人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)相交線與平行線教師

1、 相交線與平行線（教師教案）第一段 典型例題【開(kāi)課】教師在正式開(kāi)課前，先把本次課程的內(nèi)容簡(jiǎn)單概括一下： 今天的內(nèi)容主要包括以下幾部分內(nèi)容：一 相交線、垂線的概念二 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角等的概念三 平行線的的性質(zhì)和判定【課程目標(biāo)】1. 理解相交線的定義、對(duì)頂角的定義和性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義，正確識(shí)別“三線八角”；2. 理解垂線的定義、點(diǎn)到直線的距離的定義，掌握垂線的性質(zhì)；3. 理解平行線的概念，正確地表示平行線，會(huì)利用三角尺、直尺畫(huà)平行線，理解平行公理和平行公理的推論；4. 掌握兩直線平行的判定方法和平行線的性質(zhì)；5. 能綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定證明和計(jì)算。【課程安排】1 教師簡(jiǎn)要介紹本次課程

2、的關(guān)鍵點(diǎn)，同學(xué)做題，然后教師講解2 教師總結(jié)，學(xué)生做綜合練習(xí)（第二段）教師講解【教師講課要求】教師先將第一段練習(xí)發(fā)給每一位學(xué)生，學(xué)生做題時(shí)教師必須巡視，了解學(xué)生做題情況，學(xué)生完成練習(xí)后，教師進(jìn)行講解。第一部分 相交線、垂線課時(shí)目標(biāo)：理解相交線的定義、對(duì)頂角的定義和性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義，正確識(shí)別“三線八角”；理解垂線的定義、點(diǎn)到直線的距離的定義，掌握垂線的性質(zhì)；教師講課要求【知識(shí)要點(diǎn)】：請(qǐng)學(xué)生看一下做好上課的準(zhǔn)備 （一）相交線1. 相交線的定義在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相交線，公共點(diǎn)稱(chēng)為兩條直線的交點(diǎn)。如圖1所示，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O。 圖1 圖2 圖32

3、. 對(duì)頂角的定義若一個(gè)角的兩條邊分別是另一個(gè)角的兩條邊的反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。如圖2所示，1與3、2與4都是對(duì)頂角。注意：兩個(gè)角互為對(duì)頂角的特征是：（1）角的頂點(diǎn)公共；（2）角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線；（3）兩條相交線形成2對(duì)對(duì)頂角。3. 對(duì)頂角的性質(zhì)對(duì)頂角相等。4. 鄰補(bǔ)角的定義如果把一個(gè)角的一邊反向延長(zhǎng)，這條反向延長(zhǎng)線與這個(gè)角的另一邊構(gòu)成一個(gè)角，此時(shí)就說(shuō)這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。如圖3所示，1與2互為鄰補(bǔ)角，由平角定義可知12180°。（二）垂線1. 垂線的定義當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)

4、叫做垂足。 圖4如圖4所示，直線AB與CD互相垂直，垂足為點(diǎn)O，則記作ABCD于點(diǎn)O。其中“”是“垂直”的記號(hào)；是圖形中“垂直”(直角)的標(biāo)記。注意：垂線的定義有以下兩層含義：（1）ABCD（已知） （2）190°（已知） 190°（垂線的定義） ABCD（垂線的定義）2. 垂線的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)直線外或直線上一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直，即過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。（2）性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。即垂線段最短。3. 點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。 圖5 圖6如

5、圖5所示，m 的垂線段PB 的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)P 到 直線m 的距離。4. 垂線的畫(huà)法（工具：三角板或量角器）5. 畫(huà)已知線段或射線的垂線（1）垂足在線段或射線上（2）垂足在線段的延長(zhǎng)線或射線的反向延長(zhǎng)線上（三）“三線八角”兩條直線被第三條線所截，可得八個(gè)角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)1與5都處于直線的同一側(cè)，直線、的同一方，這樣位置的一對(duì)角就是同位角。圖中的同位角還有2與6，3與7，4與8。（2）內(nèi)錯(cuò)角：可以發(fā)現(xiàn)3與5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對(duì)角就是內(nèi)錯(cuò)角。圖中的內(nèi)錯(cuò)角還有4與6。（3）同旁?xún)?nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)4與5都處于直線的同一側(cè)，直線、的兩方，這樣位置的

