人教版高中數(shù)學(xué)選修22教學(xué)案23數(shù)學(xué)歸納法教師版

1、數(shù)學(xué)歸納法_1、數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用.2、數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì)及在歸納推理中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系.1、 數(shù)學(xué)歸納法： 數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途，因而成為高考的熱點(diǎn)之一。近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，因此，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式，就顯得特別重要。 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： （1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n = n 0時命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k（）時命題成立，證明當(dāng)時命

2、題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗證落實傳遞的起點(diǎn)，這個基礎(chǔ)必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步各司其職，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證明命題是否具有傳遞性，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題。題型一、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式例1、例1數(shù)學(xué)歸納法證明132333n3= n2（

3、n1）2證明： 當(dāng)n=1時，左邊=13=1，右邊=，故等式成立 假設(shè)n=k（，且k1）時等式成立。即132333k 3=k2(k+1)2成立則當(dāng)n=k1時，132333k 3(k+1)3= =即當(dāng)n=k1 時等式也成立綜合，對一切，等式都成立 題型二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2、歸納法證明（n1，且）證明： n=2時，左邊=右邊，不等式成立. 假設(shè)n=k（， k2）時不等式成立，即成立則當(dāng) n=k1時，=（）（）（）（）=即當(dāng)n=k1時不等式也成立綜合，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立題型三、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題例4平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點(diǎn),且每三個圓都不相交于同一點(diǎn),

4、求證:這n個圓把平面分成個部分.題型四、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例4、 用數(shù)學(xué)歸納法證明32n28 n9能被64整除證明： 當(dāng)n=1時，322819=64 顯然能被64整除，命題成立 假設(shè)n=k（ k1，）時命題成立即32k28k9能被64整除則當(dāng)n=k1時，32（k1）28（k1）9=932k28 k89=9（32k28 k9）64 k64 32k28 k9與64均能被64整除， 32（k1）28（ k1）9能被64整除 即當(dāng)n=k1時命題也成立綜合，對一切，32n28n9能被64整除題型五 歸納、猜想、證明例8：是否存在常數(shù)a，b，c使等式對一切自然數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論。分析：可先把

5、條件式對分別列出方程，試求a，b，c值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。解：假設(shè)存在a，b，c使題設(shè)等式成立，那么令得到下面方程組：解得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，題設(shè)等式成立，即有：（1）當(dāng)時，式成立（2）假設(shè)成立，即：那么當(dāng)時故當(dāng)時式成立。綜上，可知當(dāng)時，等式成立。一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時，第一步應(yīng)驗證不等式()A1n22”這一命題，證明過程中應(yīng)驗證()An1時命題成立Bn1，n2時命題成立Cn3時命題成立Dn1，n2，n3時命題成立答案D解析假設(shè)nk時不等式成立，即2kk22，當(dāng)nk1時2k122k2(k22)由2(k22)(k1)24k22k30(k1)(k3)0k3，因此需要驗證n1,

6、2,3時命題成立故應(yīng)選D.8已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A30B26C36D6答案C解析因為f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推測最大的m值為36.9已知數(shù)列an的前n項和Snn2an(n2)，而a11，通過計算a2、a3、a4，猜想an()A.B.C.D.答案B解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2anan1an(n2)當(dāng)n2時，S24a2，又S2a1a2，a2a3a2，a4a3.由

7、a11，a2，a3，a4猜想an，故選B.10對于不等式n1(nN)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時，11，不等式成立(2)假設(shè)nk(kN)時，不等式成立，即k1，則nk1時，(n2)證明當(dāng)n2時，左0右，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時，不等式成立即成立那么nk1時，當(dāng)nk1時，不等式成立據(jù)可知，不等式對一切nN*且n2時成立17在平面內(nèi)有n條直線，其中每兩條直線相交于一點(diǎn)，并且每三條直線都不相交于同一點(diǎn)求證：這n條直線將它們所在的平面分成個區(qū)域證明(1)n2時，兩條直線相交把平面分成4個區(qū)域，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時，k條直線將平面分成塊不同的區(qū)域，命題成立當(dāng)nk1時

8、，設(shè)其中的一條直線為l，其余k條直線將平面分成塊區(qū)域，直線l與其余k條直線相交，得到k個不同的交點(diǎn)，這k個點(diǎn)將l分成k1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域k1塊從而k1條直線將平面分成k1塊區(qū)域所以nk1時命題也成立由(1)(2)可知，原命題成立18 試比較2n2與n2的大小(nN*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論分析由題目可獲取以下主要信息：此題選用特殊值來找到2n2與n2的大小關(guān)系；利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論解答本題的關(guān)鍵是先利用特殊值猜想解析當(dāng)n1時，2124n21，當(dāng)n2時，2226n24，當(dāng)n3時，23210n29，當(dāng)n4時，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(

9、nN*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時，左邊2124，右邊1，所以左邊右邊，所以原不等式成立當(dāng)n2時，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時，左邊23210，右邊329，所以左邊右邊(2)假設(shè)nk時(k3且kN*)時，不等式成立，即2k2k2.那么nk1時，2k1222k22(2k2)22k22.又因：2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12(k1)2成立根據(jù)(1)和(2)，原不等式對于任何nN*都成立_基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時，第一步應(yīng)驗證不等式()A1n21，當(dāng)n2時，2226n24，當(dāng)n3時，23210n29，當(dāng)n4時，24218n216，由此可以猜想，2n2n2(nN*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時，左邊2124，右邊1，所以左邊右邊，所以原不等式成立當(dāng)n2時，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時，左邊232