856高等代數(shù)考研真題答案09

1、、2009年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)科目代碼：856科目名稱：高等代數(shù)(20分)證明下列命題：(1).( 10分)設(shè)d(x), f (x), g(x)都是數(shù)域P上的多項(xiàng)式。如果d(x)|f(x)， d(x)|g(x)，且d(x)為f (x)與g(x)的一個(gè)組合，證明：d(x)是f (x)與g(x)的一個(gè)最 大公因式。(2).( 10分)f(x)是數(shù)域F上次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，廠F,c = 0則f (x c)尸 f (x).證明：(1).由題意，存在多項(xiàng)式 u(x), v(x),使 d(x)二 u(x)f (x) v(x)g(x) . (4 分)如 果 h(x) | f (x)

2、，h(x)|g(x),那么 h(x)|d(x).( 8 分)又由于 d(x)| f(x)，d(x) | g(x),所 以d(x)是f (x)與g(x)的一個(gè)最大公因式。(10分)(2).如果 f(x -cH f (x),那么 f(0) = f (c)二 f(2c)二.(3 分)考慮 g(x) = f(x) - f (0). ( 6 分)顯然，：g(x)二.:f (x),并且 g(nc) =0, n = 1,2廠.2-534二.(15分)已知行列式D =987615734703g(x)有無(wú)限多個(gè)根，這是不可能的。(10分)的代數(shù)余子式求 A21A22A23 A24，其中 Aj 是元素 aij解：

3、考慮行列式C -2114-5 31 15 77 04133按它的第二行展開(kāi)(5分)由于C和D除了第二行外均相同，故a21 a,2 a23 a,4，( 10分)而計(jì)算可得21 C =14 72.所以 A、 A2 A23 他=72 .（15 分）abab三.（20 分）證明n階行列式abn + 1 n+ 1 a - ba - b解：當(dāng)n二1結(jié)論顯然成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)-b加n-1列乘-b加到第n列。然后用歸納a abb ab1 a + b ab0 a + b ab1a + b O+1a + b OO O abO O ab1 a + b1 a + b（10 分）Dnn- 1階行

4、列式成立。（2分）對(duì)n階行列式，將第一列拆成兩項(xiàng)。第二項(xiàng)按第一行展開(kāi)。第一項(xiàng)的第一列乘 到第二列，第2列乘-b加到第3列，第 假設(shè)a0a +b ab1a01a + bO1aO+ bOOabOO01a + b1an a+bDn 4n=a+ bna -bnn十 n十 a -b（20 分）a -ba -b（15 分）（15分）已知V1是花，X2 ，xn=0的解空間,四.V2 是 二 x2-二禺的解空間,證明：Pn=V,二 V2。 1證：一（印82，an） V,令 a= （a1 *2an）.n我們有 182, ,an）二-a,a2 - a, ,an - a） （a,a, ,a）. （5 分）而且 -a

5、m-a,務(wù)-a） M,（a,a, ,a） V2.因此 Pn=y V?. （7 分）如果（R,b2, b） M 一 V2,那么 D bbn=O,且h=b2 二二 bn. （10 分）從而 biubM，=bn=0. （12 分）因此 V1 V2 -0.總之，Pn 二M 二 V2 （15 分）五. （10分）寫出一個(gè)三元齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為=（1,2,3）.解：考慮以r =（1,2,3）為解的方程k1x1 k2x2 k3x3 = 0，那么 K 1 k2，2 k3-0. （ 3分）把它看成k1 ,k2,k3的方程。得到基礎(chǔ)解系（-2,1,0）,（-3,0,1）. （ 7分）由此得到方程組=

6、0=0它以=（1,2,3）為基礎(chǔ)解系。（10分）六. （20分）設(shè)實(shí)二次型f（X） x； - 2xf - 2x1X3 2tX2X3，求當(dāng)t是何整數(shù)時(shí)二次型f（X）是正定的，并求一個(gè)線性替換丫二TX將二次型f（X）化為標(biāo)準(zhǔn)形解：此二次型的矩陣為：式都大于零，（5分）即q 0A= 0 1 t ，若要f為正定的，則要求其各級(jí)順序主子J t 21 0 120 1 t = PtA 0 , （t A 0）1 t 2（8 分）因t為整數(shù)，故t=0（ 10分）； 當(dāng)t=0時(shí)f （X） = x： x| 2xf 2x1x32 2 2'=X1X3 X2X3（12 分）作線性替換:yi = Xi X3工為=力

7、 一 y3yX2 ，即X2，則其為非退化的線性替換，（16分）Iy3 = X3X3 = y3則經(jīng)過(guò)此線性替換后可得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)型：f =y2 y； y2。（20分）七. （20分）設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間。 （10分）設(shè)V =V|二V2，已知二*，二“是V中的線性無(wú)關(guān)向量組；,，：s是V2中的線性無(wú)關(guān)向量組。證明i,i,r,-：1,i , -s是V的線性無(wú)關(guān)向量組。（2）（ 10分）設(shè)A 是V的線性變換。證明：A是單射的充分必要條件是它是滿射。證明：（1）由于 V=Vi 二 V2，Vi V2 -0 . （2 分）設(shè)?。篿亠 亠ar d r亠亠bs ：s =0那么 a"ar： r

8、 =- -bs 一 V2 二0 （4分）因此a"ar =0,0 1bjs =0。（6分）由已知二,，亠是V中的線性無(wú)關(guān) 向量組；,:s是V2中的線性無(wú)關(guān)向量組，得印二二耳=0,3 =bs = 0 . （8分） 所以:f r J,：s是V的線性無(wú)關(guān)向量組。（10分）（2）已知 dim kerA +dim Im A 二 n，（4 分）所以A 是單射當(dāng)且僅當(dāng) kerA 二0 = dimker A =0= dimlm A=n= Im A =V 當(dāng)且僅當(dāng)A是滿射所以A是單射的充分必要條件是它是滿射。（10分）八. （10分） 設(shè)數(shù)域p上的3維空間V的線性變換s在基a1,a2,a3下的矩陣為G

9、-1 1'6-11.求線性變換s2 - 5s + s'1在基a1,a2,a3下的矩陣2 b解：線性變換s2- 5s + s'1在基a1,a2,a3下的矩陣為九.(15分)7-1rJ7-1 1、7-1 1、6-11-56-11+6 -1 15 -2 b<5 -2 b<5 -2 1(4 分)48-841708-5"4-410014陣a =2、0-2唯一，試求：（1） a的值;轉(zhuǎn)置（求q和qt aq ）。解: （1）對(duì)線性方程組AX-A-135-55、r 1-10 '30-55+-12-1丿<25-1059-b(8 分)764(10 分)11a、1 '1 a 11la11<-2>,已知線性方程組AX因?yàn)榫€性方程組(2)現(xiàn)在A= 1 正交矩陣Q，使QtAQ為對(duì)角矩陣，其中二1的增廣矩陣作初等行變換(a- 1)(a + 2)AX二1有解但不唯一，所以秩1-211 =3, 2 - -3, 3 =0.qt表示q的r(A) = r(A) < 3 , 故a = - 2.1的特征方程為kE - A