集合概念及集合上的運算

1、第一講集合概念及集合上的運算知識、方法、技能高中一年級數(shù)學(xué)（上）（試驗本）課本中給出了集合的概念；一般地，符合某種條件（或 具有某種性質(zhì)）的對象集中在一起就成為一個集合在此基礎(chǔ)上，介紹了集合的元素的確定性、互異性、無序性深入地逐步給出了有限集、無限集，集合的列舉法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、補(bǔ)集、并集等十 余個新名詞或概念以及二十幾個新符號由此形成了在集合上的運算問題，形成了以集合為背景的題目和用集合表示空間的線面及其關(guān)系，表面平面軌跡及其關(guān)系，表示充要條件，描述 排列組合，用集合的性質(zhì)進(jìn)行組合計數(shù)等綜合型題目賽題精講I集合中待定元素的確定充分利用集合中元素的性質(zhì)和集合之間的

2、基本關(guān)系，往往能解決某些以集合為背景的高 中數(shù)學(xué)競賽題請看下述幾例.3 1 3 1例1 ：求點集（ x, y） | lg（x ylg x lg y中元素的個數(shù)39【思路分析】應(yīng)首先去對數(shù)將之化為代數(shù)方程來解之3 1 3 1【略解】由所設(shè)知x 0, y 0,及x yxy,91 1 | 1 1由平均值不等式，有x3 -y3 r33(x3) <3y3) (gxy當(dāng)且僅當(dāng)x'Jy3，即x"1"1 （虛根舍去）時，等號成立3993故所給點集僅有一個元素【評述】此題解方程中，應(yīng)用了不等式取等號的充要條件，是一種重要解題方法，應(yīng)注意掌 握之例 2 :已知 A=y|y=x2-

3、4x 3,x R, B=y|y = -x2 - 2x 2, x R 求 AB.【思路分析】先進(jìn)一步確定集合A、B【略解】y =（x -2）2 -1 一1,又 y - -（x 1）2 3 乞 3. A=y|y 一 -1, B =y|31,故 A 一 B 二y| -仁 廠劭【評述】此題應(yīng)避免如下錯誤解法:聯(lián)立方程組y =x? _4x +3,2丿2消去y，2x 2x + 1=0.因方程無實根，故 AcB = 0.y = x 2x +2.這里的錯因是將 a、b的元素誤解為平面上的點了.這兩條拋物線沒有交點是實數(shù).但這不是拋物線的值域.例 3 :已知集合 A =( x,y) II x| | y>a

4、,a . 0, B =( x, y) | xy | 仁| x | y |.若A - B是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合，則a的值為.【思路分析】可作圖，以數(shù)形結(jié)合法來解之.【略解】點集A是頂點為(a，0)，(0, a)，(- a, 0), ( 0, a)的正方形的四條邊構(gòu)成(如圖I 1 1 1).將I xy| 1 =|x| y|，變形為(| x| -1)(| y | -1) = 0,所以，集合B是由四條直線x = _1, y = _1構(gòu)成.欲使A - B為正八邊形的頂點所構(gòu)成，只有a2或1 ： a : 2這兩種情況.圖I - 1 1 1(1)當(dāng)a 2時，由于正八形的邊長只能為2，顯然有.2a

5、-2. 2 =2,故 a =22.(2)當(dāng)1 :：: a : 2時，設(shè)正八形邊長為I，則2 I/-Icos45,丨=2一2-2,2這時，a =1 丄=2.2綜上所述，a的值為22或2,如圖 I 1 1 1 中 A( .2,0), B(2.2,0).【評述】上述兩題均為1987年全國高中聯(lián)賽試題，題目并不難，讀者應(yīng)從解題過程中體會此類題目的解法.n.集合之間的基本關(guān)系充分應(yīng)用集合之間的基本關(guān)系(即子、交、并、補(bǔ))，往往能形成一些頗具技巧的集合綜合題.請看下述幾例.n1n 1例 4:設(shè)集合 A =-| n Z, B 二n |n Z, C = n | n Z, D = |n Z,則 223 6在下列

