二階三點(diǎn)數(shù)值微分公式的外推算法

1、二階三點(diǎn)數(shù)值微分公式的外推算法2 二階三點(diǎn)數(shù)值微分公式的外推算法 下面給出問(wèn)題的條件： 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，給定在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為。設(shè),為等距節(jié)點(diǎn)，即且在的某鄰域內(nèi)任意次可微，在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，即。目前的教材都給出公式： 其中為2次lagrange插值多項(xiàng)式。1） 中間節(jié)點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式的外推算法根據(jù)已知條件，利用（1）式可得中間一點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式利用Taylor公式，分別將 和 在 內(nèi)展開(kāi)稱(chēng)泰勒級(jí)數(shù)： 將（3）、（4）代入（2）式右端后整理，得記有（4）記，有對(duì)于固定的，顯然是與h無(wú)關(guān)的常數(shù)。故上面的誤差估計(jì)式，即（5）式符合Richardson外推算法，所以有（6

2、）由。整理得記，得以此類(lèi)推，一直外推可得遞推序列如下其中的階段誤差為。即利用Richardson外推算法經(jīng)k次外推后得到高精度的二階數(shù)值微分公式，將截?cái)嗾`差由原來(lái)的減小到2） 左邊節(jié)點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式的外推算法根據(jù)已知條件，利用（1）式可得中間一點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式（7）利用Taylor公式有:（8）其中 （9）其中將（8）、（9)代入（7）式右端后整理，得記。有記，有（10）對(duì)于固定的，顯然是與無(wú)關(guān)的常數(shù)。故上面的誤差估計(jì)式，即（10）可利用RIchardson外推法外推一次得（11）由2（11）-（10），整理得記得。其中，所以外推后的截?cái)嗾`差為由推導(dǎo)過(guò)程可以看出，截?cái)嗾`差的漸進(jìn)展開(kāi)式中多項(xiàng)式各項(xiàng)次數(shù)的變化大小，利用RIchardson外推算法外推時(shí)收斂階數(shù)提高不明顯，所以利用Taylor公式展開(kāi)時(shí)只展開(kāi)到四階。3） 右左邊節(jié)點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式的外推算法根據(jù)已知條件，利用（1）式可得中間一點(diǎn)的二階數(shù)值微分公式利用Taylor公式有:其中將(13)、(14)代入（12）式右端后整理，得記有記，有對(duì)于固定的，顯然是與無(wú)關(guān)的常數(shù)。故上面的誤差估計(jì)式，即（10）可利用RIchardson