不等式及其性質(zhì)教師

1、1、 不等式及其性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解不等式的意義，認(rèn)識(shí)不等式和等式都刻畫了現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系；2. 理解不等式的三條基本性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用；3理解并掌握一元一次不等式的概念及性質(zhì)；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、不等式的概念 一般地，用“”、 “”、“”或“”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式用“”表示不等關(guān)系的式子也是不等式要點(diǎn)詮釋：(1)不等號(hào)“”或“”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號(hào)的開口所對(duì)的數(shù)較大(2)五種不等號(hào)的讀法及其意義：符號(hào)讀法意義“”讀作“不等于”它說明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個(gè)大，哪個(gè)小“”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量

2、大“”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3) 有些不等式中不含未知數(shù)，如34，-1-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x5中，x表示未知數(shù)，對(duì)于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí)，不等式的左、右兩邊符合不等號(hào)所表示的大小關(guān)系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立類型一、不等式的概念例1. 判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式（1）45；（2）x2+10；（3）x2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a4a-2變式練習(xí)：1.（2017春城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）貴陽(yáng)市今年5月份的最高氣溫為27

3、，最低氣溫為18，已知某一天的氣溫為t，則下面表示氣溫之間的不等關(guān)系正確的是（）A18t27B18t27C18t27D18t272.（2017春未央?yún)^(qū)校級(jí)月考）下列式子：a+b=b+a；-2-5；x-1；y-41；2mn；2x-3，其中不等式有（）A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)3.（2017春南山區(qū)校級(jí)月考）下面給出了6個(gè)式子：30；x+3y0；x=3；x-1；x+23；2x0；其中不等式有（）A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)4.（2017春太原期中）學(xué)校組織同學(xué)們春游，租用45座和30座兩種型號(hào)的客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x+30y500”表示的實(shí)際意義是（）A兩種客車

4、總的載客量不少于500人B兩種客車總的載客量不超過500人C兩種客車總的載客量不足500人D兩種客車總的載客量恰好等于500人5.已知有理數(shù)m，n的位置在數(shù)軸上如圖所示，用不等號(hào)填空（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）mn 0；（6）m+1 0例2用不等式表示： (1)x與-3的和是負(fù)數(shù)； (2)x與5的和的28不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多為5舉一反三：【變式】的值一定是（ ）A. 大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零 例3.下列敘述：a是非負(fù)數(shù)則a0；“a2減去10不大于2”可表示為a2-102；“x的倒數(shù)超過10”可表示為1

5、0；“a，b兩數(shù)的平方和為正數(shù)”可表示為a2+b20其中正確的個(gè)數(shù)是（）.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D. 4個(gè)要點(diǎn)二、一元一次不等式的概念 只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個(gè)一元一次不等式要點(diǎn)詮釋：(1)一元一次不等式滿足的條件：左右兩邊都是整式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)；只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為1.(2) 一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，“左邊”和“右邊”都是整式不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)“”、“”、“”或“”連接，不等號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，

6、由等號(hào)“”連接，等號(hào)沒有方向例1.（2017春滄州期末）下列各式中，一元一次不等式是（）A. B2x1-x2 Cx+2y1 D2x+13x變式練習(xí)2 （2017春平川區(qū)校級(jí)期中）下列是一元一次不等式的是（） Bx2-21 C3x+2 D2x-23（2016春永豐縣期中）若不等式2xa1是關(guān)于x的一元一次不等式，則a符合（）Aa1Ba=0Ca=1Da=24.若（m+1）x|m|+20是關(guān)于x的一元一次不等式，則m=（）A1B1C-1D05.下列不等式中，是一元一次不等式的有（）個(gè)x-3；xy1；x23；A1B2C3D4要點(diǎn)三、不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或整

7、式)，不等號(hào)的方向不變用式子表示：如果ab，那么acbc.不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)例1.判斷以下各題的結(jié)論是否正確（對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”）（1）若 b3a0，則b3a； （2）如果5x20，那么x4； （3）若ab，則 ac2bc2； （4）若ac2bc2，則ab； （5）若ab，則 a（c2+1）b（c2+1） （6）若ab0，則 【答案與解析】解：（1）若由b3a0，移項(xiàng)即可得到b

