數(shù)學(xué)建模之主成分分析法

1、主成分分析主成分分析的主要目的是希望用較少的變量去解釋原來資料中的大局部變量， 將我們手中許多相關(guān)性很高的變量轉(zhuǎn)化成彼此相互獨(dú)立或不相關(guān)的變量。通常是選出比原始變量個(gè)數(shù)少，能解釋大局部資料中的變異的幾個(gè)新變量， 即所謂主成 分，并用以解釋資料的綜合性指標(biāo)。1、主成分分析的應(yīng)用1我國各地區(qū)普通高等教育開展水平綜合評價(jià)。2投資效益的分析和排序等。2、主成分分析法的步驟 對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理a表示第i個(gè)評價(jià)對象對應(yīng)于第用Xi,X2,Xm表示主成分分析指標(biāo)的m個(gè)變量，評價(jià)對象有n個(gè),j個(gè)指標(biāo)的取值。將每個(gè)指標(biāo)值aij轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)aij，aijaj jSj,(i1,2,n; j 1,2,，m)式

2、中:naij ，Sj(ajj)21相應(yīng)地，標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)變量為XjXjj,( j 1,2,m)Sj 計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣Rnaki akjrij口,(i,j1,2,，m)n 1其中：rii1,rijrji， rij是第i個(gè)指標(biāo)和第j指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù) 計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值與特征向量解特征方程I I R 0，得到特征值i(i 1,2,m) !2，m 0 ;再求出相對應(yīng)的特征值i的特征向量Ui(i 1,2，,m),其中Uj (Uij,U2j,，Umj)T,由特 征向量組成的m個(gè)新的指標(biāo)變量為yi U1ixi U21X2Umixmy2U12X1U22X2 Um2Xmym U1m Xl U2mX2UmmX

3、m其中：Vi為第1主成分，y2為第1主成分，？，ym為第m主成分 選擇p (p< m個(gè)主成分，計(jì)算綜合評價(jià)值。(1)計(jì)算特征值j(j 1,2，,m)的信息奉獻(xiàn)率和累積奉獻(xiàn)率用bj表示主成分yi的信息奉獻(xiàn)率，那么有bj 帀(j 1,2,，m)用ap表示主成分必,yp的累積奉獻(xiàn)率，那么有ap假設(shè)ap接近于1 (一般ap的圍為85%95%時(shí)，那么用前p個(gè)指標(biāo)變量 %2,yp作為p個(gè)主成分，代替原來m個(gè)指標(biāo)變量，再對p個(gè)主成分進(jìn)行 綜合分析。計(jì)算綜合得分用bj表示第j個(gè)主成分的信息奉獻(xiàn)率，那么有pZbjyjj 1根據(jù)綜合得分值進(jìn)行評價(jià)。例題：高等教育是依賴高等院校進(jìn)行的，高等教育的開展?fàn)顩r主要表

4、達(dá)在高等院校的 相關(guān)方面。遵循可比性原那么，從高等教育的五個(gè)方面選取十項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)， 具體如 圖1。?中國統(tǒng)計(jì)年鑒，1995?和?中國教育統(tǒng)計(jì)年鑒，1995?除以各地區(qū)相應(yīng)的人 口數(shù)得到十項(xiàng)指標(biāo)值見表1。其中：&為每百萬人口高等院校數(shù)；X2為每十萬人 口高等院校畢業(yè)生數(shù)；X3為每十萬人口高等院校招生數(shù)；X4為每十萬人口高等院 校在校生數(shù)；X5為每十萬人口高等院校教職工數(shù)；X6為每十萬人口高等院校專職 教師數(shù)；X7為高級職稱占專職教師的比例；X8為平均每所高等院校的在校生數(shù)；高教發(fā)廣水平X9為國家財(cái)政預(yù)算普通高教經(jīng)費(fèi)占國生產(chǎn)總值的比重；X10為生均教育經(jīng)費(fèi)母+萬人口羋業(yè)生數(shù)毎十萬人招生敕犀

5、十萬人口在校生數(shù)髯十萬人口敎貝日丄數(shù)數(shù)爲(wèi)十邁人!訝職教師數(shù)數(shù)I高級職稱占專段報(bào)沖的比例 因家財(cái)政預(yù)卑內(nèi)普過莊琴教趣貫占' 帀替.亡總邂!車, 平均謝自歸筋J圖1高等教育的十項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)表1我國各地區(qū)普通高等教育開展?fàn)顩r數(shù)據(jù)地垃斗l屯兀些斗齊X9切北京596310401155793131944.3626152.20136313 39234303103549S161JS023052.£X)12665天津2.351S72297132951093B4O30J1.B69385琳卩1 35811H36415055304526991.227«8l遼中1.50831284211445

6、654302 80S.547733l.b7Sb120 一J70153A3i.$3221s7480黒 Jfcl T117632M11744巧?2252S劭TO湖北0567匯2971154332,892835仗7262.95陰SM28710239J1543 QOS397786廠嬴旳397120S2434.5029蔣.3711355RJIISd40571776i23i262314055山*:.5758641S157>252.953202.286S05.71426219066262«432657.-J7282湖陽.7442011946124261S.47&477漸ZL4?71期

