平行四邊形專題

1、創(chuàng)作編號丄GB8878185555334563BT9125XW創(chuàng)作肴：鳳嗚大王*第18章平行四邊形專項訓練專訓1：平行四邊形的性質(zhì)1、(2014宇夏)在平行四邊形宓9中，將月應'沿對折，使點方落在歹 處，AB'和G?相交于點0.求證：OA=OC.2、(2015 南通中考)如圖，在口ABCD中，點E,尸分別在肋，DC上,且EDLDB , FBJBD. (1)求證：AEgCFB. (2)若 Z力二30°,ZDEBT'S3 ,求證：DA=DF.專訓1.判定平行四邊形的五種常用方法名師點金：判定平行四邊形的方法通常有五種,即定義和四種判定定 理，選擇判定方法時，一定要

2、結合題LI的條件，選擇恰當?shù)姆椒?，從而?化解題過程.1.如圖，在口ABCD中，E, F分別為AD, BC上的點，且BF=DE,連接AF,CE, BE, DF, AF與BE相交于H點，DF與CE相交于N點.求證：四邊 形FMEN為平行四邊形.2如圖，已知ABD, ABCE, ZkACF都是等邊三角形.求證：四邊形ADEF 是平行四邊形.AE=CF, DFBE求證：四邊形ABCD為平行四邊形.于點F,那么四邊形BFDE是平行四邊形嗎？BC分4如圖，在口ABCD中，BE平分ZABC,交AD于點E, DF平分ZADC,交BC5.如圖，-ABCD中，點0是對角線AC的中點，EF過點0,與AD,別相交于

3、點E，F(xiàn), GH過點0,與AB, CD分別相交于點G, H,連接EG, FG, FH, EH. （1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）如圖，若EF AB, GHBC,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）6、（2015遂宇）如圖，平行四邊形ABCD中，點E, F在對角線BD上，且 BE二DF,求證：（1） AE=CF； （2）四邊形AECF是平行四邊形.7.如圖，以“ABC的三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形，即 ABD、乙BCE、MCF,請回答下列問題，并說明理山（1）四邊形ADEF是什么四邊形；（2）當“ABC

4、滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形；（3）當“ABC滿足什么條件時，以A, D, E, F為頂點的四邊形不存在8、如圖，在cABCD中，E, F, G, H分別是四條邊上的點，且滿足BE= DF, CG = AH,連接EF, GH.求證：EF與GH互相平分專訓2.構造中位線的方法名師點金：三角形的中位線具有兩方面的性質(zhì)：一是位置上的平行關 系，二是數(shù)量上的倍分關系.因此，當題H中給出三角形兩邊的中點時， 可以直接連出中位線；當題口中給出一邊的中點時，往往需要找另一邊的 中點，作出三角形的中位線.連接兩點構造三角形的中位線1、如圖，四邊形月砲中，E、F、G、分別是月萬、CD、AC.助的中點，那

5、 么四邊形期是平行四邊形，為什么？2、如圖，四邊形初中，E、F、M、N分別為仙、CD、BD、的中點, 求證：四邊形醐酣為平行四邊形.3、已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H,順次連 接EF、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH （即四邊形ABCD的中點四邊形）.（1）四邊形EFGH的形狀是，證明你的結論；（2）當四邊形ABCD的對角線滿足條件時，四邊形EFGH是矩形；（3）你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？ 4.如圖，點B為AC上一點，分別以AB, BC為邊在AC同側作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE,點P, M, N分別為AC, AD, CE的中點.（1）求

6、證：PM=PN； (2)求ZMPN 的度數(shù).為線段BC, AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E, F分別為DH, MN 的中點，則EF長度的最大值為利用角平分線+垂直構造中位線6.如圖，在ABC中，點M為BC的中點，AD為厶艇。的外角平分線，且AD丄BD,若 AB = 12, AC=18,求 DH 的長.DMB7如圖，在厶他。中，已知AB = 6, AC=10, AD平分ZBAC, BD丄AD于點D,點E為BC的中點，求DE的長.A倍長法構造三角形的中位線& 如圖，在ABC 中，ZABC = 90° ,BA=BC, ABEF為等腰直角三角形,ZBEF = 90&#

7、176; , H 為 AF 的中點，求證：ME=*CFB已知一邊中點，取另一邊中點構造三角形的中位線9.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD二BC, H、'分別是AB、CD的中點，AD、 BC的延長線交MN于E、F求證：ZDEN=ZF.創(chuàng)作編號上GB8878185555334563BT9125XW10.如圖，在四邊形ABCD中，M、'分別是AD、BC的中點，若AB=10, CD =8,求MN長度的取值范圍.11.點,如圖，在AABC 中，ZC = 90° , CA=CB, E,CE = CF, £ N分別為AF, BE的中點，求證：AE=£m已知兩

