數(shù)學(xué)科學(xué)與天體力學(xué)300年

1、數(shù)學(xué)科學(xué)與天體力學(xué)300年V.I. Arnold高非譯;王繼海校自從牛頓自然哲學(xué)數(shù)學(xué)原理問(wèn)世至今，已整整三百年了。牛頓這一著作奠定了現(xiàn)代理論物理學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)科學(xué)發(fā)展全部進(jìn)程，都產(chǎn)生了巨大影響。書中不少章節(jié)，現(xiàn)已發(fā)展成為理論，對(duì)此，已寫出了成千上萬(wàn)的書。1. 牛頓的書，主要為了論述如何解決如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：證明在到與吸引中心的距離平方成反比的引力作用下，被吸引物體沿橢圓運(yùn)動(dòng)，而吸引中心在其中一個(gè)焦點(diǎn)上(當(dāng)初始速度足夠大時(shí)，物體也可能沿其它錐截曲線拋物線和雙曲線運(yùn)動(dòng))。換句話說(shuō)，即根據(jù)牛頓萬(wàn)有引力定律，推出開(kāi)普勒行星第一定律(行星沿備圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)位于其中一個(gè)焦點(diǎn)上)。 為此目的，牛頓遠(yuǎn)遠(yuǎn)地發(fā)展了力學(xué)

2、的數(shù)學(xué)工具，從大家熟知的牛頓三定律直到月球攝動(dòng)理論。2. 無(wú)論是萬(wàn)有引力定律還是牛頓定律，都不是牛頓發(fā)現(xiàn)的。慣性定律(牛頓第一定律)始于伽利略?；莞乖?659年推導(dǎo)了圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式(為此，需要掌握牛頓第二定律)。1663年，惠更斯在倫敦皇家科學(xué)院會(huì)議上，敘述了能量和動(dòng)量守值規(guī)律。 開(kāi)普勒(1609)寫道：如果地球停止吸引，所有海水都將涌入月球。引力平方反比定律，已見(jiàn)于1645年 I. Biot 所著書中。 激發(fā)牛頓認(rèn)真研究引力的推動(dòng)力，是胡克的一封信。胡克是始建于1662年的皇家科學(xué)院的學(xué)監(jiān)，根據(jù)規(guī)定，學(xué)監(jiān)有責(zé)任在每間舉行的科學(xué)院會(huì)議上演示二三種證明某些自然定律的實(shí)驗(yàn)。這些定律不一定是

3、他本人的發(fā)現(xiàn)，也可得知于和其它學(xué)者的通訊，或取自出版物等，只要求是由實(shí)驗(yàn)證明成立的定律。 胡克忠實(shí)地完成了自己的使命，在長(zhǎng)達(dá)四十年的期間里，證明了大量自然規(guī)律。他個(gè)人，一生中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律達(dá)五百以上。其中一些規(guī)律，至今仍以胡克命名，如彈性基本定律：回復(fù)力正比于對(duì)平衡位置的偏離。其它一些規(guī)律，被歸屬于另外的作者(如氣體彈性定律，作為助手胡克的發(fā)現(xiàn)，首先在波義耳的書中發(fā)表，現(xiàn)稱為波義耳馬略特定律)。3. 由于每周都必須證明幾項(xiàng)自然規(guī)律，胡克常常很匆忙，無(wú)暇顧及自己所發(fā)現(xiàn)規(guī)律的數(shù)學(xué)表述。1679年底至1680年初，在與牛頓的通信中。胡克把自己關(guān)于引力的一些想法告知牛頓： (1)被中心力所吸引的物體，當(dāng)力

4、的大小反比于距離平方時(shí)，將沿偏心的類橢圓線(即類似于橢圓的曲線)運(yùn)動(dòng)； (2)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明，地球引力隨高度增加而減小； (3)如同彈性力在趨向平衡位置時(shí)變?nèi)跻粯樱?dāng)物體向礦井下落時(shí)，引力也將減弱，因此(在無(wú)阻力情況下)落體軌道將類似橢圓，其中心即在地球中心處。胡克未能精確確定軌道形狀。看來(lái)，他用圖解法積分運(yùn)動(dòng)方程，或者利用了某種特殊的模擬計(jì)算器(虎克曾對(duì)沿平面、球面，或者其它曲面運(yùn)動(dòng)的擺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，他指出，這些實(shí)驗(yàn)，視表面不同模擬的引力規(guī)律亦不同)。4.胡克希望，牛頓以其卓越的數(shù)學(xué)方法，定能證明軌道的橢圓性。牛頓也的確完成了這一任務(wù)。他用幾何方法的證明曾經(jīng)是(而且仍然是)異常復(fù)雜，這使牛頓清楚地

