正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì) 潁上一中 施培松 一、教材分析本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5（北師大教A版）第一章，正弦定理第一課時(shí)，它既是初中解直角三角形在高中知識下的直接延拓，也是對高中坐標(biāo)和圓等相關(guān)知識的綜合運(yùn)用，是生產(chǎn)和生活中解決實(shí)際問題的重要工具。正弦定理給出了任意三角形邊角的一個(gè)等量關(guān)系，它與后面即將要講授的另一個(gè)邊角關(guān)系余弦定理都是解三角形的重要工具。本節(jié)課的主要內(nèi)容是引入證明正弦定理及正弦定理的基本應(yīng)用，在實(shí)際教學(xué)中，正弦定理這部分內(nèi)容被分成了三個(gè)層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特

2、殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡單的應(yīng)用。學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察實(shí)驗(yàn)猜想證明應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。二、學(xué)情分析對我們高二的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析

3、問題、解決問題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。學(xué)生通過對定理證明的探究和討論，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)理論發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的過程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。三、設(shè)計(jì)思想：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢？這就要求在教學(xué)過程中以學(xué)生為主體，充分的發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，也就是使學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，自主進(jìn)行思考和探究活動(dòng)。本節(jié)課采用的是探究式課堂教學(xué)模式，即在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為主，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)

4、會(huì)，讓學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。四、教學(xué)目標(biāo)：1在創(chuàng)設(shè)日常生活的問題情境中，讓學(xué)生從已有的幾何知識和處理幾何圖形的常用方法出發(fā)，由簡單到復(fù)雜，步步推進(jìn)，探索和證明正弦定理。2通過對實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。3認(rèn)識數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識的不斷探索和發(fā)展的過程，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。4培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、

5、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索與證明；正弦定理的基本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索與證明。六、教學(xué)過程：（一）創(chuàng)立情景，導(dǎo)入新課師生活動(dòng)：教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計(jì)算出A、B的距離？學(xué)生：思考提出測量角A，C 教師：若已知測得， ，要計(jì)算A、B兩地距離，你 （圖1）有辦法解決嗎？學(xué)生：思考交流，畫一個(gè)三角形，使得為6cm， ，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質(zhì)可

6、知AB約為490m。老師：對，很好，在初中，我們學(xué)過相似三角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎？師生：共同回憶解直角三角形，直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個(gè)角。直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個(gè)角。教師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計(jì)算AB呢？學(xué)生：思考，交流，得出過作于如圖2，把分為兩個(gè)直角三角形，解題過程，學(xué)生闡述，教師板書。解：過作于（圖2）在中，在中，教師：表示對學(xué)生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，能否用、表示呢？教師：引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過程。學(xué)生：發(fā)現(xiàn)，教師：引導(dǎo)，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生：發(fā)現(xiàn)即然有，那

7、么也有，。教師：引導(dǎo)，我們習(xí)慣寫成對稱形式，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？設(shè)計(jì)意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個(gè)猜測性的結(jié)論猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想教師：給學(xué)生指明一個(gè)方向，我們先通過特殊例子檢驗(yàn)是否成立，舉出特例。（1）在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，對應(yīng)角的正弦值分別為，引導(dǎo)學(xué)生考察，的關(guān)系。（

8、學(xué)生回答它們相等）（2）、在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對應(yīng)角的正弦值分別為，1；（學(xué)生回答它們相等） （3）、在ABC中，A，B，C分別為，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：2，對應(yīng)角的正弦值分別為，1。（學(xué)生回答它們相等）（圖3） （圖3）教師：對于呢？BaACcb(圖4)學(xué)生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則有，又,則從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，讓學(xué)生閱讀實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，附實(shí)驗(yàn)報(bào)告

9、單。）學(xué)生：分組互動(dòng)，每組畫一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、值仍然保持相等。我們猜想：=設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動(dòng)：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）學(xué)生：思考得出在中，成立，如前面檢驗(yàn)。在銳角三角形中，如圖5設(shè)，作：，垂足為在中

10、，（圖5）在中，同理，在中， 在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，作交的延長線于（圖6）在中，在中，同銳角三角形證明可知 教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書證明過程。(圖7)ABCDEFbac（圖7） 在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學(xué)生：得到三角形面積公式教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個(gè)比值，那么它們也相等，

11、這個(gè)到底有沒有什么特殊幾何意義呢？（圖8）學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中，中，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。證明：連續(xù)并延長交圓于， 在中，即同理可證：，教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑。（四）利用定理，解決引例師生活動(dòng)：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學(xué)生：馬上得出在中，（五）了解解三角形概念設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識的完整性教師：一般地，把三角形的三個(gè)角、和它們的對邊、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重

12、新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。（六）運(yùn)用定理，解決例題師生活動(dòng)：教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角C，再由正弦定理求其他兩邊。例2：在中，已知，解三角形。例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書第5頁的練習(xí)）用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。設(shè)計(jì)意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。（七）嘗試小結(jié)：教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1