6、關(guān)系中，成立的是()B. A 一 B = ,CD 二A = B C,C 二 DD. A B = B, C - D = 1 2n+1n 1 2n+1【思路分析】應(yīng)注意數(shù)的特征，即 n 丄丄二n Z.2 2366n1n1【解法 1】：A =| n Z, B 叫n |n Z, C =n | n Z, D =| n Z,2236二 A = B C,C：_ D .故應(yīng)選 C.【解法2】如果把A、B、C、D與角的集合相對應(yīng)，令 n兀，兀n兀兀A =| n Z, B 二n二 | nZ, C =n | n Z, D =| n Z.2 2結(jié)論仍然不變，顯然 A '為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合,36B

7、9;為終邊在x軸上的角的集合，C '為終邊在y軸上的角的集合，D'為終邊在y軸上及在直線yx上的角的集3合，故應(yīng)選(C).【評述】解法1是直接法，解法2運用轉(zhuǎn)化思想把已知的四個集合的元素轉(zhuǎn)化為我們熟悉的 的角的集合，研究角的終邊，思路清晰易懂，實屬巧思妙解 例 5:設(shè)有集合 A 二x|x2 -x =2和B 二x|x|： 2,求A 一 B和A_.B (其中x表示不超過實數(shù)x之值的最大整數(shù)).【思路分析】應(yīng)首先確定集合A與B.從而 1x2.顯然,2 A 二 A B =x| -2 :： x 乞 2.若 x A - B,則x2 二x2,x 1,0,-1,-2,從而得出 x= 3(x=1

8、)或x - -1(x - -1).于是 A B=-1, .3【評述】此題中集合 B中元素x滿足“ |x|<3”時，會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果，讀者試解之.2例 6:設(shè) f(x)=x bx c(b,c R),且A =x| x = f (x),x R, B =x | x = f f (x), x R,如果A為只含一個元素的集合，則A=B.【思路分析】應(yīng)從 A為只含一個元素的集合入手，即從方程f(X)- X =0有重根來解之.【略解】設(shè) A =IR,則方程f (x) -x =0有重根，于是f (x) - x二(x-)2,f (x) =(x - - )2X.從而x = f f (x),即 x = (x

9、八)2 (x - - )2 (x - - )2 x,整理得(x -)2(X -1)2 1 = 0,因X,均為實數(shù)(x - :1)21 - 0,故x =.即 B =: = A.【評述】此類函數(shù)方程問題，應(yīng)注意將之轉(zhuǎn)化為一般方程來解之例 7 :已知 M =(x,y) I y _x2, N =(x,y) |x2 (y-a)2 乞 1.求 M - N=N 成立時，a 需滿足的充要條件.【思路分析】由M - N二N,可知N M.【略解】 M - N = N二N二M .由 x2 (y - a)2 乞 1 得x2 < y - y2 (2a -1)y (1 - a2).于是,若一y2(2a -1)y(1

10、 a2)乞 02 2必有y _x2,即NM.而成立的條件是-0,_4(1 _a ) _(2a _1) y m a x_-4即 4(1 a2) (2a -1)2 豈0, 解得 a -1-.4【評述】此類求參數(shù)范圍的問題，應(yīng)注意利用集合的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題來求解例8:設(shè)A、B是坐標(biāo)平面上的兩個點集，Cr二(x,y) |x2 y2 - r2.右對任何r _ 0都有CrA - Cr B，則必有A B.此命題是否正確?【思路分析】要想說明一個命題不正確，只需舉出一個反例即可【略解】不正確.反例：取a =( x, y) | x2 y2 < 1, B為A去掉(0, 0)后的集合.容易看出Cr

11、A二CrB,但A不包含在B中.【評述】本題這種舉反例判定命題的正確與否的方法十分重要，應(yīng)注意掌握之 川.有限集合中元素的個數(shù)有限集合元素的個數(shù)在課本P23介紹了如下性質(zhì)：一般地，對任意兩個有限集合A、B，有card (A - B)二 card (A) card (B) - card (AB).我們還可將之推廣為：一般地，對任意n個有限集合 A,A2,，代，有card(A - A2 -人-An - An)= card (A) card(A2) card(A3)：；川 card(An) -card (A A2) card(A AJ亠亠card (Ai-An)川冷card (Anj'An)c