5、意識(shí)到，胡克所斷定的比他所知道的要多。因此，在進(jìn)一步的工作中，他避免引用胡克。哈雷在1686年曾勸說(shuō)牛頓在原理中提及胡克(胡克在1666年和1674年就發(fā)表過(guò)關(guān)于引力的論文)，在與哈雷的通信中牛頓曾以一段話表達(dá)了自己關(guān)于數(shù)學(xué)家(牛頓)與物理學(xué)家(胡克)對(duì)待科學(xué)的差異，這些話時(shí)至今日仍有現(xiàn)實(shí)意義，牛頓寫道：發(fā)現(xiàn)一切的數(shù)學(xué)家，應(yīng)滿足于馱重的牲畜和枯燥無(wú)味的計(jì)算者的角色，而另一個(gè)人，他什么也不能證明，只是攫取一切，潛望一切，并囊括其前輩及后人的全部榮譽(yù)。 牛頓于1714年斷言，他在1665或1666年發(fā)現(xiàn)了距離平方反比規(guī)律(關(guān)于蘋果落地的軼聞，是牛頓的外甥女大約在1726年向伏爾泰講述的)，而軌道的

6、橢圓性，則是在1676或1677年證明的(即在與胡克通訊之前)。后一日期似乎是可疑的，至少，在1684年以前，牛頓從未向任何人談過(guò)自己的證明。而且他什么也沒(méi)有發(fā)表過(guò)。 早在l676年，牛頓就寫道：人應(yīng)當(dāng)作出抉擇或者什么都不發(fā)表，或者用一生去保衛(wèi)自己的發(fā)明權(quán)。看來(lái)，他兩者都做到了：首先，他什么也未發(fā)表過(guò)；其次，不斷進(jìn)行關(guān)于發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)辯(與胡克、萊布尼茨、弗萊斯蒂得、等等)。5. 證明軌道的橢圓性之后，牛頓仍然不認(rèn)為引力定律已經(jīng)證明。他注意到，地球不是一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)然，在吸引物體遠(yuǎn)處，其引力接近于將該質(zhì)量放于物體中心點(diǎn)的引力。但是引力定律的導(dǎo)出，是建立在地球?qū)υ虑虻奈拖虻孛媛涫?或蘋果)這兩者對(duì)比

7、基礎(chǔ)上的，在計(jì)算對(duì)月球的吸引時(shí)，地球尚可認(rèn)為是一個(gè)點(diǎn)，但對(duì)石塊，將是另外一種情況。需要證明，雖然地球的不同部位沿不同方向吸引石塊，但其合力對(duì)石塊的作用相當(dāng)于將地球全部質(zhì)量集中于中心。 對(duì)這一事實(shí)的幾何證明(如原理中所敘述的，其中包括關(guān)于完整的球殼對(duì)內(nèi)部點(diǎn)完全無(wú)吸引的證明)是要克服許多困難，這在當(dāng)時(shí)也只有牛頓力所能及。 牛頓的這些定理的現(xiàn)代證明基于流體力學(xué)考慮，最早由拉普拉斯提出。問(wèn)題在于，不可壓縮流體唯一可能的球?qū)ΨQ流，是沿徑向的流，其速度與到中心的距離的平方成反比。這是因?yàn)椋瑔挝粫r(shí)間通過(guò)半徑為任何值的球面的流量均相等而球面積正比于半徑平方。與此同理，從中心源向外飛散的粒子(例如太陽(yáng)光子)通量