8、3a，故正確；（2）如果5x20，兩邊同除以5不等號(hào)方向改變，故錯(cuò)誤； （3）若ab，當(dāng)c=0時(shí)則 ac2bc2錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤； （4）由ac2bc2得c20，故正確； （5）若ab，根據(jù)c2+1，則 a（c2+1）b（c2+1）正確 （6）若ab0，如a=2，b=1，則正確故答案為：、【總結(jié)升華】本題考查了不等式的性質(zhì)，兩邊同乘以或除以一個(gè)不為零的負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變例4.（2017青浦區(qū)一模）已知ab，下列關(guān)系式中一定正確的是（）Aa2b2 B2a2b Ca+2b+2 Dab【思路點(diǎn)撥】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷【答案】D.【解析】解：A，a2b2，錯(cuò)誤，例如：21，則22（1）2；B、若ab

9、，則2a2b，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若ab，則a+2b+2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、若ab，則ab，故本選項(xiàng)正確.【總結(jié)升華】不等式的性質(zhì)是不等式變形的重要依據(jù)關(guān)鍵要注意不等號(hào)的方向性質(zhì)1和性質(zhì)2類似于等式的性質(zhì)但性質(zhì)3中，當(dāng)不等式兩邊乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變舉一反三：【變式】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，將“mx3”變形為“x”，則m的取值范圍是 【答案】m0.解：將“mx3”變形為“x”，m的取值范圍是m0故答案為：m0【鞏固練習(xí)】一、選擇題1. （2016春北京期末）在式子30，x2，x=a，x22x，x3，x+1y中，是不等式的有（）A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)2下列不等式表示正確的

10、是( ). Aa不是負(fù)數(shù)表示為a0 Bx不大于5可表示為x5 Cx與1的和是非負(fù)數(shù)可表示為x+10 Dm與4的差是負(fù)數(shù)可表示為m-403.式子“x+y=1；xy；x+2y；x-y1；x0”屬于不等式的有（） A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)4已知ab，則下列不等式一定成立的是( ) Aa+3b+3 B2a2b C-a-b Da-b0 5若圖示的兩架天平都保持平衡，則對(duì)a、b、c三種物體的重量判斷正確的是（）.A.ac B.ac C.ab D.b0,所以，正確；（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以錯(cuò)誤；（3）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，沒有意義，而當(dāng)時(shí)，所以錯(cuò)誤；（4）因?yàn)?，所以，正確.【總結(jié)升華】不等式的基本性質(zhì)是不等式變形

11、的主要依據(jù)，要認(rèn)真弄清楚不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)的異同點(diǎn)，特別是不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，不僅要考慮這個(gè)數(shù)不等于0，而且先必須確定這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù).舉一反三：【變式1】a、b是有理數(shù)，下列各式中成立的是( )A若ab，則a2b2； B若a2b2，則ab C若ab，則a|b| D若a|b|，則ab【答案】D. 【變式2】若點(diǎn)P（1m，m）在第一象限，則（m1）x1m的解集為 【答案】x1.解：點(diǎn)P（1m，m）在第一象限，1m0，即m10；不等式（m1）x1m，（m1）x（m1），不等式兩邊同時(shí)除以m1，得：x1，故答案為：x13.設(shè)a0bc，且a+b+c=-1，若M，N

12、，P，試比較M、N、P的大小【答案與解析】a+b+c=-1，b+c=-1-a，M=1，同理可得N=1，P=1；又a0bc，0，1111即MPN【總結(jié)升華】本題考查不等式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是M、N、P的等價(jià)變形，利用了整體思想消元，轉(zhuǎn)化為a、b、c的大小關(guān)系4.（2016春唐河縣期中）【提出問題】已知xy=2，且x1，y0，試確定x+y的取值范圍【分析問題】先根據(jù)已知條件用一個(gè)量如y取表示另一個(gè)量如x，然后根據(jù)題中已知量x的取值范圍，構(gòu)建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質(zhì)即可獲解【解決問題】解：xy=2，x=y+2又x1，y+21，y1

13、又y0，1y0，同理得1x2由+得1+1y+x0+2x+y的取值范圍是0x+y2【嘗試應(yīng)用】已知xy=3，且x1，y1，求x+y的取值范圍【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件用一個(gè)量如y取表示另一個(gè)量如x，然后根據(jù)題中已知量x的取值范圍，構(gòu)建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質(zhì)即可獲解【答案與解析】解：xy=3，x=y3又x1，y31，y2又y1，1y2，同理得2x1由+得12y+x21x+y的取值范圍是1x+y1【總結(jié)升華】此題主要考查了等量代換及不等式的基本性質(zhì)（1）不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的

