優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型及基本要素

1、第1章 優(yōu)化設(shè)計(jì) Chapter 1 Optimization Design1-1 優(yōu)化設(shè)計(jì)1-1-1 最優(yōu)化 (optimize, optimization)所謂最優(yōu)化，通俗地說就是在一定條件下，在所有可能的計(jì)劃、設(shè)計(jì)、安排中找出最好的一個來。換句話說，也就是在一定的條件下，人們?nèi)绾我宰詈玫姆绞絹碜鲆患虑椤?Optimization deals with how to do things in the best possible manner)結(jié)論的唯一性是最優(yōu)化的特點(diǎn)，即公認(rèn)最好。(It is the best of all possibilities)最優(yōu)化的思想體現(xiàn)在自然科學(xué)、工程技

2、術(shù)及社會活動的各個領(lǐng)域，最優(yōu)化的方法在這些領(lǐng)域也得到了廣泛地應(yīng)用。(P1)1-1-2 最優(yōu)化方法 (Arithmetic)要從所有可能的方案中找出最優(yōu)的一個，用“試”（try）的辦法是不可行的，需要采用一定的數(shù)學(xué)手段。二十世紀(jì)五十年代以前，用于解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)方法僅限于古典的微分和變分(differential and variation)。數(shù)學(xué)規(guī)劃法在五十年代末被首次用于解決最優(yōu)化問題，并成為現(xiàn)代優(yōu)化方法的理論基礎(chǔ)。線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的主要內(nèi)容，它還包括整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、二次規(guī)劃等等。(Linear programming or Nonlinear programming,

3、 Integer, Dynamic, Quadratic)數(shù)學(xué)規(guī)劃法與電子計(jì)算機(jī)的密切結(jié)合,改變了最優(yōu)化方法多有理論研究價值,而少有實(shí)際應(yīng)用的局面,使得解決工程中的優(yōu)化問題成為可能。因此,我們現(xiàn)在所說的最優(yōu)化方法，實(shí)際上包括了最優(yōu)化理論和計(jì)算機(jī)程序二方面的內(nèi)容。(Optimization theory plus computer program)1-1-3 優(yōu)化設(shè)計(jì)下面以一個簡單的問題為例來說明傳統(tǒng)設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)這二個不同的設(shè)計(jì)過程。例1-1 設(shè)計(jì)一個體積為5cm3的薄板包裝箱，其中一邊的長度不小于4m。要求使薄板耗材最少，試確定包裝箱的尺寸參數(shù)，即長a，寬b和高h(yuǎn)。分析 包裝箱的表面積與它的

4、長，寬和高尺寸有關(guān)。因此，耗板最少的問題可以轉(zhuǎn)化為表面積最小問題，故取表面積為設(shè)計(jì)目標(biāo)。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法:首先固定包裝箱一邊的長度如。要滿足包裝箱體積為的設(shè)計(jì)要求，則有以下多種設(shè)計(jì)方案:設(shè)計(jì)方案 1 2 3 4 5 6包裝箱尺寸寬（）1.0001.10001.20001.30001.4000高（）1.2501.13641.04170.96150.8929表面積20.50020.390920.43330.892920.8429如果包裝箱的長度再取的其他值，則包裝箱的寬度和高度還會有很多其他結(jié)果 。最后，從上面眾多的可行方案中選擇出包裝箱表面積最小的方案來，這就是相對最好的設(shè)計(jì)方案。但由于不可能列出所

5、有可能的設(shè)計(jì)方案，最終方案就不一定是最優(yōu)的。機(jī)械產(chǎn)品的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)通常需要經(jīng)過：提出課題、調(diào)查分析、技術(shù)設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、繪圖等環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)分析通常是在調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，參照同類產(chǎn)品，通過估算、驗(yàn)算、類比或試驗(yàn)等方法來確定產(chǎn)品的初步設(shè)計(jì)方案。然后對產(chǎn)品的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等性能的分析計(jì)算，檢查各項(xiàng)性能指標(biāo)是否滿足設(shè)計(jì)要求。若不能滿足要求，則根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或直觀判斷對設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修改。因此，可以說整個傳統(tǒng)設(shè)計(jì)過程是人工“試湊”和定性分析比較的過程。實(shí)踐證明，按照這種方法得出的設(shè)計(jì)方案，有較大地進(jìn)一步改進(jìn)和提高的余地。當(dāng)然，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中也存在著“優(yōu)選”的思想。如上面例題，設(shè)計(jì)人員可以在有限的幾種可行的