8、強(qiáng)度反比于到源的距離平方。于是，點(diǎn)質(zhì)量的引力場(chǎng)在數(shù)學(xué)上與不可壓縮流體速度場(chǎng)一致！在此意義上，超距作用變成了近距作用。 由此立即可得牛頓關(guān)于球的引力定理。的確，任意質(zhì)量系統(tǒng)的引力場(chǎng)在質(zhì)量之外具有同樣的不可壓縮性(由于總場(chǎng)的通量等于分通量之和，所以，不可壓縮場(chǎng)之和也是不可壓縮的)。 由球?qū)ΨQ的質(zhì)量分布所產(chǎn)生的引力場(chǎng)仍然是球?qū)ΨQ的，在這些質(zhì)量之外是不可壓縮的，因此，其強(qiáng)度反比于到質(zhì)量中心的距離。比例常數(shù)由以下條件確定：通過(guò)包含全部源的球面的通量等于源的總強(qiáng)度。因此，這一比例常數(shù)對(duì)于所有球?qū)ΨQ的質(zhì)量分布都是相同的，其中包括集中于中心的質(zhì)量。6. 牛頓的主要結(jié)果在按距離平方反比規(guī)律減弱的場(chǎng)中軌道為橢圓可

9、以從胡克定律和牛頓定律之間的特殊對(duì)偶關(guān)系中得出。 一般說(shuō)，對(duì)正比于到吸引中心距離的。次方的引力規(guī)律，存在看對(duì)應(yīng)的規(guī)律，其次方 A 由條件 (a+3)(A+3)=4 確定。對(duì)于胡克定律，a=1，因此，牛頓定律(A=-2)與其對(duì)偶。 互偶的定律之間的聯(lián)系在于：將按 a 次方規(guī)律運(yùn)動(dòng)的軌道乘以d=(a+3)/2次方，則此軌道即過(guò)渡為按 A 次方規(guī)律運(yùn)動(dòng)的軌道(兩種軌道均位于復(fù)數(shù)平面上)原理出版后三百年所發(fā)現(xiàn)的這一事實(shí)，可以通過(guò)二次微商驗(yàn)證。 按胡克定律，運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，而吸引點(diǎn)在其中心(簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初等理論)。 牛頓定律(A=-2)與胡克定律(a=1)互偶，其軌道可通過(guò)將胡克的軌道乘以二次方得到(d=

10、2)。原來(lái)，當(dāng)對(duì)復(fù)數(shù)取二次方時(shí)，胡克的橢圓(中心在原點(diǎn))即轉(zhuǎn)化為牛頓的橢圓(焦點(diǎn)在原點(diǎn))！天文學(xué)家包林的這個(gè)定理，最簡(jiǎn)單的證明方法是利用閔可夫斯基函數(shù)=z+1/z(此函數(shù)也用于計(jì)算器翼升力)。當(dāng)變數(shù) z 沿中心在原點(diǎn)的圓周取值時(shí)，變數(shù) 的復(fù)數(shù)值在焦點(diǎn)為2的胡克的橢圓上，而閔可夫斯基函數(shù)的平方2=z2+1/z2+2，將仍沿橢圓取值，但其焦點(diǎn)已移至原點(diǎn)。于是，牛頓引力定律的橢圓性，可從胡克定律的橢圓性推導(dǎo)出來(lái)。順便指出，胡克定律可作為均勻地球內(nèi)的礦井中落體規(guī)律而得到實(shí)現(xiàn)。胡克曾設(shè)想過(guò)這一規(guī)律，而牛頓證明了它(原理中的定理XXXIII)。錐截曲線理論是古希臘數(shù)學(xué)家建立的，兩千年后，牛頓將其應(yīng)用于天體

11、力學(xué)，成為一種基本工具。這是數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中具有不可思議的效力的一個(gè)光輝例證。1979年諾貝爾物理獎(jiǎng)得者溫伯格，對(duì)于數(shù)學(xué)家超前物理學(xué)家這一令人驚奇的現(xiàn)象這樣寫道：一些數(shù)學(xué)家出賣靈魂給魔鬼，以換取何種數(shù)學(xué)在許多年后將為物理學(xué)家所應(yīng)用的信息。7. 無(wú)論是世界體系的發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是理論物理的創(chuàng)建，也無(wú)論是天體力學(xué)的建立，在公元1700年以前，都未納入劍橋大學(xué)或皇家科學(xué)院的年度計(jì)劃或遠(yuǎn)景規(guī)劃。長(zhǎng)達(dá)七百頁(yè)的原理是牛頓在哈雷的堅(jiān)持請(qǐng)求下，用一年半的時(shí)間完成的。由于此書不在計(jì)劃之內(nèi)，哈雷不得不自己出錢出版。 在此期間，牛頓在特立尼蒂學(xué)院任教授。當(dāng)時(shí)他只有三名學(xué)生。他講授算術(shù)、地理、光學(xué)以及其它一些課程。僅在秋季

