參數(shù)方程化普通方程

1、參數(shù)方程化普通方程 重點(diǎn)難點(diǎn)掌握參數(shù)方程化普通方程的方法，理解參數(shù)方程和消去參數(shù)后所得的普通方程的等價(jià)性；應(yīng)明確新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力。 例題分析1把參數(shù)方程化為普通方程(1)(R，為參數(shù)) 解: y=2+1-2sin2, 把sin=x代入， y=3-2x2,又 |sin|1, |cos2|1, |x|1, 1y3, 所求方程為y=-2x2+3 (-1x1, 1y3) (2)(R，為參數(shù)） 解: x2=(sin+cos)2=1+2sincos，把y=sincos代入， x2=1+2y。 又 x=sin+cos=sin(+)y=sincos=sin2 |x|，|

2、y|。 所求方程為x2=1+2y (|x|, |y|) 小結(jié):上述兩個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，都是利用三角恒等式進(jìn)行消參。消參過(guò)程中都應(yīng)注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)分別給出x, y的范圍。在這過(guò)程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過(guò)程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法。 (3)(t1, t為參數(shù)) 法一:注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因而可以采取加減消參的辦法。 x+y=1,又x=-1-1，y=2, 所求方程為x+y=1 (x-1, y2)。 法二:其實(shí)只要把t用x或y表示，再代入另一表達(dá)式即可。由x=, x+xt=1-t, (x+1)t=1-x，即t=代入y=1-x， x+y=1，（其余略）

3、這種方法稱為代入消參，這是非常重要的消參方法，其它不少方法都可以看到代入消參的思想。 (4)(t為參數(shù)) 分析:此題是上題的變式，僅僅是把t換成t2而已，因而消參方法依舊，但帶來(lái)的變化是范圍的改變，可用兩種求值域的方法: 法一:x=-1, t20, t2+11, 0<1, -1<-11, -1<x1。 法二:解得t2=0, -1<x1,同理可得出y的范圍。 (5) (t為參數(shù)) 分析:現(xiàn)在綜合運(yùn)用上述各種方法進(jìn)行消參，首先，求x,y范圍。 由x=得x2=0, -1<x1,由y=, t=0時(shí)，y=0； t0時(shí)，|y|=1，從而|y|1。 法一:注意到分子，分母的結(jié)構(gòu)

4、，采用平方消參， x2+y2=()2+()2=1。 法二:關(guān)鍵能不能用x, y表示t，且形式簡(jiǎn)單由x=得t2=，代入y=t(1+x) t=再代入x=，化簡(jiǎn)得x2+y2=1。 法三:注意到表達(dá)式與三角中萬(wàn)能公式非常相象 可令t=tg，(-)，x=cos2,y=sin2, x2+y2=1，又2(-,)， -1<x=cos21, -1y=sin21,所求方程為x2+y2=1(x-1)。 2已知圓錐曲線方程是 1）若t為參數(shù)，為常數(shù)，求它的普通方程，并求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。 2）若為參數(shù)，t為常數(shù)，求它的普通方程，并求它的離心率e。 解:1）由已知，由(1) 得t=代入(2) y-4sin+5=

5、-6·(x-5cos-1)2=-(y-4sin+5)為頂點(diǎn)在(5cos+1,4sin-5)開(kāi)口向下的拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=。 2）由已知 =1，表示中心在(3t+1, -6t2-5)的橢圓，其中a=5, b=4, c=3， e=。 分析:從上題可以看出，所指定參數(shù)不同，方程所表示的曲線也各不相同。從而給出參數(shù)方程一般應(yīng)指明所取參數(shù)。 3拋物線y2=4p(x+p)(p>0)，過(guò)原點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別被拋物線截得線段為AB，CD，M為AB中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)，G為MN中點(diǎn)。求G點(diǎn)軌跡方程，并說(shuō)明其圖形。 解:設(shè)AB方程為y=kx代入拋物線方程y2=4p(x+p) k2x2

6、-4px-4p2=0, 若A，B坐標(biāo)為(x1, y1), (x2, y2) 則 xM=, yM=, ABCD, CD方程為y=-x，代入y2=4p(x+p)， x2-4px-4p2=0，設(shè)C(x3, y3),D(x4,y4) N(2pk2, -2pk) 則G點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)為 y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)x=p(k2+)p·2=2p，而yR在方程中都已體現(xiàn)， 軌跡方程為y2=p(x-2p)為頂點(diǎn)(2p,0)開(kāi)口向右的拋物線。 說(shuō)明:消參一般應(yīng)分別給出x,y的范圍，而二題中變量的范圍已體現(xiàn)在方程之中。在某些特殊情況，消參之后給出x,y的范圍也不能說(shuō)明原曲線的軌

