高二數(shù)學(xué)新課程《1.2.1排列》教案(新人教A版)選修2-3

1、精誠凝聚=A，=成就夢想 _HIII1. 2. 1排列教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思 想，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。過程與方法：能運(yùn)用所學(xué)的排列知識，正確地解決的實(shí)際問題情感、態(tài)度與價(jià)值觀：能運(yùn)用所學(xué)的排列知識，正確地解決的實(shí)際問題教學(xué)重點(diǎn)：排列、排列數(shù)的概念 教學(xué)難點(diǎn)：排列數(shù)公式的推導(dǎo) 授課類型：新授課課時(shí)安排：2課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：分類計(jì)數(shù)原理是對完成一件事的所有方法的一個(gè)劃分，依分類計(jì)數(shù)原理解題，首先明確 要做的這件事是什么，其次分類時(shí)要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，最后在確定的標(biāo)準(zhǔn)下 進(jìn)行分類.分類要注

2、意不重復(fù)、不遺漏，保證每類辦法都能完成這件事.分步計(jì)數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個(gè)步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個(gè)步驟后才 算完成這件事，每步中的任何一種方法都不能完成這件事.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類計(jì)數(shù)原理更具有一般性，解決復(fù)雜問題時(shí)往往需要先分類，每類中再分 成幾步.在排列、組合教學(xué)的起始階段，不能嫌羅嗦，教師一定要先做出表率并要求學(xué)生嚴(yán)格 按原理去分析問題.只有這樣才能使學(xué)生認(rèn)識深刻、理解到位、思路清晰，才會做到分類有 據(jù)、分步有方，為排列、組合的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理既是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，也是解決排列、

3、 組合問題的主要依據(jù)，并且還常需要直接運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q問題，這兩個(gè)原理貫穿排列、組合 學(xué)習(xí)過程的始終.搞好排列、組合問題的教學(xué)從這兩個(gè)原理入手帶有根本性排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少 種不同方法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)是組合問題，順序?qū)ε帕?、組合問題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關(guān)系.教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入：1分類加法計(jì)數(shù)原理： 做一件事情，完成它可以有 n類辦法，在第一類辦法中有 m1種不 同的方法，在第二類

4、辦法中有 m2種不同的方法，在第 n類辦法中有 mn種不同的方法 那么完成這件事共有 N = m1 + m2 4 + mn種不同的方法2.分步乘法計(jì)數(shù)原理： 做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有 m1種不同的方法，做第二步有 m2種不同的方法，做第 n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1x：H: Mmln種不同的方法分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，每一種方法只屬于 某一類，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方

5、法相互依存，某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個(gè)步驟，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事應(yīng)用兩種原理解題：1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系；3.有無特殊條件的限制 二、講解新課：1問題：問題1.從甲、乙、丙 3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動，其中一名同學(xué)參 加上午的活動，一名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？分析：這個(gè)問題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取 2名同學(xué)，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的對象叫做

6、元素解決這一問題可分兩個(gè)步驟：第1步，確定參加上午活動的同學(xué)，從3人中任選1人,有3種方法；第2步，確定參加下午活動的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動的同學(xué)確定后，參加下 午活動的同學(xué)只能從余下的 2人中去選，于是有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理， 在3名 同學(xué)中選出2名，按照參加上午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有3X 2=6種，如圖1.2 1所示.上午 下午相應(yīng)的排法甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲丙乙圖 1.2 1把上面問題中被取的對象叫做元素，于是問題可敘述為：從3個(gè)不同的元素a , b 中任取2個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排 歹U是 ab,