12、學(xué)期授課，(每年十講)每次講一個(gè)半小時(shí)，有時(shí)，沒(méi)有一個(gè)學(xué)生來(lái)上課(牛頓的課以難懂著稱)，牛頓只好回家。牛頓把更多的時(shí)間和精力用于研究煉金術(shù)和神學(xué)，他的主要發(fā)現(xiàn)都是在他23到24歲時(shí)這兩個(gè)學(xué)年中作出的。在原理之后(當(dāng)時(shí)牛頓44歲)，他脫離了科學(xué)工作。 1696年，牛頓被任命為倫敦造幣廠管事，后來(lái)又升任廠長(zhǎng)，并在由他過(guò)去的學(xué)生 Halifax 勛爵所領(lǐng)導(dǎo)的經(jīng)濟(jì)改革中發(fā)揮了重要作用。Halifax 是英國(guó)銀行的創(chuàng)建者，3位英國(guó)勛爵大法官 (Lord Justice) 之一，當(dāng)威廉三世不在時(shí)，3位大法官負(fù)責(zé)管理國(guó)家。 始于內(nèi)戰(zhàn)，終于1688年的光榮革命，在英國(guó)延續(xù)了幾十年的革命變革，使國(guó)家的經(jīng)濟(jì)陷入困

13、境。過(guò)去幾十年積累的各種弊端，要求經(jīng)濟(jì)改革。在這一過(guò)程中，不得不及時(shí)停止舊的無(wú)聲望貨幣的流通。牛頓在短期內(nèi)未增加一臺(tái)新機(jī)床就把貨幣的鑄造增加8倍。與此同時(shí)，進(jìn)行了搜尋和偵察，僅在1697年一年，就同法院提出一些案件，結(jié)果約有20名造偽幣者被處決。 1703年胡克去世，牛頓成為皇家科學(xué)院院長(zhǎng)，直至1727年逝世。8. 在原理一書所包含的一些最重要的物理原理中，需要指出關(guān)于時(shí)空相對(duì)性的思想(在自然界中既不存在靜止的物體，也不存在均勻的運(yùn)動(dòng)。)；關(guān)于存在慣性坐標(biāo)系的假設(shè)；決定性原理世界上所有粒子的初始位置和速度，決定其未來(lái)和過(guò)去。 過(guò)去表現(xiàn)為混沌的宇宙，在原理之后似乎變成了某種調(diào)整好了的鐘表?；驹?/p>

14、理的這種規(guī)律性和簡(jiǎn)單性(據(jù)此可推導(dǎo)出各種觀測(cè)到的復(fù)雜的運(yùn)動(dòng))，在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是存在上帝的證明。牛頓寫道：太陽(yáng)、行星和彗星如此美妙的聯(lián)合，只有按照智慧超群、威力無(wú)邊的人的旨意才能發(fā)生。他掌管一切，不是作為世界的靈魂，而是作為宇宙的統(tǒng)治者，即占有一切的上帝。 理論物理在牛頓建造的天堂中逗留了二百余年，直到量子力學(xué)和相對(duì)論粉碎了這些幻覺(jué)。在這里，甚至簡(jiǎn)要地羅列原理的主要具體成就，也都是不可能的，故僅限于指出以下幾點(diǎn)：極限理論的建立(與現(xiàn)代理論僅有符號(hào)上的差異)，阿貝爾積分超越性的拓?fù)渥C明(引理XXVIII)，稀薄介質(zhì)中高超音速運(yùn)動(dòng)阻力的計(jì)算 (僅在宇航時(shí)代才得到應(yīng)用)，太陽(yáng)引起的月球攝動(dòng)的計(jì)算。9.

15、牛頓之后天體力學(xué)的發(fā)展，表現(xiàn)為萬(wàn)有引力定律所取得的一系列巨大成就：觀測(cè)上的偏離，被解釋為沒(méi)有精確計(jì)算攝動(dòng)所造成(著名的例外水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)：觀測(cè)值為每百年576，而攝動(dòng)理論僅給出533。不足的43只能由廣義相對(duì)論予以說(shuō)明。新物理學(xué)常常誕生于對(duì)最后幾位數(shù)的修正！)引力論的第一個(gè)巨大成就是預(yù)言哈雷彗星的回歸。哈雷并未發(fā)現(xiàn)公正地以他的名字命名的彗星。他覺(jué)察出1456、1531、1607和1682年彗星軌道的相似性，并且大膽預(yù)言彗星將在76年后，即在1758年回歸。但是，由于木星和土星的攝動(dòng)，彗星的回來(lái)遲了，實(shí)際上是在1759年4月經(jīng)過(guò)近日點(diǎn)的(根據(jù) Klero 的計(jì)算，對(duì)75年的周期，它將遲到618

