過一點(diǎn)作三次函數(shù)圖像切線條數(shù)的完備結(jié)論

1、2008年第3期數(shù)學(xué)通訊11過一點(diǎn)作三次函數(shù)圖像切線條數(shù)的完備結(jié)論賀斌(谷城具第三中學(xué)湖北441700)2008年第3期數(shù)學(xué)通訊112008年第3期數(shù)學(xué)通訊11:0123.3:0488 7395 (2(X)8丿 03 0011 - 022008年第3期數(shù)學(xué)通訊112008年第3期數(shù)學(xué)通訊11文/I/回答了過哪些點(diǎn)可以作三次函數(shù) 圖像的三條切線受文/ 1 /啟發(fā)，一個(gè)自然的 問題是過哪些點(diǎn)可以作三次函數(shù)V圖像的 一條切線、兩條切線？本文在文八/的基礎(chǔ)上 給出過一點(diǎn)所作三次函數(shù)圖像切線條數(shù)的完 備結(jié)論.M三次函數(shù)丿=ax3 + bx2 + cx+ d (a切的圖像C上的點(diǎn)N(+ f(右)丿是c的唯

2、一對(duì)稱中心.設(shè)三次函數(shù)圖像C在其對(duì)稱中 心N處的切線為/, M是三次函數(shù)圖像C所 在平面上的一點(diǎn)，則(I丿過點(diǎn)M能且僅能作C的一條切 線，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M位于C和/所夾的上、下 兩個(gè)區(qū)域內(nèi)(邊界除外丿，或點(diǎn)M與點(diǎn)N重 合；(U丿過點(diǎn)M能且僅能作C的兩條切 線，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M位于圖像C或切線/上 (點(diǎn)N除外丿;< DP H點(diǎn)M能且僅能作C的三條切 線，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M位于C和/所夾的左、右 兩個(gè)區(qū)域內(nèi)(邊界除外幾為方便讀者形象直觀的理解，我們根據(jù) 三次函數(shù)首項(xiàng)系數(shù)的正(如圖1丿負(fù)(如圖2丿 畫岀相應(yīng)的示意圖如右.設(shè)三次函數(shù)為十bx2十 ex + d ( a岀)丿，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(X0 , )9丿，點(diǎn)為

3、三次函數(shù)y=f(x)圖像C± 的一點(diǎn)，則點(diǎn)A處的切線方程為yf(t) = f于是，切線過點(diǎn)等價(jià)于存 f( t) - f ( t) ( Xq (1丿注意到(1丿是關(guān)于/的三次方程(易知 的系數(shù)不為0),故過點(diǎn)M最多可作圖像 C的三條切線.記 g( f) = yo (0 f ( ” ( “o - 則g (f) = - f (t) - f ( f) ( Xo t) + f ( t)=(t - Xo) fit)-2( t - xo丿(3 at + b).若 xo 二右，則 g ( t) =6a( t - xo)2, g( t)為R上的單調(diào)函數(shù)，方程g( t) =0有且 僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根即過直線

4、X =右上的任 一點(diǎn)能且僅能作y=f( x)圖像的一條切線.若"工七則g (在點(diǎn)xo附近的 函數(shù)值異號(hào)，在點(diǎn)嚴(yán)附近的函數(shù)值也異3 a2008年第3期數(shù)學(xué)通訊112008年第3期數(shù)學(xué)通訊11;2007 25賀斌(1961 T男湖北隨州人湖北省谷城縣第三中學(xué)高級(jí)教師.© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 12數(shù)學(xué)通訊2008第3期04三次函數(shù)I g( xo) >0,圖3三次函數(shù) /*g( xo) v0,g(卩VO,I 3“圖6三次函數(shù)Jl3Q

5、* 加0.Jl3/即丨yof( xo丿I i yof(-號(hào)，故X0和-+都是的極值點(diǎn)于是結(jié) 合函數(shù)g(的單調(diào)性知I丿方程git) = 0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根, 當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)的極大值V0 (如圖3,僅 畫出了 g("首項(xiàng)系數(shù)大于0的情況，后同丿 或極小值>0(如圖4丿.L(弋 >0.亦即 & ( X0丿 g (-寺)> 0 ( X0即仃 yo f()l-yQ - f( 土) (2)丿If f ( ) ( xq + ) l>0I3 a3 a由引理知，三次函數(shù)y = /(燈的圖像有 唯一對(duì)稱中心N(土, f(步”.而c在3 a3 a點(diǎn)N處的切線/的方程為

6、9;/(嚴(yán))=f (古丿(x+古丿.J 3 a J 3 a 3 a故宜線X = “與c及/的交點(diǎn)縱坐標(biāo) 分別為2)方程g(t) =0有且僅有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根當(dāng)且僅當(dāng)g( x0) =0,或g( - 土) = 0(如圖 5,6),即 yo = f( ao),或 yo f( -=/(±心o +壯八亦即當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M JC4位于y = f(x)的圖像上，或點(diǎn)M位于過三次 函數(shù)對(duì)稱中心N(+f(*)處的切線3 a3 a/上(點(diǎn)N除外丿時(shí)，可作y=/(幻的兩條切圖5三次函數(shù)3丿方程g(t) = 0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根, 當(dāng)且僅當(dāng)"0斗g( xo)sXO斗上)3 /f (- & (xo

7、 + 古丿 / vO.3 a3 a通過與1)類似的分析(或參見文/1 知滿足上述不等式組的點(diǎn)M(xo，J位于 C和I所夾的左、右兩個(gè)區(qū)域內(nèi)(邊界除外丿.綜上定理獲證.12數(shù)學(xué)通訊2008第3期12數(shù)學(xué)通訊2008第3期小。丿盤+八比心。+12數(shù)學(xué)通訊2008第3期由于X0工才，故上述兩縱坐標(biāo)不相5 a等注意到不等式組(2丿的第二式為關(guān)于yo 的一元二次不等式，并且垃項(xiàng)的系數(shù)為正， 故滿足上述不等式組的點(diǎn)Mdo,yo丿位于C 和/所夾的上、下兩個(gè)區(qū)域內(nèi)(邊界除外丿/!/賀斌，黃福過哪些點(diǎn)可以作三次函數(shù)圖像的 三條切線數(shù)學(xué)通訊.2007(20.121管宏斌三次函數(shù)對(duì)稱中心初探數(shù)學(xué)通訊. 2004(15；./3/劉國杰三次函數(shù)圖像對(duì)稱性的探索數(shù)學(xué)通 訊.2006(20).12數(shù)