7、ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3 x 2=6 種.問題2.從1,2,3,4 這4個(gè)數(shù)字中，每次取出 3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不 同的三位數(shù)？分析：解決這個(gè)問題分三個(gè)步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在4個(gè)字母中任取1個(gè)，有4種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的3個(gè)數(shù)中取，有3種方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的2個(gè)數(shù)中取，有2種方法由分步計(jì)數(shù)原理共有：4X3X2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由 此可寫出所有的排法顯然，從4個(gè)數(shù)字中，每次取出 3個(gè)，按“百” “十” “個(gè)”位的順序排成一列，就得 到一個(gè)三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù).可

8、以分三個(gè)步驟來 解決這個(gè)問題：第1步，確定百位上的數(shù)字，在1 , 2,3,4 這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取，有3種方法；第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取，有 2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1 , 2,3,4 這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出 3個(gè)數(shù)字， 翻點(diǎn)亮心燈/（人9）照亮人生 翻精誠凝聚=A，=成就夢想 _HIII按“百” “十” “個(gè)”位的順序排成一列，共有4X3X 2=24種不同的排法，因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖 1.2 2所示.

9、234134124A"公八八"C由此可寫出所有的三位數(shù):123, 213,312, 412, 同樣,124, 132, 134, 142, 143214,231,234,241,243314,321,324, 341,342413, 421,423, 431,432從4個(gè)不同的元素 a, b, c , d中任取 種不同的排列方法？所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dc

10、b. 共有4X 3X2=24種.樹形圖如下3個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，共有多少2.排列的概念：從n個(gè)不同元素中,個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列說明：(1)排列的定義包括兩個(gè)方面：取出元素，按一定的順序排列；(2)兩個(gè)排列相同的條件：元素完全相同，元素的排列順序也相同3.排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(m <n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出 m元素的排列數(shù)，用符號Am表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從 n個(gè)不同元素中,照一定的順序 排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從 n個(gè)不同元

11、素中，任取任取 m個(gè)元素按 m (m < n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)所以符號Am只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列問題2可以歸結(jié)為：4.排列數(shù)公式及其推導(dǎo):由A的意義：假定有排好順序的 2個(gè)空位，從n個(gè)元素aK a2l an中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列，反過來，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)A2,由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填 空共有 n(n1)種填法，. A2 = n(n -1)由此，求 解可以按依次填3個(gè)空位來考慮， A3=n(n-1)(n-2),求A:以按依次填 m個(gè)空位來考慮 Anm=n(n_1)

12、(nl2j (nm+1),第1位里上位第3位排列數(shù)公式：Am =n(n -1)(n| 2) (n -m 1)(m, n w N *, m < n)說明：(1)公式特征：第一個(gè)因數(shù)是 n,后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1,最后一個(gè)因數(shù)是 n-m+1,共有m個(gè)因數(shù)；(2)全排列：當(dāng)n=m時(shí)即n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列全排列數(shù)：Ann = n(n-1)(n L2) 2 1=n!(叫做n的階乘)另外，我們規(guī)定 0! =1 .例1.用計(jì)算器計(jì)算：(1 ) A； (2 ) A；8； (3 )醴不鬲.解：用計(jì)算器可得:(1)10 |§H司晅 4=5 040；18 |SHIFT| 國 5 =

13、 1 028 160；13=1 028 160.18 fSHIF 畫 18 目 13 |8HIFT| 國)我們看到，a；=尺8 +尺3 .那么，這個(gè)結(jié)果有沒有一般性呢？即n!.(n - m)!排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：Am = n(n -1)(n I 2) (n -m 1)AmAnn -m5如-加-2) (n-m：?(n-m) ”:二名.即Am=(n -m)(n -m'-1) 3 2 1(n - m)! An_m(n - m)!例 2.解方程：3 A3 =2A；+6A2.解：由排列數(shù)公式得：3x(x1)(x 2) =2(x+1)x+6x(x1),x>3,3(x1)(x2)=2(x+