6、設(shè)計(jì)方案中，分析評價出較好的方案。由于傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法受到經(jīng)驗(yàn)、計(jì)算方法和計(jì)算手段等條件的限制，一般不可能得到最佳的設(shè)計(jì)方案。優(yōu)化設(shè)計(jì)方法:在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，該問題可以用數(shù)學(xué)的方法描述為：在滿足包裝箱的體積，長度，的限制條件下，確定參數(shù)，和的值，使包裝箱的表面積達(dá)到最小。根據(jù)這樣的描述，可以建立一個優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，然后選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法和計(jì)算程序，在計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值迭代、求解，最后得到這個數(shù)學(xué)模型的結(jié)果是，。用優(yōu)化方法得到的解，從理論上可以證明是所有可能解中的最優(yōu)解。機(jī)械產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計(jì)，就是把最優(yōu)化方法（最優(yōu)化理論 + 計(jì)算機(jī)）引入機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域，為設(shè)計(jì)提供一種新的科學(xué)設(shè)計(jì)方法，使得在解決復(fù)雜設(shè)計(jì)問題時

7、，不用逐個嘗試就能從所有可能的設(shè)計(jì)方案中找到盡可能完善的或最合適的設(shè)計(jì)方案。應(yīng)用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，可以縮短設(shè)計(jì)周期，提高設(shè)計(jì)精度和設(shè)計(jì)質(zhì)量，獲得顯著的技術(shù)與經(jīng)濟(jì)效益。例如對具有十個變數(shù)擋的機(jī)床主軸箱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)相比，中心距可以減少16.5%；如果對整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)相比，簡單結(jié)構(gòu)可以節(jié)約材料約7%，較復(fù)雜結(jié)構(gòu)可以節(jié)約材料約20%，復(fù)雜結(jié)構(gòu)可以節(jié)約材料約35% - 40%。另據(jù)有關(guān)資料介紹，美國的一個飛機(jī)制造公司采用最優(yōu)化方法對具有450個設(shè)計(jì)參數(shù)的飛機(jī)機(jī)翼進(jìn)行設(shè)計(jì)，使其重量減輕了35%。一般來說，所涉及的因數(shù)越多，設(shè)計(jì)對象越復(fù)雜，優(yōu)化設(shè)計(jì)取得的效果就越顯著。最后，可以用二

8、句簡單的話來描述傳統(tǒng)設(shè)計(jì)和優(yōu)化設(shè)計(jì)的特點(diǎn)。前者憑經(jīng)驗(yàn)“試”或者“湊”，而后者有目的的去“尋”或者去“找”。例1-2分別采用傳統(tǒng)的和優(yōu)化的方法，設(shè)計(jì)一盛液體、體積為V、液面高度為H、璧厚為T的塑料盆。（該盆的產(chǎn)量很大）（p27） 圖1-1 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)：憑直覺，我們選擇盆的截面形狀為矩形，見圖1-1。假定盆的璧厚T相對于長和寬很小, 液體的體積就可以寫成 (1.1)我們可以任意地選擇一個b值, 然后代入式 (1.1)，就可以得到相應(yīng)的L值，這樣的設(shè)計(jì)完全滿足要求，但是有無窮多種方案。優(yōu)化設(shè)計(jì)：在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時，我們僅考慮相對簡單的情況，即忽略應(yīng)力、振動、變形和重量等因素，只考慮價格。換句話說，設(shè)計(jì)盆

9、的幾何尺寸，在滿足一定的條件下使盆的造價最低。為了達(dá)到盆的造價最低的目的，首先來分析它的價格構(gòu)成： (1.2)其中，設(shè)備費(fèi)，是人工費(fèi)，是材料費(fèi)。在式(1.2)中，設(shè)備、人工費(fèi)用與盆的幾何形狀及材料沒有關(guān)系，只有材料的價格與之有關(guān)。對于矩形盆，材料的價格為 （1.3a）其中, 是單位體積材料的價格; 和是給定值; 和是盆的幾何尺寸,需由設(shè)計(jì)給出?，F(xiàn)在設(shè)計(jì)的目的就是，要選擇合適的材料及幾何尺寸和，使式（1.3a）表示的造價達(dá)到最小值。由公式(1.1) 和（1.3a）可以消去一個非獨(dú)立變量，如得到（1.3b） （1.3b）使式（1.3b）達(dá)到最小可從二方面考慮：第一，選擇最的材料；第二，確定使（1.

10、3b）達(dá)到最小的。由下面步驟得到 將值代入式（1.1），則從造價最低的角度考慮，最優(yōu)設(shè)計(jì)，即造價最低，的矩形是正方形，最低造價是 （1.3c）在實(shí)際應(yīng)用中,對盆的放置空間還是有限制的, 如它只能放在二個結(jié)構(gòu)的中間（見圖1.2），即對尺寸的限制就是 （1.4）顯然，和的值可能會影響優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果。如果和都等于或大于，那么正方形仍然是矩形的最優(yōu)解；但若其中有一個小于，則最優(yōu)解就不能滿足空間的限制條件了。 圖1-2在做優(yōu)化設(shè)計(jì)時，我們先假定盆的幾何形狀是傳統(tǒng)的矩形，那么其他形狀盆的造價在滿足設(shè)計(jì)要求的前提下是否會更低呢？我們發(fā)現(xiàn)，圓形盆可能會出現(xiàn)這樣的結(jié)果，來分析一下。對于圓形盆（圖1-2），其造價