7、跡，這時(shí)應(yīng)用語(yǔ)言作補(bǔ)充說(shuō)明。如方程 0,，是個(gè)圓，但消參之后得x2+y2=1(|x|1, |y|1)卻無(wú)法說(shuō)明這一點(diǎn)。在線測(cè)試窗體頂端選擇題1曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則方程所表示的曲線為（） A、射線B、線段C、雙曲線的一支D、拋物線 窗體底端窗體頂端2參數(shù)方程（為參數(shù)，且0<2）所表示的曲線是（）. A、橢圓的一部分B、雙曲線的一部分 C、拋物線的一部分，且過(guò)(-1，)點(diǎn)D、拋物線的一部分，且過(guò)(1，)點(diǎn) 窗體底端窗體頂端3已知直線l的參數(shù)方程為則直線l的傾斜角為（） A、B、C、D、 窗體底端窗體頂端4拋物線（t為參數(shù)）的準(zhǔn)線方程是（） A、x=3B、x=-1C、y=0D、y=-

8、2 窗體底端窗體頂端5彈道曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，v0，g為常數(shù)）當(dāng)炮彈到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，炮彈飛行的水平距離是（） A、B、C、D、 窗體底端答案與解析 答案：1、B 2、D 3、D 4、D 5、C解析：（1） x=cos20，1，y=1-cos2=1-x， x+y-1=0， x0，1為一條線段。故本題應(yīng)選B。 （3）本題認(rèn)為直線l的傾斜角是是不對(duì)的，因?yàn)橹挥挟?dāng)直線的參數(shù)方程為：（其中t為參數(shù)），其中的才是直線的傾斜角，消去參數(shù)t，化參數(shù)方程為普通方程后，再求直線l的傾斜角是可以的。但直線l的傾斜角適合tan=，這里只要把兩個(gè)方程相除就可得：， tan=-，又0<， =。故本題應(yīng)選D。

9、（4）化參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程，得(x-2)2=4(y+1)，其準(zhǔn)線方程為y=-1=-2。故本題應(yīng)選D。 （5）由y=v0tsin-知，當(dāng)炮彈到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，t=，代入x=v0tcos，得x=v0cos·。故本題應(yīng)選C。參數(shù)方程、極坐標(biāo)·疑難辨析 參數(shù)方程是曲線與方程理論的發(fā)展，極坐標(biāo)是坐標(biāo)法的延伸參數(shù)方程的基本概念與極坐標(biāo)系的理論是本章的重點(diǎn)參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得的普通方程同解性的判定、極坐標(biāo)方程與曲線的基本理論是本章的難點(diǎn)與疑點(diǎn)弄清這兩個(gè)難點(diǎn)，把握參數(shù)法變與不變矛盾的統(tǒng)一的思想是學(xué)好本章的關(guān)鍵 把握求軌跡方程的參數(shù)法的基本思路和消參數(shù)的基本方法，重視消參數(shù)前后x、y的取

10、值范圍的變化是保證軌跡完備性、純粹性的關(guān)鍵弄清一點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表達(dá)式：（(-1)n，+n），（nZ）和極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化是運(yùn)用極坐標(biāo)解決問(wèn)題的基本功 題1下列參數(shù)方程（t是參數(shù)）中方程y2=x表示同一曲線的是（ ） 【疑難或錯(cuò)解】參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得的普通方程是否表示同一曲線的判定是一難點(diǎn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于判定方程的同解性方程的同解性原是代數(shù)中的難點(diǎn)，加上參數(shù)方程中出現(xiàn)的函數(shù)不局限于代數(shù)函數(shù)，其困難就更大了本題各個(gè)參數(shù)方程消去參數(shù)后所得普通方程都是y2=x，更增加迷惑性，因而誤選A、B、C都有 【剖析】從A、B、C、D消去參數(shù)t后所得的普通方程都是y2=x但在A中y=t20，這與y2=x

11、中y的允許值范圍yR不一致，故A應(yīng)排除在B中，x=sin2t0，x0，1與y=sint-1，1與方程y2=x中的x，y取值范圍不一致，故B也應(yīng)排除 中的x0，+)，yR完全相同，所以D中參數(shù)方程與y2=x同解，應(yīng)選D 【點(diǎn)評(píng)】參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得普通方程是否同解的判定，涉及函數(shù)定義域與值域的研究而無(wú)通法可循，只能根據(jù)參數(shù)方程通方程F(x，y)=0中x，y的允許值范圍（即方程F(x，y)=0的定義域）是否一致來(lái)判斷僅根據(jù)消去參數(shù)后所得的普通方程F(x，y)=0的外形來(lái)判定，常易失誤 表示的曲線是（ ）A圓B半圓C四分之一圓D以上都不對(duì) 消去，得x2+y2=1，未分析x，y的取值范圍，即斷言表