6、一對(duì)角就是同旁?xún)?nèi)角。圖中的同旁?xún)?nèi)角還有3與6。范例1. 判斷下列語(yǔ)句是否正確，如果是錯(cuò)誤的，說(shuō)明理由。（1）過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)直線的垂線，垂線的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離；（2）從直線外一點(diǎn)到直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離；（3）兩條直線相交，若有一組對(duì)頂角互補(bǔ)，則這兩條直線互相垂直；（4）兩條直線的位置關(guān)系要么相交，要么平行。分析：本題考查學(xué)生對(duì)基本概念的理解是否清晰。（1）、（2）都是對(duì)點(diǎn)到直線的距離的描述，由“直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離”可判斷（1）、（2）都是錯(cuò)的；由對(duì)頂角相等且互補(bǔ)易知，這兩個(gè)角都是90°，故（3）正確；同一平面內(nèi)，兩條

7、直線的位置關(guān)系是相交或平行，必須強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”。解答：（1）這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的。因?yàn)榇咕€是直線，它的長(zhǎng)度不能度量，應(yīng)改為“垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離”。（2）這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的。因?yàn)椤包c(diǎn)到直線的距離”不是指點(diǎn)到直線的垂線段的本身，而是指垂線段的長(zhǎng)度。（3）這種說(shuō)法是正確的。（4）這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的。因?yàn)橹挥性谕黄矫鎯?nèi)，兩條直線的位置關(guān)系才是相交或平行。如果沒(méi)有“在同一平面內(nèi)”這個(gè)前提，兩條直線還可能是異面直線。說(shuō)明：此題目的是讓學(xué)生抓住相交線平行線這部分概念的本質(zhì)，弄清易混概念。 范例2. 如下圖（1）所示，直線DE、BC被直線AB所截，問(wèn)，各是什么角？圖（1） 分析：已知圖形不標(biāo)準(zhǔn)，開(kāi)

8、始學(xué)不容易看，可把此圖畫(huà)成如下圖（2）的樣子，這樣就容易看了。圖（2） 答案：是同位角，是內(nèi)錯(cuò)角，是同旁?xún)?nèi)角。 范例3 如下圖（1），圖（1） （1）是兩條直線_與_被第三條直線_所截構(gòu)成的_角。 （2）是兩條直線_與_被第三條直線_所截構(gòu)成的_角。 （3）_與_被第三條直線_所截構(gòu)成的_角。 （4）與6是兩條直線_與_，被第三條直線_所截構(gòu)成的_角。 分析：從較復(fù)雜的圖形中分解出有關(guān)角的直線，因此可以得到是由直線被第三條直線所截構(gòu)成的同位角，如下圖（2），類(lèi)似可知其他情況。圖（2） 答案：（1）1與2是兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的同位角。 （2）1與3是兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的同位角

9、。 （3）是兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角。（4）5與6是兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角。范例4按要求作圖，并回答問(wèn)題。范例5作圖題范例6證明垂直第二部分 平行線課時(shí)目標(biāo) 理解平行線的概念，正確地表示平行線，掌握兩直線平行的判定方法和平行線的性質(zhì)能綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定證明和計(jì)算。教師講課要求知識(shí)要點(diǎn)：請(qǐng)學(xué)生看一下準(zhǔn)備上課1. 平行線的概念在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。注意：（1）在平行線的定義中，“在同一平面內(nèi)”是個(gè)重要前提；（2）必須是兩條直線；（3）同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是：相交或平行，兩條互相重合的直線視為同一條直線。兩條直線的位置關(guān)系是以這兩條直線

10、是否在同一平面內(nèi)以及它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)的。名稱(chēng)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)在同一個(gè)平面內(nèi)重合直線相交直線平行直線不在同一個(gè)平面內(nèi)異面直線2. 平行線的表示方法平行用“”表示，如圖7所示，直線AB與直線CD平行，記作ABCD，讀作AB 平行于CD。3. 平行線的畫(huà)法4. 平行線的基本性質(zhì)（1）平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。 （2）平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。5. 平行線的判定方法：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。（3）兩條直線被第三條直

11、線所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。（4）兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。（5）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。6. 平行線的性質(zhì)：（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)記：兩直線平行，同位角相等。（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)記：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)記：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。范例1如圖，已知AMF=BNG=75°，CMA=55°，求MPN的大小答案：50°解析：因?yàn)锳MF=BNG=75°，又因?yàn)锽NG=MN

