不定積分習(xí)題課帶解答

1、第四章 不定積分 習(xí)題課1原函數(shù) 若，則稱為的一個(gè)原函數(shù)若是的一個(gè)原函數(shù)，則的所有原函數(shù)都可表示為 2不定積分 的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)叫做的不定積分，記作若是的一個(gè)原函數(shù)，則，3基本性質(zhì)1），或； 2），或； 3）； 4），（，常數(shù)）4基本積分公式（20個(gè)）原函數(shù)與不定積分是本章的兩個(gè)基本概念，也是積分學(xué)中的兩個(gè)重要概念。不定積分的運(yùn)算是積分學(xué)中最重要、最基本的運(yùn)算之一5. 例題例1已知的一個(gè)原函數(shù)是，求解 ， 例2設(shè)，求解積分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算，所以例3若的一個(gè)原函數(shù)是，求解因?yàn)槭堑脑瘮?shù)，故，所以例4求不定積分 解被積函數(shù)為兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的乘積，用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將其統(tǒng)一化為一個(gè)指數(shù)

2、函數(shù)，然后積分即 例5求不定積分解利用求導(dǎo)運(yùn)算與積分運(yùn)算的互逆性，得例6求不定積分解先用冪函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)被積函數(shù)，然后積分例7求不定積分解分子分母都是三次多項(xiàng)式函數(shù)，被積函數(shù)為假分式，先分解為多項(xiàng)式與真分式的和，再積分，也即 例8求不定積分解用三角恒等式將被積函數(shù)變形，然后積分 例9求不定積分解用三角恒等式將被積函數(shù)統(tǒng)一化為的函數(shù)，再積分 例10求不定積分解例11求不定積分解類似于例10，拆項(xiàng)后再積分 例12一連續(xù)曲線過點(diǎn)，且在任一點(diǎn)處的切線斜率等于，求該曲線的方程解設(shè)曲線方程為，則，積分得 （曲線連續(xù)，過點(diǎn)，故）將代入，得，解出所以，曲線方程為例13判斷下列計(jì)算結(jié)果是否正確1）； 2）解1）

3、，所以計(jì)算結(jié)果正確2）， 計(jì)算結(jié)果不正確，即 以下積分都要用到“湊微分”請(qǐng)仿照示例完成其余等式1）時(shí)，2）3）4）5），時(shí)，6）時(shí)，7）8）9）10）11）例14求 解 注 由于被積函數(shù)中含有，表明，故例15求下列不定積分1）； 2）解1）(請(qǐng)注意加1、減1的技巧) 2） 例16設(shè)，不求出，試計(jì)算不定積分解 （將看作變量）例17設(shè)，求解先湊微分，然后利用寫出計(jì)算結(jié)果即例18計(jì)算不定積分 【提示】 分母中有時(shí)，考慮用“倒代換”解設(shè)，則， 例19求不定積分解 分部積分目的，使公式右邊的積分要比左邊的積分容易計(jì)算，關(guān)鍵在于正確地選取和湊出例 20求不定積分解一這是一道綜合題，先作變量代換，再分部積分令，則， 解二先湊微分，再代換，最后分部積分，即 例 21已知的一個(gè)原函數(shù)是，求【提 示】 不必求出，直接運(yùn)用分部積分公式 解由已知條件，且，故 例 22設(shè)，求解先求出的表達(dá)式設(shè)，則， ,所以 例23求不定積分解將分子湊成，把分式化為多項(xiàng)式與真分式的和；再將真分式化為最簡(jiǎn)分式的和， ，于是