41正弦和余弦

1、銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)本章內(nèi)容第第4章章正弦和余弦正弦和余弦本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.1 如圖如圖4-1，一艘輪船從西向東航行到，一艘輪船從西向東航行到B處時，燈處時，燈塔塔A在船的正北方向，輪船從在船的正北方向，輪船從B處繼續(xù)向正東方向處繼續(xù)向正東方向航行航行2000 m到達到達C處，此時燈塔處，此時燈塔A在船的北偏西在船的北偏西65的方向的方向.試問試問:C處和燈塔處和燈塔A的距離的距離AC約等于多少米約等于多少米( (精確到精確到10 m) )？探究探究圖圖4-1 由題意，由題意，ABC是直角三角形，是直角三角形， 其中其中B=90，A=65( (兩直線平行，兩直線平行， 內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相

2、等) )， A所對的邊所對的邊( (簡稱為對邊簡稱為對邊) )BC=2000 m. 如何求斜邊如何求斜邊AC的長度呢？的長度呢？圖圖4-1？ 上述問題就是：知道直角三角形的一個為上述問題就是：知道直角三角形的一個為65的銳角和這個銳角的對邊長度，想求斜邊長度的銳角和這個銳角的對邊長度，想求斜邊長度. 為了解決這個問題，可以去探究直角三角形中，為了解決這個問題，可以去探究直角三角形中，65角的對邊與斜邊的比值有什么規(guī)律角的對邊與斜邊的比值有什么規(guī)律.ABC652000m？ 每位同學畫一個直角三角形，其中一個銳角為每位同學畫一個直角三角形，其中一個銳角為65，量出量出65角的對邊長度和斜邊長度，計

3、算角的對邊長度和斜邊長度，計算 65角的對邊角的對邊斜邊斜邊= = .ABC652000m？ 與同桌和鄰近桌的同學交流，計算出的比值是否相與同桌和鄰近桌的同學交流，計算出的比值是否相等等( (精確到精確到0.01) )？ 小明、小亮畫的直角三角形分別如圖小明、小亮畫的直角三角形分別如圖4-2的的( (1) )和和( (2) )，其中，其中9065E=E =D=D = , ., .圖圖4-2（1）（2）小明量出小明量出DD的對邊的對邊EF =3cmEF =3cm，斜邊，斜邊DF=3.3cmDF=3.3cm，算出：，算出：小亮量出小亮量出DD的對邊的對邊 斜邊斜邊 算出：算出：你從以上事實發(fā)現(xiàn)了什

4、么？你從以上事實發(fā)現(xiàn)了什么？在有一個銳角為在有一個銳角為6565的直角三角形中，的直角三角形中，6565角的對邊與角的對邊與斜邊的比值是一個常數(shù)，它約等于斜邊的比值是一個常數(shù)，它約等于0.91.0.91.你能證明這個結(jié)論嗎？你能證明這個結(jié)論嗎？圖圖4-2（1）（2） 小明量出小明量出D的對邊的對邊EF=3cm，斜邊，斜邊DF=3.3cm，算出：算出：角的對邊角的對邊斜邊斜邊30.91 .3.3D 小亮量出小亮量出 的對邊的對邊 斜邊斜邊 算出：算出： 2cmE F = , , 2.2cmD F = , ,D角的對邊角的對邊斜邊斜邊20.91 .2.2D 3cm3.3cm2cm2.2cm你從以上

5、事實發(fā)現(xiàn)了什么？你從以上事實發(fā)現(xiàn)了什么？圖圖4-2（1）（2）3cm3.3cm2cm2.2cm 在有一個銳角為在有一個銳角為65的直角三角的直角三角形中，形中，65角的對邊與斜邊的比值是角的對邊與斜邊的比值是一個常數(shù)，它約等于一個常數(shù)，它約等于0.91. 你能證明這個結(jié)論嗎？你能證明這個結(jié)論嗎？ 任取有一個銳角為任取有一個銳角為65的兩個直角三角形，如圖，由的兩個直角三角形，如圖，由于于E=E=90，D=D，因此，因此 DEF D E F 從而從而于是于是 EF D F =E F DF . EFDFE FD F 因此在有一個銳角為因此在有一個銳角為65的所有直角三角形中，的所有直角三角形中，6

6、5角的對邊與斜邊的比值為一個常數(shù)角的對邊與斜邊的比值為一個常數(shù).由此得出由此得出 EFE FDFD F 小明和小亮計算出這個常數(shù)約等于小明和小亮計算出這個常數(shù)約等于0.91. 現(xiàn)在你能解決輪船航行到現(xiàn)在你能解決輪船航行到C處時與燈塔處時與燈塔A的距離的距離約等于多少米的問題嗎？約等于多少米的問題嗎？ 圖圖4-1的直角三角形的直角三角形ABC中，中，BC=2000m，A=65，因此，因此A的對邊的對邊BC與斜邊與斜邊AC的比的比值應當?shù)扔谏鲜龀?shù)，即值應當?shù)扔谏鲜龀?shù)，即解得解得 20000.91AC20002200 m0.91AC ( )( )圖圖4-14-1 類似地可以證明：在有一個銳角等于