14、兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；（3）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變【鞏固練習(xí)】一、選擇題1下列不等式中，一定成立的有( ). 5-2；x+32；+11； A4個(gè) B3個(gè) C2個(gè) D1個(gè)2.若a+b0，且b0，則a，b，-a，-b的大小關(guān)系為（ ）.A-a-bba B-ab-ba C-aba-b Db-a-ba3若ab，則下列不等式：；其中成立的有( ).A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D0個(gè)4若0x1，則x，x2的大小關(guān)系是( ). A B C D5.已知a、b、c、d都是正實(shí)數(shù)，且，給出下列四個(gè)不等式：；其中不等式正確的是（ ）.

15、A. B C D6（2016春豐臺(tái)區(qū)期末）下列不等式變形正確的是（）A由ab，得a2b2B由ab，得abC由ab，得D由ab，得acbc二、填空題7在行駛中的汽車上，我們會(huì)看到一些不同的交通標(biāo)志圖形，它們有著不同的意義，如圖所示，如果汽車的寬度為x m，則用不等式表示圖中標(biāo)志的意義為_8(1)若，則a_b； (2)若m0，mamb，則a_b9已知，若y0，則m_10已知關(guān)于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是_11（2016春濟(jì)南校級(jí)期末）下列判斷中，正確的序號(hào)為 若ab0，則ab0；若ab0，則a0，b0；若ab，c0，則acbc；若ab，c0，則ac2

16、bc2；若ab，c0，則acbc12如果不等式3x-m0的正整數(shù)解有且只有3個(gè)，那么m的取值范圍是_三、解答題13用不等式表示：(1)某工人5月份計(jì)劃生產(chǎn)零件198個(gè)，前16天平均每天生產(chǎn)6個(gè)，后來(lái)改進(jìn)技術(shù)，提前3天，并超額完成任務(wù)，設(shè)他16天之后平均每天生產(chǎn)零件x個(gè)，請(qǐng)寫出滿足條件的x的關(guān)系式；(2)今年，小明x歲、小強(qiáng)y歲、爺爺m歲；明年，小明年齡的3倍與小強(qiáng)年齡的6倍之和大于爺爺?shù)哪挲g14若ab，討論ac與bc的大小關(guān)系15根據(jù)等式和不等式的基本性質(zhì)，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法若A-B0，則AB；若A-B0，則AB；若A-B0，則AB這種比較大小的方法稱為“作差法比較大小”，請(qǐng)運(yùn)用這

17、種方法嘗試解決下列問題(1)比較3a2-2b+1與5+3a2-2b+b2的大?。?2)比較a+b與a-b的大??；(3)比較3a+2b與2a+3b的大小【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】B；【解析】一定成立的是：；2. 【答案】B.3. 【答案】A ； 【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，只有成立.4. 【答案】C； 【解析】0x1， x2x.5.【答案】A；【解析】，a、b、c、d都是正實(shí)數(shù)，adbc，ac+adac+bc，即a（c+d）c（a+b），所以正確，不正確；，a、b、c、d都是正實(shí)數(shù)，adbc，bd+adbd+bc，即d（a+b）b（d+c），所以正確，不正確 故選A6.【答案】B【

18、解析】A、ab，得a2b2，錯(cuò)誤；B、ab，得ab，正確；C、ab，得，錯(cuò)誤；D、當(dāng)c為負(fù)數(shù)和0時(shí)不成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選B.二、填空題7. 【答案】x4； 8. 【答案】(1)， (2)； 【解析】（1）兩邊同乘以（）；（2）兩邊同除以.9. 【答案】8； 【解析】由已知可得：x4，y2x-m8-m0，所以m8.10【答案】.11.【答案】【解析】解：ab0，a0，b0，ab0，正確；ab0，a0，b0或a0，b0，錯(cuò)誤；ab，c0，c0時(shí)，acbc；c0時(shí)，acbc；錯(cuò)誤；ab，c0，c20，ac2bc2，正確；ab，c0，ab，acbc，正確綜上，可得正確的序號(hào)為：12.【答案】9m12； 【解析】3x-m0，x，