12、示的曲線為圓，而誤選A 時(shí)t不存在，所以消去t后方程x2+y2=1中x-1，即在圓x2+y2=1中應(yīng)除去一點(diǎn)（-1，0）所以此參數(shù)方程表示的曲線為單位圓x2+y2=1上除去一點(diǎn)（-1，0）在普通方程x2+y2=1中應(yīng)注明x(-1，1應(yīng)選D 為參數(shù))交于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB| 【疑難或錯(cuò)解】以直線的參數(shù)方程代入雙曲線的普通方程(y-2)2-x2=1，有(-4t)2-(-1+3t)2=1，即7t2+6t-2=0方程的兩個(gè)根分別為t1=PA，t2=PB，其中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，2） 方程的兩個(gè)根： 錯(cuò)解混淆了直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型中參數(shù)t的幾何意義在標(biāo)準(zhǔn)型中，P（x0，y0）為直線上的定

13、點(diǎn)，Q（x，y）為直線上任意一點(diǎn)，則t表示有向線段PQ的數(shù)量（規(guī)定直線向上、向右為正方向）這一結(jié)論不適用于非標(biāo)準(zhǔn)型因此運(yùn)用直線參數(shù)方程求二次曲線的弦長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)先將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)型，否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤 將雙曲線方程化為普通方程： (y-2)2-x2=1 方程的兩個(gè)根分別為t1=PA，t2=PB,【點(diǎn)評(píng)】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2） 的定點(diǎn)， 故x1-x2=a(t1-t2)，y1-y2=b(t1-t2)，(x1-x2)2+(y1-y2)2=(a2+b2)(t1-t2)2 利用這一結(jié)果也可求|AB|之長(zhǎng)，結(jié)果與正解同 所以此曲線為以為端點(diǎn)的線段。 【點(diǎn)評(píng)】消去參數(shù)過(guò)程中不

14、分析x，y的取值范圍，導(dǎo)致軌跡純粹性受破壞 【剖析】錯(cuò)解僅考慮ab0的情況，而忽視ab=0的情形，因而解答不完整ab=0時(shí)，有a=0，b0；a0，b=0；a=0，b=0三種情況，應(yīng)逐一進(jìn)行討論 【正確】當(dāng)ab0時(shí)，如上解有 當(dāng)ab=0時(shí)，有下列三種情形：（1）a=0，b0時(shí)，原方程為此時(shí)，曲線為y軸（含原點(diǎn)） （2）a0，b=0，原方程為|x|a|，即x|a|或x-|a|消去t，得普通方程為y=0，x(-，-|a|a|，+)此時(shí)曲線為x軸上的兩條射線，端點(diǎn)分別為(|a|，0)指向正半軸；(-|a|，0)指向負(fù)半軸 【點(diǎn)評(píng)】消去參數(shù)過(guò)程中不注意方程中x，y的取值范圍，對(duì)任意常數(shù)a，b的可能情況不

15、分別討論是導(dǎo)致失誤的主要原因 （t為參數(shù)）問(wèn)l1與12是否表示同一曲線？為什么？ 【疑難或錯(cuò)解】l1： 未對(duì)x，y的取值范圍進(jìn)行分析，根據(jù)兩曲線的普通方程，即斷言l1和l2表示同一直線，焉能不失誤 【剖析】在曲線l1的參數(shù)方程中，x=1+cos2=2cos20，2，消去參數(shù)所得的普通方程2x-y+1=0中x0，2，所以曲線l1為以（0，1）與（2，5）為端點(diǎn)的線段只l2，所以l1、l2不是同一條曲線 【點(diǎn)評(píng)】在曲線l1消去參數(shù)時(shí)，未分析x的取值范圍，破壞了軌跡的純粹性，是導(dǎo)致失誤的主要原因 A20°B70°C110°D160° 而誤選（A） （D） 還有

16、將原方程化為而無(wú)法作出判斷 【剖析】 上述疑難的根源在于對(duì)直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)型概念模糊所致在直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型： sin0，故當(dāng)a0，b0，且a2+b2=1時(shí)，才是標(biāo)準(zhǔn)型 等都不是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型，由此推出的直線的傾斜角都是錯(cuò)的。欲將其化為標(biāo)準(zhǔn)型，應(yīng)將x=tsin20°+3化為x=3+(-t)sin(-20°)=3+(-t)cos(90°+20°)即x=3+(-t)cos110°，y=(-t)sin(90°+20°)=(-t)sin110° 這才是此直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型，此直線傾斜角為110°，應(yīng)選C 傾斜率為110°，無(wú)須化為標(biāo)準(zhǔn)型另外結(jié)合直線的圖像，過(guò)點(diǎn)（3，0）、（3+sin20°，-cos20°）。所以直線的傾斜角為鈍角，排除A、B，又由cos20°sin20°，可知傾斜角160°，排除D，而選C誠(chéng)如華羅庚所說(shuō)：“不可得義忘形”，形義結(jié)合，?？煽焖佾@解。 B兩點(diǎn)，試求|PA|+|PB|之值 【疑難或錯(cuò)解】直線l的參數(shù)方程為 代入橢圓方程，得 方程的兩個(gè)根分別為