14、1)+6(x1),即 3x217x+10=0,翻點(diǎn)亮心燈 /(AVA)照亮人生精誠凝聚=A，=成就夢想 _HIII2一斛付x =5或x = , 二乂至3,且xwN,，原萬程的解為 x=5. 3例3.解不等式：A >6片/.八 一一r 9!9!解：原不等式即>6，一9,(9-x)!(11-x)!，、一16八一 2也就是>,化簡得：x2 -21x + 104>0 ,(9 -x)! (11-x) (10-x) (9-x)!解得 x<8或 x >13,又 2 MxM9,且 xw N”,所以，原不等式的解集為12,3,4,5,6,7.例4.求證：(1) A1 = Am

15、 內(nèi)藍(lán)；(2)畢R =1 35 (2n-1). 2n n!證明：(1) Am 'Anjm =n(n m)! =n! = An, ,原式成立 (n - m)!泰 (2n)! 2n (2n-1) (2n| 2) 4 3 2 1(2)2n n!2n n!1112nn(n-1) 2 1 (2n-1)(2n-3) 131一2n n!n!13 (2n-3)(2n-1)=1 35 (2n -1)=右邊n!原式成立說明：(1)解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)A中，m,n乞N*且m E n這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；(2)公式a： =n(n 1)(n|21 (n

16、m+1)常用來求值，特別是 m,n均為已知時(shí)，公式Anm= n! ,常用來證明或化簡 (n -m)!例5.化簡：工十2 +科子 2! 3! 4!+ nz1； 1父1!+2M2!+343H+nMn!n!111解：原式=1!-2! 2! 3!341(n -1)! n!1 二1-1提示：由(n+1)! =(n+1 )n! =nMn!+n!,得 nn! = (n+1 Jn!, 原式=(n + 1)!1 說明：n7=1n! (nT)! n!例7.（課本例2）.某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì) 在主、客場分別比賽一次，共進(jìn)行多少場比賽？解：任意兩隊(duì)間進(jìn)行 1次主場比賽與1次客

17、場比賽，對應(yīng)于從 14個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列.因此，比賽的總場次是A24 =14 X 13=182.例8.（課本例3）. （1 ）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多 少種不同的送法？（2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：（1 ）從5本不同的書中選出 3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取 3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是A53=5X4X 3=60.（2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)每人各1本書的不同方法種數(shù)是 5X5X5=125.例8中兩個(gè)問題的區(qū)別在于：

18、（1 ）是從5本不同的書中選出 3本分送3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而（2 ）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.例9.（課本例4） .用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析： 在本問題的。到9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?。不能排在百位上?而其他數(shù)可以排在任意位置上， 因此。是一個(gè)特殊的元素.一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題解法1 :由于在沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，百位上A；個(gè)崗個(gè)的數(shù)字不能是 O,因此可以分兩步完成排列.第 1步，排 百位上的數(shù)字，可以從 1到9這九個(gè)數(shù)字中任選1

19、個(gè)，有A9種選法；第2步，排十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從 余下的9個(gè)數(shù)字中任選 2個(gè)，有A2種選法（圖1.2 5） .根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)有A1，A；=9X 9X8=648 （個(gè)）.解法2 :如圖1.2 6所示，符合條件的三位數(shù)可分成 3類.每一位數(shù)字都不是位數(shù) 有A母個(gè)，個(gè)位數(shù)字是 O的三位數(shù)有揭個(gè)，十位數(shù)字是 0的三位數(shù)有揭個(gè).根據(jù)分類加法 計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有A3 +A2 + A2=648 個(gè).解法3 :從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為A30,其中O在百位上的排列數(shù)是A2,它們的差就是用這10個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，即所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是

20、a30-a2=10X 9X 8-9 X 8=648.對于例9這類計(jì)數(shù)問題，可用適當(dāng)?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有 不同的解題方法.解法 1根據(jù)百位數(shù)字不能是。的要求，分步完成選 3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù) 數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計(jì)數(shù)原理；解法 2以O(shè)是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置 為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計(jì)數(shù)原理；解法 3是一種逆向思考方法：先 求出從10個(gè)不同數(shù)字中選 3個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)(即不 是三位數(shù)的個(gè)數(shù))，就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).從上述問題的解答過程可以看到， 引進(jìn)排列的概念，以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式，可以更加簡