12、P，所以AMF=MNP，所以EFGH，所以MPN=CME，又因?yàn)锳MF=75°，CMA=55°，所以AMF+CMA=130°，即CMF=130°，所以CME=180°130°=50°，所以MPN=50°范例2如圖，1與3為余角，2與3的余角互補(bǔ)，4=115°，CP平分ACM，求PCM答案：57.5°解析：因?yàn)?+3=90°，2+（90°3）=180°，所以2+1=180°，所以ABDE，所以BCN=4=115°，所以ACM=115°，又

13、因?yàn)镃P平分ACM，所以PCM=ACM=×115°=57.5°，所以PCM=57.5°范例3如圖，已知：1+2=180°，3=78°，求4的大小答案：102°解析：因?yàn)?=CDB，又因?yàn)?+2=180°，所以1+CDB=180°，所以得到ABCD，所以3+4=180°，又因?yàn)?=78°，所以4=102°范例4如圖，已知：BAP與APD 互補(bǔ)，1=2，說(shuō)明：E=F解析：因?yàn)锽AP與APD 互補(bǔ)，所以ABCD，所以BAP=CPA，又因?yàn)?=2，所以BAP1=CPA2，即EAP=F

14、PA，所以EAPF，所以E=F范例5 如圖，已知ABCD，P為HD上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線交HF于O點(diǎn)，試問(wèn)：HOP、AGF、HPO有怎樣的關(guān)系？用式子表示并證明答案：HOP=AGFHPO解析：過(guò)O作CD的平行線MN，因?yàn)锳BCD，且CDMN，所以ABMN，所以AGF=MOF=HON，因?yàn)镃DMN，HPO=PON，所以HOP=HONPON=HONHPO，所以HOP=AGFHPO范例6 如圖，已知ABCD，說(shuō)明：BBEDD=360° 分析：因?yàn)橐阎狝BCD，所以在BED的內(nèi)部過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線，將BBEDD的和轉(zhuǎn)化成對(duì)平行線的同旁?xún)?nèi)角來(lái)求。 解：過(guò)點(diǎn)E作EFAB，則BBEF=180&

15、#176;（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）ABCD（已知）EFAB（作圖）EFCD（平行于同一條直線的兩直線平行）DDEF=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）BBEFDDEF=360°BBEDD=BBEFDDEFBBEDD=360°范例7. 小張從家（圖中A處）出發(fā)，向南偏東40°方向走到學(xué)校（圖中B處），再?gòu)膶W(xué)校出發(fā)，向北偏西75°的方向走到小明家（圖中C處），試問(wèn)ABC為多少度？說(shuō)明你的理由。解：AEBD（已知）BAE=DBA（兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等）BAE=40°（已知）ABD=40°（等量代換）CBD=ABCABD（

16、已知）ABC=CBDABD（等式性質(zhì)）ABD=40°（已知）ABC=75°40°=35°范例8 如圖，ADC=ABC， 12=180°，AD為FDB的平分線，說(shuō)明：BC為DBE的平分線。分析：從圖形上看，AE應(yīng)與CF平行，AD應(yīng)與BC平行，不妨假設(shè)它們都平行，這時(shí)欲證BC為DBE的平分線，只須證3=4，而3=C=6 ，4=5，由AD為FDB的平分線知5=6，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證AECF，且ADBC了，由已知條件12=180°不難證明AECF，利用它的平行及ADC=ABC的條件，不難推證ADBC。證明：12=180°（已知）27

17、=180°（補(bǔ)角定義）1=7（同角的補(bǔ)角相等）AECF （同位角相等，兩直線平行）ABCC=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）又ADC=ABC（已知），CFAB（已證）ADCC=180°（等量代換）ADBC（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）6=C， 4=5（兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等）又3=C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）3=6（等量代換）又AD為BDF的平分線5=63=4（等量代換）BC為DBE的平分線范例9 如圖，DE，BE 分別為BDC， DBA的平分線，DEB=12（1）說(shuō)明：ABCD（2）說(shuō)明：DEB=90°分析：（1）欲證平行，就找