16、天)，這與 Klero 的預(yù)言幾乎一致。 引起對(duì)引力定律的普遍性和精確性產(chǎn)生懷疑的另一現(xiàn)象是緩慢的但卻是毫無(wú)疑義的木星加速和土星的減速(開(kāi)普勒1625；哈雷1695)。如果這一過(guò)程繼續(xù)千萬(wàn)年，它將使太陽(yáng)系完全改觀；木星將接近太陽(yáng)，土星將遠(yuǎn)離太陽(yáng)。 全部行星質(zhì)量總和僅約為太陽(yáng)質(zhì)量的千分之一，因此，行星運(yùn)動(dòng)中相互吸引所造成的攝動(dòng)可達(dá)其所經(jīng)過(guò)路程的千分之幾。如果攝動(dòng)積累幾千年，行星可能損落在太陽(yáng)之上，并相互碰撞，地球也可能因遠(yuǎn)離太陽(yáng)而凍結(jié)。 為什么所有這一切均未發(fā)生？問(wèn)題在于，行星在不同時(shí)間所經(jīng)歷的攝動(dòng)，不總是沿同一方向，而且具有振蕩的性質(zhì)。 數(shù)學(xué)上，這種攝動(dòng)表現(xiàn)為各分量之和，而分量之形式為：cos

17、t和sint 周期的，并不危險(xiǎn)的攝動(dòng)。積累的攝動(dòng)，其分量隨時(shí)間線性增長(zhǎng)，或者表現(xiàn)為振幅隨時(shí)間增長(zhǎng)的振蕩：tcos(+) 。和時(shí)間成正比的危險(xiǎn)的分量 at 稱為長(zhǎng)期的，因?yàn)椋词瓜禂?shù) a 很小(例如千分之一量級(jí))，經(jīng)過(guò)若干世紀(jì)，攝動(dòng)也將變得很大。這就產(chǎn)生了長(zhǎng)期攝動(dòng)問(wèn)題：由于宇宙時(shí)間尺度十分巨大(幾千億年)，甚至軌道尺度的異常小的長(zhǎng)期攝動(dòng)(如果確實(shí)存在的話)，也將根本改變?nèi)刻?yáng)系的歷史，其中也包括地球的歷史。10. 問(wèn)題在于，長(zhǎng)期攝動(dòng)是否真正存在，或者只不過(guò)是一種假象，是不成功的數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果。(例如，考察按x=cost振蕩的擺，并假設(shè)頻率 產(chǎn)生一小擾動(dòng) a，成為 +a。這時(shí)，將攝動(dòng)展開(kāi)為 a

18、的級(jí)數(shù)，將有cos(+a)t=cost-atsint 。在這一展開(kāi)中包含看危險(xiǎn)的，帶 at 的混合項(xiàng)，與此同時(shí)，實(shí)際的擺動(dòng)幅度是有限的，完全不隨時(shí)間增長(zhǎng)。)對(duì)行星攝動(dòng)的分析，最后使拉格朗日 (1776) 和拉普拉斯 (1784) 得到關(guān)于太陽(yáng)系穩(wěn)定性的拉普拉斯定理。根據(jù)這一定理，即近似在同一平面上，沿互不相交的近似為圓的橢圓軌道向同一方向運(yùn)動(dòng)的諸行星相互之間的攝動(dòng)，僅導(dǎo)致偏心率和在零點(diǎn)附近傾斜的接近周期性的振蕩。與此同時(shí)，行星到太陽(yáng)的距離則在初始值附近振蕩。換句話說(shuō)，開(kāi)普勒橢圓的長(zhǎng)軸沒(méi)有長(zhǎng)期攝動(dòng)。 拉普拉斯定理并未被拉普拉斯嚴(yán)格證朗，因?yàn)槔绽箤z動(dòng)表示為級(jí)數(shù)，并只證明在展開(kāi)式前幾項(xiàng)中不包含