21、便、快捷地求解“從n個(gè)不同元素中取出m (m w n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”這類特殊的計(jì)數(shù)問題.1.1節(jié)中的例9是否也是這類計(jì)數(shù)問題？你能用排列的知識解決它嗎？ 四、課堂練習(xí)：n! 1 .右 x=，則 x=()3!(C) A31(D)A(C)10a9(D)a1；3_ n 3(A) An(B)An2 與A10 A7不等的是()(A)A0(B) 81A83 .若A5 =2解，則m的值為(A) 5(B) 3(C)6(D) 7564 計(jì)算：2A9 +36A9 _；”！一9!-AoAm(m -n)!5.若 2 :(m 1)!Arn:<42 ,則m的解集是6. (1)已知A： =1。k94父5,那

22、么m =(2)已知 9! =362880,那么 A =_；(3)已知 A2 =56 ,那么 n=；(4)已知A2 =7A2工，那么n=7. 一個(gè)火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法(假定每股岔道 只能停放1列火車)？8. 一部紀(jì)錄影片在 4個(gè)單位輪映，每一單位放映1場，有多少種輪映次序？答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,15. ：2,3,4,5,6)6. (1) 6(2) 181440 (3) 8(4) 57.16808. 24鞏固練習(xí)：書本20頁1, 2, 3 ,4,5,6課外作業(yè)：第27頁 習(xí)題1.2 A組1 , 2,3,4,5 教學(xué)反思：排列的特征：一

23、個(gè)是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”，“一定順序”就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個(gè)問題是不是排列問題的重要標(biāo)志。根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相 同，且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相同.了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。對于較復(fù)雜的問題，一般都有兩個(gè)方向的列式途徑，一個(gè)是“正面湊” ，一個(gè)是“反過來 剔” .前者指，按照要求，一點(diǎn)點(diǎn)選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方 案，再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法， 從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用排列數(shù)公式

24、進(jìn)行計(jì)算。補(bǔ)充例題例1 . （1）有5本不同的書，從中選 3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的 送法？（2）有5種不同的書，要買 3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 解：（1）從5本不同的書中選出 3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從 5個(gè)元素中任取3個(gè)元素 的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：篦=5父4父3=60,所以，共有60種不同的送法（2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給 3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：5M5父5 = 125,所以，共有125種不同的送法說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出

25、3本分送給3位同學(xué)， 各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算例2.某信號兵用紅、黃、藍(lán) 3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意 掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有 A3種；第二類用2面旗表示的信號有 A種；第三類用3面旗表示的信號有 A；種，由分類計(jì)數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是：A3 + A； + A3 =3 + 3黑2 + 3黑2黑1 =15 ,答：一共可以表示15種不同的信號例3.將4

26、位司機(jī)、4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一 位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問題可以分為兩步，第一步：把4位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從4個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素排成一列，有 A44種方法；第二步：把4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有A4種方法，利用分步計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計(jì)數(shù)原理，分配方案共有N =A： 解= 576 （種）翻點(diǎn)亮心燈/(AVA)照亮人生精誠凝聚=A，=成就夢想 _HIII答：共有576種不同的分配方案例4.用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?十位個(gè)位百位A解法

27、1:用分步計(jì)數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：A9 A2 =9x9x8=648解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是百位十位個(gè)位百位十位個(gè)位百位十位個(gè)位0的三位數(shù)有 A3個(gè)，個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有 A2個(gè),十位數(shù)字是0的三位數(shù)有 解個(gè)，由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：A3 +A9 +A2 =648 .解法3:從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為 A30,其中以0為排頭的排列數(shù)為A2 ,因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A；0 A2 = 648 - A2 .說明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對問題進(jìn)行恰 當(dāng)?shù)姆诸惡头植?，直接?jì)算符合條件的排列

28、數(shù)如解法1, 2;間接法：對于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來，然后再減去不符合限制條件的情 況種數(shù)如解法3.對于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重復(fù) 與遺漏例5. (1) 7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個(gè)元素的全排列 A7 = 5040.(2) 7位同學(xué)站成兩排(前 3后4),共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7X6X5X4X3X2X 1 = 7! = 5040.(3) 7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列一一 A66=720.

