有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立因此對任意恒有因為，所以，即因此對任意，不等式例11解：（）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 函數(shù)在處取得極大值，故. （）令， 則.函數(shù)在上可導(dǎo)，存在，使得.，當(dāng)時，單調(diào)遞增，；當(dāng)時，單調(diào)遞減，；故對任意，都有. （）用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時，且，由（）得，即，當(dāng)時，結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即當(dāng)時，. 當(dāng)時，設(shè)正

19、數(shù)滿足，令， 則，且. 當(dāng)時，結(jié)論也成立.綜上由，對任意，結(jié)論恒成立. 例12 解：當(dāng)時，當(dāng)，故函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)，若，在上非負(fù)（僅當(dāng)，x=1時，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時若，當(dāng)時,；當(dāng)時，此時是減函數(shù)；當(dāng)時，此時是增函數(shù)故若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時不等式，可化為, 且等號不能同時取，所以，即，因而（）令（），又，當(dāng)時，從而（僅當(dāng)x=1時取等號），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是例13 解：（1）定義域（2）單調(diào)遞減。當(dāng)，令，故在（1，0）上是減函數(shù)，即，故此時在（1，0）和（0，+）上都是減函數(shù)（3）當(dāng)x>0時，恒成立，令又k為正整

20、數(shù)，k的最大值不大于3下面證明當(dāng)k=3時，恒成立當(dāng)x>0時 恒成立 令，則，當(dāng)當(dāng)取得最小值當(dāng)x>0時， 恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3例14解：()F(x)= ex+sinxax,.因為x=0是F(x)的極值點,所以. 又當(dāng)a=2時,若x<0, ;若 x>0, .x=0是F(x)的極小值點, a=2符合題意. () a=1, 且PQ/x軸,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令當(dāng)x>0時恒成立.x0,+時,h(x)的最小值為h(0)=1.|PQ|min=1. ()令則.因為當(dāng)x0時恒成立, 所以函數(shù)S(x)在上單調(diào)遞增, S(x)S(0)=0當(dāng)x0,+時恒成立;

21、 因此函數(shù)在上單調(diào)遞增, 當(dāng)x0,+時恒成立.當(dāng)a2時,在0,+單調(diào)遞增,即.故a2時F(x)F(x)恒成立. 例15 解:（）(1) 當(dāng)時，上為增函數(shù) 故 當(dāng)上為減函數(shù)故 即. .（）方程化為，令， 記 （）方程化為，令， 則方程化為 （）方程有三個不同的實數(shù)解，由的圖像知，有兩個根、， 且 或 ， 記則 或 例16 解： （）時，令，設(shè)是的兩個根， （1）當(dāng)或時，則不是極值點，不合題意； （2）當(dāng)且時，由于是的極大值點，故 ，即，()解：，令，于是，假設(shè)是的兩個實根，且由（）可知，必有，且是的三個極值點，則，假設(shè)存在及滿足題意，（1）當(dāng)?shù)炔顣r，即時，則或，于是，即此時或 （2）當(dāng)時，則或若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時，此時=若，則，于是，即兩邊平方得，于是，此時此時綜上所述，存在b滿足題意，當(dāng)b=a3時，時，時，.例17解:(1)依題意:在(0,+)上是增函數(shù), 對x(0,+)恒成立, (2)設(shè) 當(dāng)t=1時,ym i n=b+1; 當(dāng)t=2時,ymi n=4+2b 當(dāng)?shù)淖钚≈禐?(3)設(shè)點P、Q的坐標(biāo)是則點M、N的橫坐標(biāo)為C1在點M處的切線斜率為 C2在點N處的切線斜率為 假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則 設(shè) 這與矛盾,假設(shè)不成立.故C1在點M處的切線與C2在點N