19、長(zhǎng)期分量。 后來(lái)證明，級(jí)數(shù)的所有項(xiàng)中均不包含長(zhǎng)期項(xiàng)或混合項(xiàng)。然而，據(jù)此(級(jí)數(shù)中不包含長(zhǎng)期項(xiàng))尚不足以得出結(jié)論，確認(rèn)開(kāi)普勒橢圓長(zhǎng)軸永遠(yuǎn)保持在其初始值附近，因?yàn)榧?jí)數(shù)本身是發(fā)散的(其中一些項(xiàng)很大)。級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)在有限時(shí)間范圍內(nèi)給出很好的近似。但不能據(jù)此判斷軌道在宇宙時(shí)間尺度內(nèi)的行為。至于木星和土星的相互攝動(dòng)，正如拉普拉斯在1784年所指出，它們僅導(dǎo)致軌道長(zhǎng)周期的。而不是長(zhǎng)期的變化，其周期約為900年。在450年內(nèi)。攝動(dòng)積累造成的木星和土星的移動(dòng)不足一度。 軌道幾乎位于同一平面。這是極為重要的。如果月球軌道由于某種原因翻轉(zhuǎn)90度，則月球的偏心率在太陽(yáng)攝動(dòng)的影響下將如此迅速增長(zhǎng)，以致 4 年內(nèi)月球?qū)⑶度?/p>

20、地球(M.A. 利多夫，1963)。 長(zhǎng)時(shí)期以來(lái)，月球的運(yùn)動(dòng)一直是最為復(fù)雜的問(wèn)題。因?yàn)樵虑蚓嗟厍蚝芙Ｎ覀兛梢约o(jì)錄其微小的位移，于是在級(jí)數(shù)展開(kāi)中就不得不考慮高階小量項(xiàng)。早在1693 年，哈雷就已指出，把阿拉伯和古代觀測(cè)月蝕的數(shù)據(jù)與當(dāng)代數(shù)據(jù)加以比較就可發(fā)現(xiàn)，月球繞日運(yùn)行周期以及運(yùn)行軌道有所減少(長(zhǎng)期加速度為每百年10)。 1770年，巴黎科學(xué)院設(shè)獎(jiǎng)?wù)鞔穑阂碚撃芊窠忉屔鲜霈F(xiàn)象？軌道變短是否將導(dǎo)致月球墜地？歐拉在應(yīng)征論文中寫道：月球長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)的不同不可能是引力所引起，這似乎已經(jīng)以不可置疑的明顯性被牢固確立。他以介質(zhì)的阻力解釋月球的加速，并認(rèn)為加速將導(dǎo)致災(zāi)難。 但是，到了1787年，拉普拉斯又把月球

21、加速與地球軌道偏心率在行星攝動(dòng)下的長(zhǎng)周期振蕩聯(lián)系起來(lái)。這些振蕩的周期為萬(wàn)年量級(jí)，因此，此現(xiàn)象像是長(zhǎng)期性的。地球軌道偏心率的振蕩是引起出現(xiàn)冰川的主要因素之一。由于這種振蕩的作用，列寧格勒的有效經(jīng)度，在幾萬(wàn)年內(nèi)將從 Taimer 的經(jīng)度變到基輔的經(jīng)度 (M. Milankovich, 1939)。 至于談到月球，拉普拉斯的解釋只對(duì)了一半：除地球軌道偏心率的變化外，還應(yīng)考慮由潮汐摩擦引起的月球的長(zhǎng)期加速(根據(jù)某些估計(jì)，這種效應(yīng)的幾乎一半要?dú)w因于白令海)月球的這一長(zhǎng)期加速是表面上的。這可以用地球旋轉(zhuǎn)變慢加以解釋。由于潮汐摩擦，地球自轉(zhuǎn)周期(晝夜長(zhǎng))將逐漸增加，經(jīng)過(guò)約10億年時(shí)間地球晝夜長(zhǎng)將增加一倍(由

22、于大氣層和大洋中物質(zhì)重新分布而引起的晝夜時(shí)間長(zhǎng)的季節(jié)性振動(dòng)還要大一百倍)。而月球則由于潮汐摩擦而逐漸遠(yuǎn)離地球10億年遠(yuǎn)離兩倍。11. 兩體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題已由牛頓解決，與此同時(shí)，即使是3個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)于一般初始條件下的解析解，至今不但沒(méi)有求得，甚至在一定意義上可以說(shuō)這種解不可能得到(三體問(wèn)題在原理中已被提出)。 盡管如此，歐拉還是指出了某些專門的解 (1767)。在這些特解中，三體相互位置不變或者位于同一直在線，或者位于正三角形的頂點(diǎn)上(拉格朗日，1772)。這樣一些解，在發(fā)現(xiàn)木星的軌道上有兩組小行星希臘人和脫羅央(特洛伊人)與太陽(yáng)和土星形成兩個(gè)等邊三角形(希臘人落后于木星，而脫羅央則超前木星)