29、(4) 7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有 A；種；第二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有 A5種，所以，共有 A2 A5 =240種排列方法(5) 7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法1 (直接法)：第一步從(除去甲、乙)其余的 5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有A；種方法；第二步從余下的 5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列(全排列)有 虐種方法，所以一共有A； A5 = 2400種排列方法解法2:(排除法)若甲站在排頭有 A66種方法；若乙站在排尾有 A6種方法；若甲站在排A；頭且乙站在排尾則有 A5種方法，

30、所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有652A6 + A5 =2400 種.說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮例6.從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選 6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不 能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：（從特殊位置考慮）A9 A5 = 136080 ；解法二：（從特殊元素考慮）若選： 5 A；若不選：A ,則共有5 A5 + A6 =136080種；解法三：（間接法） A60 A5 = 136080例7. 7位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、

31、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有 A6種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有A；種方法.所以這樣的排法一共有A ,簿=1440種（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有 A A3 = 720種（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有 6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有 A；種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有 A4種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有A22種方法.

32、所以這樣的排法一共有 A； A44 A2 = 960種方法解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有 6個(gè)元素，若丙站在排頭或排尾有2 A種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有（A： - 2A5） A2 =960種方法解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有 6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有A4種方法，再將其余的 5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有 A5種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以，這樣的排法一共有 A4 A5 A2 =960種方法.（4）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)必須站在一起，另外四個(gè)人也必須站在一起解：將甲、乙、丙三個(gè)同

33、學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，另外四個(gè)人“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，時(shí)一共有 2個(gè)元素，一共有排法種數(shù)：A3A4A2 =288 （種）說明：對于相鄰問題，常用“捆綁法”（先捆后松）.例8. 7位同學(xué)站成一排，（1）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）A7 -A6 A =3600 ；解法二：（插空法）先將其余五個(gè)同學(xué)排好有A；種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置（就稱為“空”吧），再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置 （空）有解種方法，所以一共有A；A：=3600 種方法.（2）甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有A44種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)“空”，

34、再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空”有A3種方法，所以一共有 A A3 = 1440種.說明：對于不相鄰問題，常用“插空法”（特殊元素后考慮）例9. 5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生按指定順序排列解：（1）先將男生排好，有 A5種排法；再將5名女生插在男生之間的 6個(gè)“空擋”（包括兩端）中，有2 A5種排法故本題的排法有 N =2A5 A5 =28800 （種）；A10(2)方法 1： N=A；0 =30240；A方法2:設(shè)想有10個(gè)位置，先將男生排在其中的任意5個(gè)位置上，有 A50種排法；余下的5個(gè)位置排女生，因?yàn)榕奈恢靡呀?jīng)指定，所以她們只有一種排法故本題的結(jié)論為 N = A： m 1 = 30240 （種）2007年高考題1. （2007年天津卷）如圖，用 6種不同的顏色給圖中的 4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有 390種（用數(shù)字作答）.2. （2007年江蘇卷）某校開設(shè) 9門課程供學(xué)生選修，其中 A,B,C三門由于上課時(shí)間相同，至 多選一門，學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)選修4門，共有 75種不同選修方案。（用數(shù)值作答）3. （2007年北京卷）記者要為 5名志愿都和他們幫助的 2位老人拍照，要求排成一排， 2位 老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ B ）A. 144