7、(W26?Q 37価?577041.294773265114斗625.932060.375719101SJ7121E632629.0120SM>7106山兩S551652L87dSO25 33255S435580i«JJL.814J6613S612329.822313315704.593547L46462032.832488335623云南菊40130441923 551974.489106江西.774363L94672S28LS12515344085海南.703551165471S27.342344.287928內(nèi)蒂占&44348171652927.652032325

8、581西蔵1 692645137r 7512.108101 0014199河南,5552羽L30441723412341如5714廣西602843129391731.932146.2451391394S6120877342.701500.425577庸州.64233293371628.121469345415杳海1483846151 61po17.S710243S7i6S請對各地區(qū)高教開展水平進(jìn)行綜合評價(jià)值與排序。解：定性考察反映高等教育開展?fàn)顩r的五個(gè)方面十項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)，可以看出，某些指標(biāo)之間可能存在較強(qiáng)的相關(guān)性。 比方每十萬人口高等院校畢業(yè)生數(shù)、 每十萬 人口高等院校招生數(shù)與每十萬人口高等院校

9、在校生數(shù)之間可能存在較強(qiáng)的相關(guān) 性，每十萬人口高等院校教職工數(shù)和每十萬人口高等院校專職教師數(shù)之間可能存 在較強(qiáng)的相關(guān)性。為了驗(yàn)證這種想法，計(jì)算十個(gè)指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)?？梢钥闯?某些指標(biāo)之間確實(shí)存在很強(qiáng)的相關(guān)性， 如果直接用這些指標(biāo)進(jìn)行綜合評價(jià)， 必然 造成信息的重疊，影響評價(jià)結(jié)果的客觀性。主成分分析方法可以把多個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)化 為少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的綜合指標(biāo)，因此，可以考慮利用主成分進(jìn)行綜合評價(jià)。利用MATLAB件對十個(gè)評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，相關(guān)系數(shù)矩陣的前幾個(gè)特 征根與其奉獻(xiàn)率如表2。表2主成分分析結(jié)果序號特征根蟲獻(xiàn)率累計(jì)奉獻(xiàn)率7.502275.021675.0216產(chǎn)i1.57715 7(5999

10、0.791530.53625 362196.1531540.20642 06389S.217450.1451 450099.6674£0 02220.2219?9S893可以看出，前兩個(gè)特征根的累計(jì)奉獻(xiàn)率就到達(dá) 90沖上，主成分分析效果很好F面選取前四個(gè)主成分累計(jì)奉獻(xiàn)率就到達(dá) 98%進(jìn)行綜合評價(jià)。前四個(gè)特征根 對應(yīng)的特征向量見表3。表3標(biāo)準(zhǔn)化變量的前4個(gè)主成分對應(yīng)的特征向量第1特 征向0,34970.3 5 W03621O3W50.3 6020-241Q-12010.2452漑特-3.1972&.C1430.0291OjOB<-0.0507-C.tk6460.701-0

11、.1M1取2M5簷向-0,1639-0.10S-1090Q1138-0. 1534-a, 14=|0 039?Q3577O. 12040. S637卸特1E向-0 10220.22W-0 1692-0,16074 04424).0032Q. 08120.07030. S999:.:：-由此可得四個(gè)主成分分別為:y 0.3497% 0.359X2 O.2452X10y20.1972x1 0.034% 0.286x10y30.1639X, 0.1084X2 0.8637&y40.1022Xi 0.2266X2 0.2457Xi0從主成分的系數(shù)可以看出，第一主成分主要反映了前六個(gè)指標(biāo) 學(xué)校數(shù)

12、、學(xué)生 數(shù)和教師數(shù)方面的信息，第二主成分主要反映了高校規(guī)模和教師中高級職稱的 比例，第三主成分主要反映了生均教育經(jīng)費(fèi)，第四主成分主要反映了國家財(cái)政預(yù)算普通高教經(jīng)費(fèi)占國生產(chǎn)總值的比重。把各地區(qū)原始十個(gè)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)代入 四個(gè)主成分的表達(dá)式，就可以得到各地區(qū)的四個(gè)主成分值。分別以四個(gè)主成分的奉獻(xiàn)率為權(quán)重，構(gòu)建主成分綜合評價(jià)模型：Z 0.7502% 0.1577y2 0.0536y3 0.0206y4把各地區(qū)的四個(gè)主成分值代入上式，可以得到各地區(qū)高教開展水平的綜合評價(jià)值 以與排序結(jié)果如表4。表4排名和綜合評價(jià)結(jié)果地區(qū)湖北江2廣東134678310評價(jià)值4473SZ7U1OJ1M|0.76210.5SS40 29710.2455Q.G51L0.005 &地區(qū)也川山東甘席譎閘睛江:描農(nóng)山起江北安晝11121314151617101920評價(jià)值-O26S-0,364$-0.4S79-：: r?-0. 7016-0. 7423-0.7S97-0, T965PL 3S95-Q. SS17怛區(qū)二南拇南內(nèi)歿訐西歳河南廣西中肚13州咔212325:S壽30 1-評價(jià)值-O.95S7-L«147-L12«-L.140-2059-1 2250-).2513-1 6514-L6B分析：各地區(qū)高等教育開展