量子力學(xué)一維諧振子（課堂PPT）

1、.13.3.3 3 一維諧振子一維諧振子 .2 在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 的粒子，受彈性力的粒子，受彈性力 作作用，由牛頓第二定律可以寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程為：用，由牛頓第二定律可以寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程為：Fk x2220d xk xxxkdt其解為其解為 。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子稱為（線性）諧振子。動(dòng)的粒子稱為（線性）諧振子。cosxAt經(jīng)典允許的振動(dòng)范圍經(jīng)典允許的振動(dòng)范圍 1 . 經(jīng) 典 諧 振 子經(jīng) 典 諧 振 子222122xpHx 諧振子哈密頓量：諧振子哈密頓量：引言引言 諧振子能量：諧振子能量：2212EA.3 量子力學(xué)中的線性諧振子

2、是指在勢(shì)場(chǎng)量子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為 的粒子的粒子 2221)(xxV2.2.量子諧振子量子諧振子 例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì) 是二者相對(duì)距離是二者相對(duì)距離 的函的函數(shù)，如圖所示。數(shù)，如圖所示。Vx 自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜

3、運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。研究，無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。x221212122pHkxm mmm.422211( )( )()()1!2!x ax aVVV xV ax ax axx201()2Vk xa在在 處，有一極小值處，有一極小值 。在在 附近，附近， 勢(shì)可以展開(kāi)勢(shì)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：成泰勒級(jí)數(shù)：x a0Vx aaxV(x)0V022x aVkx記記若取若取 ，即平衡位置處于勢(shì)即平衡位置處于勢(shì) 點(diǎn)；并記點(diǎn)；并記 ，x=x-ax=x-a則則00V 00V 2k 2212V xx

4、0( )V aV0 x aVx.5 一維諧振子的本征值問(wèn)題是處理量子力學(xué)問(wèn)題的最基本的范例。 凡是在勢(shì)能為凡是在勢(shì)能為2kx21)x(U的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的微觀體系都稱之為的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的微觀體系都稱之為線性諧振子。線性諧振子。.6一、勢(shì)函數(shù) 選線性諧振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn) 則一維線性諧振子的勢(shì)能為：mkm 是粒子的質(zhì)量k 是諧振子的勁度系數(shù)是諧振子的角頻率2222121)(xmkxxV.7二、薛定諤方程及解2222( )0EV xxdd 22222210- 12Exx或dd，時(shí)，因?yàn)?(|xVx求解，引進(jìn)無(wú)量綱參數(shù)為化簡(jiǎn)上述方程，方便限深勢(shì)阱，理想的諧振子是一個(gè)無(wú)為束縛態(tài)。0)(

5、x/ ,/2E, x.8上述方程可化為 222d( )() ( )0- 2d 這是個(gè)變系數(shù)常微分方程。這是個(gè)變系數(shù)常微分方程。可略去）。（此時(shí)行為，求漸近解先討論) 1 (0)()(dd222對(duì)方程其解顯然可以寫(xiě)為221)(e因?yàn)?()()( 2)(2),()( .9（2）求實(shí)際解2/2dH( )dHe 有根據(jù)束縛態(tài)邊界條件，2222/222ddHd( )2( )dddHHHe 22/2/2ddH( )ddeHe 2/2( )( )eH 利用有221)(e.10所滿足的方程得代入方程)()4(u要求中斷為一多項(xiàng)式。為得到有界解，冪級(jí)數(shù) 22ddH2(1)( )0- 3ddHH方程。這就是所謂的