23、之前(1906年)，似乎僅僅是數(shù)學(xué)奇聞。三體位于三角形頂點(diǎn)的解是穩(wěn)定的，至少在線性近似下是這樣。與此同時(shí)，三體位于同一直線的解明顯不穩(wěn)定，因此，直至最近一些年曾一直被認(rèn)為是沒(méi)有實(shí)際意義的。 但是，在宇航時(shí)代，情況改變了。位于地球和太陽(yáng)之間由歐拉解所確定的點(diǎn)上(此點(diǎn)稱為秤動(dòng)點(diǎn))的空間站，滿足觀測(cè)太陽(yáng)的最佳條件。這個(gè)狀態(tài)不穩(wěn)定，猶如頭腳倒置的擺。空間站相對(duì)秤動(dòng)點(diǎn)極小的偶然偏離，將隨時(shí)間增長(zhǎng)。但走，由于秤動(dòng)點(diǎn)與精確解相對(duì)應(yīng)，攝動(dòng)的增長(zhǎng)速度很小。為不斷校正軌道偏離，使空間站永遠(yuǎn)停留在秤動(dòng)點(diǎn)附近，所消耗的能量也不是很大(允許偏離度愈小，能量消耗也愈小)。當(dāng)正確選擇校正方法時(shí)，其它物體攝動(dòng)的影響不改變最后

24、結(jié)果(P.E. Eljasberg，1986)。于是，l8世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的精確解，今天在宇航中得到應(yīng)用。12. 在牛頓時(shí)代太陽(yáng)系終止于土星。天王星于1781年3月13已被 Herschel，偶然發(fā)現(xiàn)(按照當(dāng)時(shí)傳統(tǒng)，在培養(yǎng)專門人才時(shí)普遍限制其職責(zé)范圍和容許積極活動(dòng)的領(lǐng)域，Herschel 不受傳統(tǒng)約束，選擇了一條未經(jīng)開(kāi)辟的新路)。 1846年9月，在 Adams 和 Leverrier 根據(jù)天王星的攝動(dòng)所預(yù)言的位置上發(fā)現(xiàn)了海王星。可以說(shuō)這顆行星是在筆尖上發(fā)現(xiàn)的。這一發(fā)現(xiàn)成為萬(wàn)有引力定律的新勝利，不過(guò)，預(yù)言的軌道與實(shí)際軌道相差甚遠(yuǎn)(海王星與太陽(yáng)的平均距離為30個(gè)天文單位，而不是預(yù)言的38天文單位；偏心率

25、也比預(yù)言的小若干倍)。 有些研究者認(rèn)為，海王星在所預(yù)言的位置被發(fā)現(xiàn)純屬僥幸。原來(lái)，Adam 和 Leverrier的計(jì)算是以當(dāng)時(shí)觀測(cè)的天王星攝動(dòng)數(shù)據(jù)為依據(jù)的，同時(shí)還假設(shè)海王星軌道半徑遵從Bode 定律(由Tichius 發(fā)現(xiàn)的)。但這個(gè)假設(shè)是不正確的。 Tichius 的經(jīng)驗(yàn)定律(Bode 于1772年 發(fā)現(xiàn)了 Tichius 發(fā)表的論文)給出下列軌道半徑：4(水星)，4+3(金星)，4 + 32(地球)，4 + 34 (火星)，4 + 38(？)，4 + 316(木星)，4 + 332(土星)，4 + 364(天王星)。半徑28是一個(gè)空白，因?yàn)樵诨鹦呛湍拘侵g不知有任何行星存在。于是，開(kāi)始尋