18、角相等與互補(bǔ)，但就本題，直接證CDB與ABD互補(bǔ)比較困難，而12=DEB，若以E為頂點(diǎn)，DE為一邊，在DEB內(nèi)部作DEF=2，再由DE，EB分別為CDB， DBA的平分線，就不難證明ABCD了，（2）由（1）證得ABCD后，由同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，易證12=90°，進(jìn)而證得DEB=90°證明：（1）以E為頂點(diǎn)，ED為一邊用量角器和直尺在DEB的內(nèi)部作DEF=2DE為BDC的平分線（已知）2=EDC（角平分線定義）FED=EDC（等量代換）EFDC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）DEB=12（已知）FEB=1（等量代換），EBA=EBF=1（角平分線定義）FEB=EBA（等量代換）FEBA

19、（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）又EFDCBADC（平行的傳遞性）（2）ABDC（已證）BDCDBA=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）又1=DBA，2=BDC（角平分線定義）12=90°又12=DEBDEB=90° 第二段一. 選擇題1. 如圖1，直線a、b相交，1120°，則23（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°答案：C 圖1 圖2 圖32. 如圖2，要得到ab，則需要條件（）A. 24B. 13180°C. 12180 D. 23答案：C3. 如圖3，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的

20、平行線的方法，其依據(jù)是（）A. 同位角相等，兩直線平行B. 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C. 同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D. 兩直線平行，同位角相等答案：A4. 如圖4，ABED，則ACD（）A. 180°B. 270°C. 360°D. 540° 圖4 圖5答案：C5. 如圖5所示，1120°，2100°，則3（ ）A. 20° B. 40° C. 50° D. 60°答案：B6. 已知：如圖6，AOB的兩邊 OA、OB均為平面反光鏡，AOB40°，在OB上有一點(diǎn)P，從P點(diǎn)射出一束光線經(jīng)O

21、A上的Q點(diǎn)反射后，反射光線QR恰好與OB平行，則QPB的度數(shù)是（ ）A. 60° B. 80° C. 100°D. 120°答案：B 圖7 圖87下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 兩條不相交的直線叫做平行線B. 同位角相等C. 兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角相等D. 同角的余角相等答案：D8如果1和2是兩平行線a，b被第三條直線c所截的一對(duì)同位角，那么（ ）A. 1和2是銳角B. 12=180°C. 12=90°D. 1=2答案：D9如圖5，ABCD，則結(jié)論：（1）1=2；（2）3=4；（3）13=24中正確的是（ ）A. 只有（1）B. 只有（2）

22、 C. （1）和（2）C. （1）（2）（3）答案：D 圖510如圖6，ABCD，若3是1的3倍，則3為（ ）A. B. C. D. 答案：B圖6圖711如圖7，DHEGBC，且DCEF，則圖中與1相等的角（不包括1）的個(gè)數(shù)是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6答案：C12如圖8，已知ABCD，CE平分ACD，A=110°，則ECD的度數(shù)為（ ）A 110°B. 70°C. 55°D. 35°答案：D圖8圖913如圖9，如果DEBC，那么圖中互補(bǔ)的角的對(duì)數(shù)是（ ）A. 2對(duì)B. 3對(duì)C. 4對(duì)D. 5對(duì)答案：C二. 填空題1 如圖7，CBAB

23、，CBA與CBD的度數(shù)比是5:1，則DBA_度，CBD的補(bǔ)角是_度。答案：72°；162°2 如圖8，ACBC，CDAB，點(diǎn)A到BC邊的距離是線段_的長(zhǎng)，點(diǎn)B到CD邊的距離是線段_的長(zhǎng)，圖中的直角有_，A的余角有_，和A相等的角有_。答案：；3 如圖9，當(dāng)1_時(shí)，ABCD；當(dāng)D_180°時(shí)，ABCD；當(dāng)B_時(shí)，ABCD。答案：； 圖9 圖104 如圖10，ABCD，直線l平分AOE，140°，則2_答案：5 若兩個(gè)角的兩邊分別平行，而一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少30°，則兩個(gè)角的度數(shù)分別是_。答案：或6如圖1，1=2（ ）（ ）（ ），D=（ ）（ ）又D=3（已知）（ ）=（ ）（ ）（ ）（ ）答案：ADBE，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，DBE，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，DBE=3，BDCE，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行圖1圖27如圖2，ADBC，1=60°，2=50°，則A=（ ），CBD=（ ），ADB=（ ），AADB2=（ ）答案： 60°，70°，70°，180°8圖3，由A測(cè)B的方向是（ ），由B測(cè)A的方向是（ ）圖3圖4答案：南偏東60°，北偏西60&