7、類似地可以證明：在有一個銳角等于的的所有直角三角形中，角所有直角三角形中，角的對邊與斜邊的比值的對邊與斜邊的比值為一個常數(shù)為一個常數(shù)結(jié)論結(jié)論定義定義 在直角三角形中，銳角在直角三角形中，銳角的對邊與斜邊的比的對邊與斜邊的比叫作角叫作角的的正弦正弦，記作，記作 sin，即，即 角角 的對邊的對邊斜邊斜邊 sin= . 舉舉例例例例1 如圖如圖4-3，在直角三角形，在直角三角形ABC中，中，C=90， BC=3，AB=5.（1）求）求A的正弦的正弦sinA；圖圖4-3解解:A的對邊的對邊BC=3， 斜邊斜邊AB=5.于是于是3sin5A = . .（2）求）求B的正弦的正弦sinB解解:B的對邊的

8、對邊AC，根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)勾股定理，得圖圖4-3 AC2 = AB2- -BC2 = 52- -32 = 16.于是于是 AC = 4.因此因此4sin5B = . .練習練習1. 如圖如圖4-4，在直角三角形，在直角三角形ABC中，中，C=90， BC=5，AB=13.（1）求）求sinA的值；的值；（2）求）求sinB的值的值答：答：513 . .答：答：1213 . .圖圖4-42. 小小剛說：對于任意銳角剛說：對于任意銳角，都有，都有 0 sin1 你認為他說得對嗎？為什么？你認為他說得對嗎？為什么？ 答：小剛說的對答：小剛說的對. 角角的對邊是直角邊，的對邊是直角邊， 而直角邊

9、長小于斜邊長，而直角邊長小于斜邊長， 0 sin 1.角角的對邊的對邊斜邊斜邊sin , , 在直角三角形中，在直角三角形中，30角所對的直角邊與角所對的直角邊與斜邊有什么關(guān)系？斜邊有什么關(guān)系？說一說說一說 在直角三角形中，在直角三角形中，30角所角所對的直角邊等于斜邊的一半對的直角邊等于斜邊的一半.利用右圖中的直角三角形來記利用右圖中的直角三角形來記30，45，60的正弦值的正弦值.舉舉例例例例2 分別求分別求sin30和和sin60的值的值 解解:在直角三角形在直角三角形ABC中，中，C=90，A=30. 1sin302BC= .AB 因此因此 于是于是A的對邊的對邊BC= AB. 123

10、sin602AC= .AB 32AC=AB .于是于是 因此因此根據(jù)勾股定理得根據(jù)勾股定理得 AC2=AB2- -BC2=AB2- - 221324 AB =AB .又又 ，B的對邊是的對邊是AC. 903060B= - -舉舉例例例例3 求求 sin 45的值的值解解:如圖如圖4-6，在，在RtABC中，中，C=90，A=45. 于是于是 B = 45.從而從而 AC = BC.根據(jù)勾股定理，得根據(jù)勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.1 1 22sin452222 BC= =.AB 于是于是 AB= BC.因此因此2圖圖4-64-6探究探究 如圖如圖4-7，ABC和

11、和DEF都是直角三角形，都是直角三角形，它們都有一個銳角等于它們都有一個銳角等于，即，即A=，D=.在在RtABC中，中，A的相鄰的直角邊的相鄰的直角邊( (簡稱鄰邊簡稱鄰邊) )為為AC，斜邊為，斜邊為AB；在；在RtDEF中，中，D的鄰邊為的鄰邊為DF，斜邊為，斜邊為DE.圖圖4-7下式成立嗎？下式成立嗎？ACDF.DEAB 由于由于AC是是B的對邊，的對邊，DF是是E的對邊，的對邊，并且并且B = 90- - =E，圖圖4-7 這證明了：在有一個銳角等于這證明了：在有一個銳角等于的所有直角的所有直角三角形中，角三角形中，角的鄰邊與斜邊的比值等于角的鄰邊與斜邊的比值等于角90- -的對邊與

12、斜邊的比值，從而為一個常數(shù)的對邊與斜邊的比值，從而為一個常數(shù).ACDF.DEAB 因此因此結(jié)論結(jié)論定義定義 在直角三角形中，銳角在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊的的鄰邊與斜邊的比叫作角比叫作角的余弦，記作的余弦，記作cos，即，即斜邊斜邊cos . 角角 的鄰邊的鄰邊結(jié)論結(jié)論cos= sin . - - ( ) ( ) 從上述證明過程看出：對于任意銳角從上述證明過程看出：對于任意銳角，有，有sin= cos . - - ( ) ( ) 從而有從而有 舉舉例例例例4 求求cos30，cos60，cos45的值的值 解解:3cos30sin 9030sin602=- - (),(),1cos60s