8、邊中點，取第三邊中點構造三角形的中位線12.如圖，在ZiABC中，AB=AC, AD丄BC于點D,點P是AD的中點，延長BP交AC于點N,求證：AN=$C.答案專訓11.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，DE = BF, DE狹BF.四邊形BFDE為平行四邊形.BEDF同理，AF/7CE. A四邊形FMEN為平行四 邊形.2. 證明：VAABD, ABCE, AACF都是等邊三角形，BA=BD, BC = BE, ZDBA= ZEBC = 60° . A ZEBC- ZEBA= ZDBA- ZEBA,ZABC = ZDBE. ABC今ZDBE. AF=AC=DE.同理，可證 ABC旦

9、 FEC,AD=AB = EF.四邊形ADEF是平行四邊形.3. 證明：.ABCD, ZBAE=ZDCF. .BEDF, A ZBEF= ZDFE. ZAEB= ZCFD.在ZAEB 和ZXCFD 中，ZBAE=ZDCF,AE=CF,A AAEBACFD, A AB = CD. 乂 TAB/ZCD,化四邊ZAEB=ZCFD,ABCD是平行四形.4.解：四邊形BFDE是平行四邊形.理由：在口ABCD中，ZABC=Z CD A, ZA=ZC.VBE 平分ZABC, DF 平分ZADC, A ZABE= ZCBE=|zABC, ZCDF = ZADF=|zADC. AZABE=ZCBE=ZCDF=Z

10、ADF. V ZDFB= ZC+ZCDF, ZBED=ZABE+ZA, A ZDFB= ZBED. A 四邊形 BFDE 是平行四邊形.5.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC, OA=OC, AZ EAO=ZFCO.rZEAO=ZFCO,在AOAE 與AOCF 中，*OA=OC,A AOAEAOCF, AOE = OF.IZAOE=ZCOF,同理OG=OH,四邊形EGFH是平行四邊形.(2)解：與四邊形AGHD面積相等的平行四邊形有-GBCH, 口ABFE, 口 EFCD, 口EGFH.專訓21. (1)證明：如圖，連接CD, AE.由三角形中位線定理可得PM礙CD, PN |aE.

11、V AABD 和ZXBCE 是等邊三角形，AAB=DB, BE=BC, ZABD= ZCBE = 60° , AZABE=ZDBC. AAABEADBC, AAE=DC. APM=PN.B(2)解：如圖，設PH交AE于F, P?(交CD于G, AE交CD于H 由(1)知厶ABEADBC, ZBAE=ZBDC. ZAHD=ZABD = 60° , AZFHG=120° .易證四邊形PFHG為平行四邊形，ZMPN=120° .2解：如圖，延長BD, CA交于凡在ZkAND和AABD中，ZNAD=ZBAD,AD=AD, AANDAABD (ASA).ZADN=

12、ZADB=90° ,= 15.ADN=DB, AN=ABDM=1nC = 1(AN+AC) =1(AB+AC)3.解：如圖,延長BD交AC于點F, TAD平分ZBAC, ZBAD= ZCAD. VBD丄AD, ZADB= ZADF,乂.AD=AD, AAADBAADF(ASA). .AF=AB=6, BD=FD.VAC=10, Z.CF=AC-AF= 10-6=4.E為BC的中點，DE是ZkBCF的中位線.DE=*CF=*X4=2.4.證明：如圖，延長FE至N,使EN=EF,連接AN易得ME=AN.VEF=EN, ZBEF = 90° , 'BE 垂直平分 FN A

13、BF=BNAZBNF=ZBFN.'BEF為等腰直角三角形，ZBEF=90° ,AZBFN=45° ? ZBNF=45° ,AZFBN = 90° ,即 ZFBA+ZABN = 90° 乂 VZFBA+ZCBF = 90° ,BF=BN,ZCBF=ZABN,BC=BA,AABCFABAN«/=ANME=2aN=5.解：如圖，取BD的中點匕連接PM, PNTH是AD的中點，P是BD的中點，PM是AABD的中位線，APM=AB = 5.同理可得 PN=h)= 4在ZiPMN 中，VPM-PN<MN<PM+PN, A1<MN<9.6.證明：如圖，取AB的中點H,連接MH, NH,則MH=*BF, NH=|aE.CE=CF, CA=CB, AE=BF. MH=NH. I點M, H, N分別為AF,AB, BE的中點,MHBF, NHAE. ZAHM =ZABC, ZBHN= ZBAC.A ZMHN=180° -(ZAHM+ZBHN)=180° 一 (ZABC+ZBAC) =90° B7證明：如圖，取NC的中點H,連接DH,過點H作HE/AD,交B