初中數學競賽標準教程及練習動態(tài)幾何的定值

1、初中數學競賽精品標準教程及練習(63)動態(tài)幾何的定值一、內容提要1. 動態(tài)幾何是指用運動的觀點研究幾何圖形的位置、大小的相互關系.用動的觀點看幾何定理，常可把幾個定理歸為一類.例如： 梯形的中位線，當梯形的上底逐漸變小，直到長度為零時，則為三角形的中位線； 兩圓相交，兩個公共點關于連心線對稱，所以連心線垂直平分公共弦，當兩個交點距離逐漸變小，直到兩點重合時，則兩圓相切，這時切點在連心線上； 相交弦定理由于交點位置、個數的變化，而演變?yōu)楦罹€定理，切割線定理，切線長定理等等.2. 動態(tài)幾何的軌跡、極值和定值.幾何圖形按一定條件運動，有的幾何量隨著運動的變化而有規(guī)律變化，這就出現了軌跡和極值問題，而

2、有的量卻始終保持不變，這就是定值問題.例如：半徑等于RA的圓A與半徑為RB(RB>RA)的定圓B內切.那么：動點A有規(guī)律地變化，形成了一條軌跡：以B為圓心，以RBRA的長為半徑的圓.而A，B兩點的距離，卻始終保持不變：AB=RBRA.若另有一個半徑為RC的圓 C與圓B外切，則A，C兩點的距離變化有一定的范圍： RB+RC(RBRA)ACRB+RC+(RBRA).即RC+RAAC2RB+RCRA . 所以AC有最大值：2RB+RCRA ； 且有最小值：RC+RA.3. 解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種： 第一種是分兩步完成 ： 先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示. 再證明它能成立

3、.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明. 第二種是采用綜合法，直接寫出證明.二、例題例1.已知：ABC中，ABAC，點P是BC上任一點，過點P作BC的垂線分別交AB，AC或延長線于E，F.求證：PEPF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法. 把點P放在BC中點上.這時過點P的垂線與AB，AC的交點都是點A，PEPF2PA，從而可確定定值是底上的高的2倍.DAEBPCF因此原題可轉化：求證：PAPB2AD（AD為底邊上的高）.證明：ADPF，；.BCFPA即.PEPF2AD. 把點P放在點B上.這時PE0，PF2AD（三角形中位線性質），結論與

4、相同.還可以由PFBC×tanC，把定值定為：BC×tanC.即求證PEPFBC×tanC.（證明略）同一道題的定值，可以有不同的表達式，只要是用題中固有的幾何量表示均可.例2.已知：同心圓為O中，AB是大圓的直徑，點P在小圓上求證：PA2PB2有定值.分析：用特位定值法.設大圓，小圓半徑分別為R，r. 點P放在直徑AB上.得PA2PB2（Rr）2（. Rr）22（R2r2）. 點P放在與直徑AB垂直的另一條直徑上也可得PA2PB2 R2r2R2r22（R2r2）.證明：設POA，根據余弦定理，得PA2R2r22RrCos，PB2R2r22RrCos(180).C

5、os(180)Cos.PA2PB22（R2r2）.本題一般知道定值是用兩個圓的半徑來表示的，所以可省去探求定值的步驟，直接列出PA，PB與R,r的關系式，關鍵是引入參數.例3.已知：ABC中，ABAC，點P在中位線MN上，BP，CP的延長線分別交AC，AB于E，F.求證：有定值，分析： 本題沒有明顯的特殊位置，不過定值一般是用三角形邊長a,b,c來表示的, 為便于計算引入參數t, 用計算法證明.證明：設MP為t, 則NP=at.MNBC，.即；=c 是定線段，是定值.即有定值.例4.已知：在以AB為弦的弓形劣弧上取一點M(不包括A、B兩點)，以M為圓心作圓M和AB相切，分別過A，B作M的切線，

6、兩條切線相交于點C.求證：ACB有定值.分析：M是ABC的內切圓，AMB是以定線段AB為弦的定弧所含的圓周角，它是個定角.(由正弦定理SinAMB=)，所求定值可用它來表示.證明：在ABC中，MAB+MBA=180AMB，M是ABC的內心，CAB+CBA=2(180AMB).ACB=180（CAB+CBA）=1802(180AMB)= 2AMB180.由正弦定理，SinAMB=.弧AB所在圓是個定圓，弦AB和半徑R都有定值，AMB有定值.ACB有定值2AMB180.三、練習631.用固有的元素表示下列各題中所求的定值(不寫探求過程和證明)：.等腰三角形底邊上的任一點到兩腰距離的和有定值是_.等

7、邊三角形內的任一點到三邊距離的和有定值是.正n邊形內的任一點到各邊距離的和有定值是.延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊，相交得五個角：B1，B2，B3，B4，B5它們的度數和是_，延長凸n邊形(n5)的各邊相交，得n個角，它們的度數和是_.兩個定圓相交于A，B，經過點B任意作一條直線交 一圓于C，交另一圓于D，則有定值是_.在以AB為直徑的半圓內，任取一點P，AP，BP的延長線分別交半圓于C，D，則AP×AC+BP×BD有定值是.AB是定圓O的任意的一條弦，點P是劣弧AB上的任一點(不含A和B)，PA，PB分別交AB的中垂線于E，F.則OE×OF有定值是_.2

8、.已知：點P是O直徑AB上的任一點，過點P的弦CD和AB相交所成的銳角45.求證：PC2+PD2有定值.3.已知：點O是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，點P在BC的延長線上，PDBA交BA延長線于D，PEAC交AC的延長線于E.求證：DOE是定角4.已知：點P是線段AB外一點，PDAB于D，且PD=AB，H是PAB的垂心，C是AB的中點.求證：CH+DH是定值.5.已知：AB，CD是O的兩條直徑，點P是O上任一點(不含A，B，C，D).求證：點P在AB，CD的射影之間的距離是個定值.6.經過XOY的平分線上的任一點A，作一直線與OX，OY分別交于P，Q則OP，OQ的倒數和是一個定值.7.

9、ABC中，AB=AC=2，BC邊有100個不同點P1，P2，P100，記mi=APi2+Bpi×PiC (i=1,2,3,100).則m1+m2+m100=. 8. 直角梯形ABCD中，ABCD，DAAB，AB26cm,CD=24cm,AD=8cm,有兩個動點P和Q，點P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移動，點Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移動.問時間t經過幾秒時，BCPQ為平行四邊形？等腰梯形？PQ與以AD為直徑的圓O相切？相離？相交？練習63參考答案：1腰上的高.一邊上的高或3r3 . nrn. 180度，(n4)180度.兩圓半徑比.AB2 O的半徑的平方.2.定值是AB平方的一半，證RtCOMRtOB