11、為 (1.5a)除了以外，式中的其他項(xiàng)均定義過，同樣假定遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于。那么圓形盆的體積就可以表示成 （1.6）由式 (1.5) 和 (1.6) 消去得 (1.5b)比較式（1.3c）正方形盆的造價和 (1.5b) 圓形盆的造價，可以發(fā)現(xiàn)，顯然后者要低。如果圓形盆在放置時也受到限制，則形狀就會變成圖1.2所示。1-2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本內(nèi)容和方法 (Contents and methods)1-2-1 引例 (Example)如何進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，下面以一個引例來進(jìn)行說明。例1-3 如圖1-3，一中心受壓的管柱，所承受的壓力，柱長，密度，許用應(yīng)力，截面中心線直徑（平均直徑），壁厚為。對該管進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)，在保

12、證強(qiáng)度和穩(wěn)定性的條件下，尋找一組參數(shù)和，使管柱的重量最輕。 圖1-3 圖1-4分析 管的重量表達(dá)式為 ，顯然，它是變量和的函數(shù)，把它稱為該優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)；和稱為設(shè)計(jì)變量?，F(xiàn)在，優(yōu)化設(shè)計(jì)的任務(wù)就是，找到一組設(shè)計(jì)變量和，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，并滿足以下條件：（1） 壓桿的強(qiáng)度條件 （2） 壓桿的強(qiáng)穩(wěn)定性條件 其中，歐拉臨界應(yīng)力（二端鉸支桿），由于可將忽略不計(jì)。（3） 局部穩(wěn)定性條件 簡化成 其中，局部穩(wěn)定性臨界應(yīng)力（4） 工藝、幾何尺寸限制 以上選擇設(shè)計(jì)變量、確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件的過程稱為建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。接下來的工作就是求解數(shù)學(xué)模型，得到問題的最優(yōu)解。求解數(shù)學(xué)模型可以用解析法、圖解法

13、和各種優(yōu)化算法。對于這個簡單問題，可以采用圖解法來求。如圖1-4，分別以設(shè)計(jì)變量和為坐標(biāo)軸，建立一個二維設(shè)計(jì)空間。空間中的任何一點(diǎn)都表示一個設(shè)計(jì)方案（即一組和）。把所有的約束條件取等式后（極限情況），均畫在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，并標(biāo)明滿足約束的區(qū)域。稱滿足所有約束的區(qū)域?yàn)榭尚杏?，可行域中的任何一個點(diǎn)都代表一個可行的設(shè)計(jì)方案。顯然，優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的就是要在設(shè)計(jì)空間的可行域內(nèi)找到目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)，這一點(diǎn)對應(yīng)的設(shè)計(jì)方案就是最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。為此，作目標(biāo)函數(shù)系列等值線 如 等，越靠近原點(diǎn)，值越小。從圖1-4可以看到，在 和二條曲線的相交處點(diǎn)，的值達(dá)到最小，為。因此，設(shè)計(jì)變量取 可以使桿在滿足各種限制條件下，其重量達(dá)

14、到最輕。1-2-2 授課內(nèi)容從上面的引例可以看到，解決一個優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，包括二部分的工作，一是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)模型（表達(dá)式）來描述；二是用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。因此，本課的授課內(nèi)容主要有：（1） 建立數(shù)學(xué)模型 (mathematical modeling) 由于沒有統(tǒng)一的方法來建立數(shù)學(xué)模型，只有通過一些例子來說明；（2） 相關(guān)術(shù)語及數(shù)學(xué)概念 (term and concept) 介紹與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的術(shù)語以及涉及到的數(shù)學(xué)概念和理論；（3） 優(yōu)化算法 (arithmetic) 介紹求解優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的各種數(shù)學(xué)方法； 解析法(Analytic method)：無約束優(yōu)化問題；等式約束優(yōu)化問

15、題，不等式約束優(yōu)化問題；數(shù)值法(numerical method)：求解一維優(yōu)化問題，多維無約束優(yōu)化問題，多維約束優(yōu)化問題的各種解法。（4） 算法框圖及編程 目前，雖然可以從書本上、網(wǎng)上甚至軟件銷售商處可以獲取很多優(yōu)化的軟件，但作為初學(xué)者，認(rèn)真學(xué)習(xí)和掌握各種優(yōu)化算法的內(nèi)容、編程和應(yīng)用有極大好處。可以說，學(xué)習(xí)優(yōu)化課程，如果自己不動手編程或在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行程序，就掌握不了這門課。(Flow chart & program)（5） 介紹機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例 (Real case for mechanical optimization Design)Review 1Optimizationl What is optimization?Optimization deals with how to do things in th