13、in 9060sin302= - - (),(),2cos45sin 9045sin452=- - ().().練習練習1. 如圖如圖4-8，在，在RtABC中，中，C=90， AC=5，AB=7.求求 cos A，cos B 的值的值圖圖4-8答：答：52 6coscos77A= B= , ., .答：答：63coscos3336sinsin33A= B= A= B= , , , , , ., .2. 如圖如圖4-9，在，在RtABC中，中，C=90，AC = ， AB=3，求，求cosA，cosB，sinA，sinB的值的值6圖圖4-93. 對于任意銳角對于任意銳角，都有，都有 0 cos

14、 1 你能說出道理嗎？你能說出道理嗎？斜邊斜邊角角 的鄰邊的鄰邊答：答：cos 的鄰邊是直角邊，的鄰邊是直角邊，直角邊的長小于斜邊長，直角邊的長小于斜邊長，0 cos 1 . 動腦筋動腦筋如何求出如何求出 sin 50的值？的值？小明是這么做的：小明是這么做的：畫一個直角三角畫一個直角三角ABC，使得使得A=50，如圖，如圖4-10，量出，量出A的對的對邊邊BC的長度為的長度為3cm，斜邊，斜邊AB的長度為的長度為3.9cm. 圖圖4-103cm3.9cm50計算計算:3503.90.77sin= . . 圖圖4-103cm3.9cm50 用這種方法求用這種方法求 的值，由于量角的大小，量的值

15、，由于量角的大小，量線段的長度都會有測量誤差，因此精確度不太高，線段的長度都會有測量誤差，因此精確度不太高，而且費時間，效率低而且費時間，效率低.sin50 我們可以利用計算器求任意銳角的正弦值和余我們可以利用計算器求任意銳角的正弦值和余弦值弦值. 閱讀計算器的說明書，了解求一個銳角的正弦值閱讀計算器的說明書，了解求一個銳角的正弦值和余弦值的方法和余弦值的方法1. 求銳角的正弦值和余弦值求銳角的正弦值和余弦值( (精確到精確到0.0001) )？（1）sin50 ，cos50 ；（2）sin70 ，cos70 ；（3）sin15 ，cos15 0.76600.64280.93970.34200

16、.25880.9659 如何用計算器求如何用計算器求 ( (精確到精確到0.0001) )？sin10 36 顯示結(jié)果：顯示結(jié)果：0.18395135精確到精確到0.0001：取：取0.1840.注：注： 為度、分、秒六十進制數(shù)輸入鍵為度、分、秒六十進制數(shù)輸入鍵. .依次按鍵：依次按鍵：2. 根據(jù)上述方法，求下列銳角的正弦值和余弦值根據(jù)上述方法，求下列銳角的正弦值和余弦值 ( (精確到精確到0.0001):): （1） ， ；sin28 30 cos35（2） ， .sin62 48 cos62 48 0.47720.99990.88940.4571 又如何用計算器從已知又如何用計算器從已知

17、，求銳，求銳角角( (精確到精確到1) )？ sin0.3688=顯示結(jié)果：顯示結(jié)果：21.6416292 ( (十進制度數(shù)十進制度數(shù)) ).依次按鍵：依次按鍵：精確到精確到1：取取 . . 21 38 依次按鍵依次按鍵 ： . . 顯示結(jié)果顯示結(jié)果:21 38 29.87 . 注：相繼按鍵注：相繼按鍵 ，執(zhí)行，執(zhí)行 上方所指的上方所指的“DEGDEG” 的功能，即為十進制數(shù)與六十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換的功能，即為十進制數(shù)與六十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換. .3. 根據(jù)上述方法，求下列正弦值或余弦值所對應的根據(jù)上述方法，求下列正弦值或余弦值所對應的 銳角銳角( (精確到精確到1) )： （1） ，則則 ；sin0.8

18、268 （2） ，則則 ；sin0.1436 （3） ，則則 ；cos0.3279 （3） ，則則 .cos0.9356 55 46 8 15 70 52 20 41 練習練習1.求下列銳角的正弦值和余弦值求下列銳角的正弦值和余弦值( (精確到精確到0.0001) )：（1）35； （2）68； （3）88；（4）9； （5）3018； （6）76（7）938； （8）8153.解解:1 sin 350.5736 cos 350.8192 2 sin680.9272 cos680.3746 3 sin880.9994 cos880.0349 4 sin 90.1564 cos90.9877 5 sin 30 = = = = = = = = （） , , ；（ ） , , ；（ ） , , ；（ ） , , ；（ ） 18 0.5645 cos30 180.8634 6 sin 76 10 0.9710 cos76 100.2391 7 sin 9 38 0.1673 cos9 380.9859 8 sin 81 53 0.9900 cos81 530.1412 = = = = = = = = , , ；（ ） , , ；（ ） , , ；（ ） , . , .2. 已知正弦值或余弦值，求相應的銳角已知正弦值或余弦值，求相應