26、找這個(gè)缺少的行星。 1801年1用1日發(fā)現(xiàn)小行星谷神星(直徑約一千分里)之后，不久又相繼發(fā)現(xiàn)智神星(直徑600公里)，灶神星(直徑540公里)，以及婚神星(直徑 250公里)。所有這些小行星的軌道均位于火星和木星的軌道之間?，F(xiàn)在，天文學(xué)家定期觀測(cè)2500個(gè)類似天體的運(yùn)動(dòng)。它們統(tǒng)稱之為小行星。這些小行星的直徑從幾百公里到幾百米。看來(lái)，直徑為 D 或大于 D 的小行星數(shù)目反比于 D2。據(jù)認(rèn)為，直徑大于一公里的小行星數(shù)目達(dá)一百萬(wàn)之多。13. 有一些小行星的軌道接近于地球軌道，另外一些小行星在行徑火星或土星附近時(shí)，可能大大偏離原來(lái)軌道，也可能靠攏地球。 根據(jù)現(xiàn)代資料，地球與直徑半公里以上的小行星相遇平

27、均約為十萬(wàn)年一次。小行星與地球相撞時(shí)所形成的坑窩，其范圍可達(dá)幾十公里(Kaluk 城即位于坑窩上)，有時(shí)甚至上百公里(西伯利亞北部 Popigay 河口附近)。特別大的小行星能穿透地殼(F.L. Whipple 猜測(cè)冰島就是這樣形成的)。 在最近4億年內(nèi)，與直徑為20公里的小行星愛(ài)神星相撞(碰撞速度為14公里/秒)的機(jī)率，按現(xiàn)代估計(jì)約為五分之一。相撞后形成的坑窩的直徑約為250公里。與巨大的小行星相撞的后果類似核戰(zhàn)爭(zhēng)：大氣層實(shí)際上不能減低小行星的速度，于是，小行星的全部動(dòng)能，都在與地球相撞的頃刻之間迸發(fā)出來(lái)。 特別強(qiáng)的碰撞可能有生態(tài)學(xué)的意義，使個(gè)別大陸，甚至整個(gè)地球上的某些物種消亡。由此看來(lái)，

28、與小行星相撞的作用可與人類自身活動(dòng)所造成的后果相當(dāng)，它并不威脅地球的完整性。14. 大多數(shù)小行星繞日公轉(zhuǎn)周期均在火星和木星公轉(zhuǎn)周期之間，但分布極不均勻。1857 Kirkwood 發(fā)現(xiàn)存在窗口周期軸上無(wú)小行星的空白區(qū)。這些窗口與共振(可公約周期)相對(duì)應(yīng)：有一個(gè)窗口位于木星的半周期附近，另外一個(gè)位于木星周期2/3處。此外，還有分別與2/5， 3/5等相對(duì)應(yīng)的窗口。而且，共振等級(jí)(指分?jǐn)?shù)的分母)愈高，窗口愈窄。 與窗口類似的間隙，也存在于土星環(huán)中。位 于 A 環(huán)和B環(huán)之間的一個(gè)最大間隙，早在1675年即已被 Cassini 發(fā)現(xiàn)。在旅行者-2所拍攝的B光環(huán)的照片上，光環(huán)的精細(xì)結(jié)構(gòu)清晰可見(jiàn)。寬度為3

29、萬(wàn)公里的 B 環(huán)，由相互之間有很寬間隔的一系列環(huán)所組成，其中每一個(gè)環(huán)又分為若干間隙較窄的小環(huán)，等等看來(lái)，一直分到環(huán)的寬度與土星環(huán)厚度(公里量級(jí))相當(dāng)為止。土星光環(huán)中的間隙，與土星衛(wèi)星共振相對(duì)應(yīng)。幾年前，在一次從飛機(jī)上進(jìn)行的天王星遮掩恒星的觀測(cè)中，偶然發(fā)現(xiàn)了天王星的光環(huán)。根據(jù)對(duì)環(huán)的共振結(jié)構(gòu)的分析，蘇聯(lián)天文學(xué)家 N. N. Kharkavo 和 A. M. Fridman 預(yù)言天王星也有一系列衛(wèi)星。一年半之后，1986年1月24日，當(dāng)旅行者-2掠過(guò)天王星附近時(shí)，所有這些衛(wèi)星都被發(fā)現(xiàn)了，而且正好在所預(yù)言的距離之處。這是牛頓萬(wàn)有引力定律的又一次勝利。15. 在歐拉、拉格朗日和拉普拉斯手中，牛頓的數(shù)學(xué)方法獲得了巨大的技巧上的發(fā)展，到 Leverriex 時(shí)代，已經(jīng)達(dá)到理