6、 Hermite不能滿足有界條件。時(shí)，當(dāng),)(|2e解為無(wú)窮級(jí)數(shù)。計(jì)算表明，一般情況下數(shù)展開(kāi)。鄰域用冪級(jí)為方程的常點(diǎn)，可在00.112211()()22d( )( 1)dnnnnnEEnnhHee n = 0, 1, 2, 0)(2)(2)()(2d)(d111nnnnnnHHHnHHnn(-1)階厄米多項(xiàng)式，宇稱為第二式稱作滿足下列遞推關(guān)系此時(shí)時(shí)可以得出一多項(xiàng)式解可以證明，當(dāng)12 n( )nH.12:)(次多項(xiàng)式的是nHn)()(2221xHAexnxn24)(2)(1)(2210HHH歸一化波函數(shù)為2/1!2nAn其中是一個(gè)實(shí)函數(shù)。.13正交性關(guān)系的時(shí)，要用到厄米多項(xiàng)式在求歸一化系數(shù)A22

7、22)(dd) 1(!2)(n2/2/1xnxnnnexenxmnnmnnHHe!2d)()(2所以歸一化波函數(shù)為.14，231E（偶宇稱）2221222/12) 12(2)(xexx（偶宇稱）22212/10)(xex221/21212( )xxxe（奇宇稱）第二激發(fā)態(tài), 2n第一激發(fā)態(tài), 1n，210E基態(tài)，0n最常用的幾個(gè)態(tài)：，252E.15三三、結(jié)結(jié)果果討討論論 1 1. .能能級(jí)級(jí))21n(En ,.2 , 1 , 0n ( (1 1) )能能量量是是量量子子化化的的，且且相相鄰鄰能能級(jí)級(jí)的的間間距距n1nnEEE即即能能級(jí)級(jí)是是等等間間距距的的。( (2 2) )存存在在零零點(diǎn)點(diǎn)能

8、能21E0（基基態(tài)態(tài)能能量量） 。 在在0T 時(shí)時(shí)也也有有振振動(dòng)動(dòng)，這這是是舊舊量量子子論論中中沒(méi)沒(méi)有有的的，已已被被實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)所所證證實(shí)實(shí)，這這純純屬屬量量子子效效應(yīng)應(yīng)，是是由由于于微微觀觀粒粒子子具具有有波波粒粒二二象象性性所所導(dǎo)導(dǎo)致致的的。.16線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置概率密度00nx11nx2n2x200nx222nx211nx2 2. .波波函函數(shù)數(shù))x(n和和幾幾率率密密度度2n ：.17( (1 1) )n （,.2 , 1 , 0n ）有有n個(gè)個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)。 ( (2 2) )宇稱為宇稱為n) 1(： 因因)x(Hn為為x的的 n n 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，當(dāng)當(dāng)n n 為為奇奇數(shù)

9、數(shù)時(shí)時(shí)，只只存存在在奇奇冪冪次次；當(dāng)當(dāng) n n 為為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，只只存存在在偶偶冪冪次次。所以：所以：)x() 1()x(nnn，即宇稱為，即宇稱為n) 1(。( (3 3) )2n有有1n 個(gè)個(gè)極極大大值值，有有 n 個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)（與與經(jīng)經(jīng)典典分分布布不不同同） ，分分布布關(guān)關(guān)于于0y 對(duì)對(duì)稱稱。 .1821111nx線性諧振子 n=11 時(shí)的概率密度分布虛線代表經(jīng)典結(jié)果： 經(jīng)典諧振子在原點(diǎn)速度最大，停留時(shí)間短粒子出現(xiàn)的概率??； 在兩端速度為零，出現(xiàn)的概率最大。 .19符合玻爾對(duì)應(yīng)原理 11(x) 2量子量子經(jīng)典經(jīng)典量子概率分布過(guò)渡到經(jīng)典概率分布:時(shí)當(dāng)n.2022200( )( )xW xxe量子：在其它范圍也能找到粒子。經(jīng)典：屬于經(jīng)典禁區(qū)。中運(yùn)動(dòng)，而的區(qū)域基態(tài)諧振子只允許在11|) 1|(|xx率最小。處粒子的速率最大，概在0 x以基態(tài)為例，在x = 0 處概率最大3、經(jīng)典禁區(qū).21.|1屬于經(jīng)典禁