12、ard (Ai一A2_A3)亠card (An j'Ani'An)n 1【(-1)card(A - A3 - An).應(yīng)用上述結(jié)論，可解決一類求有限集合元素個數(shù)問題【例9】某班期末對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科總評成績有21個優(yōu)秀，物理總評19人優(yōu)秀，化學(xué)總評有20人優(yōu)秀，數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有9人，物理和化學(xué)都優(yōu)秀的有7人，化學(xué)和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有8人，試確定全班人數(shù)以及僅數(shù)字、僅物理、僅化學(xué)單科優(yōu)秀的人數(shù)范圍(該 班有5名學(xué)生沒有任一科是優(yōu)秀)【思路分析】應(yīng)首先確定集合，以便進(jìn)行計算【詳解】設(shè)A=數(shù)學(xué)總評優(yōu)秀的學(xué)生，B=物理總評優(yōu)秀的學(xué)生，C=化學(xué)總評優(yōu)秀的學(xué)生.則 card (A) =

13、21,card (B) =19,card (C) = 20,card (A 一 B) =9,card (B 一 C) = 7, card (C 一 A) =8. t card(A B C) = card(A) card (B) card (C) -card (A 一 B) - card(B 一 C) - card (C 一 A)card (A 一 B 一 C),/ card (A B 一 C) card (A 一 B 一 C) = 21 19 20 9 8 = 36.這里，card (A B _ C)是數(shù)、理、化中至少一門是優(yōu)秀的人數(shù)，card(A、B' C)是這三科全優(yōu)的人數(shù).可見，

14、估計card (A 一 B C)的范圍的問題與估計 card (A ' B ' C)的范 圍有關(guān).注意到 card (AB " C)乞 min card (A ' B),card (BC), card (CA) = 7，可知0 - card (AB 一 C) _ 7 .因而可得 36 一 card (A 一 B C) _ 43.又t card (A 一 B _ C) card(A 一 B 一 C)二 card (U),其中 card(A 一 B 一 C)二 5. 41乞card (U )乞48.這表明全班人數(shù)在 4148人之間.僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)是 card (

15、A、B-C).- card (AB - C)二 card(A 一 B - C) -card(B 一 C)二 card (A 一 B - C) -card(B)-card (C) card (B " C)二 card (A - B - C) -32.可見4豈card(A 一百一乙)乞11,同理可知 3乞card(B 一 A-"C10,5 遼card(C ' B - A) <12.故僅數(shù)學(xué)單科優(yōu)秀的學(xué)生在411之間，僅物理單科優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)在310之間，僅化學(xué)5 / 6單科優(yōu)秀的學(xué)生在 512人之間.【評述】根據(jù)題意，設(shè)計這些具有單一性質(zhì)的集合，列出已知數(shù)據(jù)，并把問

16、題用集合中元素 數(shù)目的符號準(zhǔn)確地提出來，在此基礎(chǔ)上引用有關(guān)運算公式計算，這是解本題這類計數(shù)問題的 一般過程針對性練習(xí)題1. 設(shè)S=1 , 2,，n , A為至少含有兩項的、公差為正的等差數(shù)列，其項都在S中，且添加S的其他元素于 A后均不能構(gòu)成與 A有相同公差的等差數(shù)列求這種A的個數(shù)，(這 里只有兩項的數(shù)列也看做等差數(shù)列)2. 設(shè)集合Sn=1 , 2,，n，若X是Sn的子集，把X中的所有數(shù)的和為 X的“容量”.(規(guī)定空集的容量為0),若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱 X為Sn的奇(偶)子集(1) 求證：Sn的奇子集與偶子集個數(shù)相等(2) 求證：當(dāng)n _3時，Sn的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等(3) 當(dāng)n _3時，求Sn的所有奇子集的容量之和3. 設(shè)M=1 , 2, 3,，1995, A是M的子集且滿足條件：當(dāng) X，A時，15' A，貝U A中元素的個數(shù)最多是多少個 14集合x| -Ilog1 10 ,xN*的真子集的個數(shù)是多少個？X2k.5.