史密斯圓圖原理

1、在 處理RF系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，總會(huì)遇到一些非常困難的工作，對(duì)各部分級(jí)聯(lián)電路的不同阻抗進(jìn)行匹配就是其中之一一般情況下，需要進(jìn)行匹配的電路包括天線(xiàn)與 低噪聲放大器(LNA)之間的匹配功率放大器輸出(RFOUT)與天線(xiàn)之間的匹配LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配匹配的目的是為了保證信號(hào)或能 量有效地從信號(hào)源傳送到負(fù)載。在高頻端，寄生元件(比如連線(xiàn)上的電感板層之間的電容和導(dǎo)體的電阻)對(duì)匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的不可預(yù)知的影響頻率在數(shù)十兆赫茲以上時(shí)，理論計(jì)算和仿真已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不 能滿(mǎn)足要求，為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果，還必須考慮在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行的RF測(cè)試并進(jìn)行適當(dāng)調(diào)諧需要用計(jì)算值確定電路的結(jié)構(gòu)類(lèi)型和相應(yīng)的目標(biāo)元

2、件值。有很多種阻抗匹配的方法，包括· 計(jì)算機(jī)仿真： 由于這類(lèi)軟件是為不同功能設(shè)計(jì)的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起來(lái)比較復(fù)雜設(shè)計(jì)者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)人員還需要具有從大量的輸出結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能另外，除非計(jì)算機(jī)是專(zhuān)門(mén)為這個(gè)用途制造的，否則電路仿真軟件不可能預(yù)裝在計(jì)算機(jī)上· 手工計(jì)算： 這是一種極其繁瑣的方法，因?yàn)樾枰玫捷^長(zhǎng)(幾公里)的計(jì)算公式并且被處理的數(shù)據(jù)多為復(fù)數(shù)· 經(jīng)驗(yàn)： 只有在RF領(lǐng)域工作過(guò)多年的人才能使用這種方法總之，它只適合于資深的專(zhuān)家· 史密斯圓圖：本文要重點(diǎn)討論的內(nèi)容本文的主要目的是復(fù)

3、習(xí)史密斯圓圖的結(jié)構(gòu)和背景知識(shí)，并且總結(jié)它在實(shí)際中的應(yīng)用方法討論的主題包括參數(shù)的實(shí)際范例，比如找出匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值當(dāng)然，史密斯圓圖不僅能夠?yàn)槲覀冋页鲎畲蠊β蕚鬏數(shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò)，還能幫助設(shè)計(jì)者優(yōu)化噪聲系數(shù)，確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進(jìn)行穩(wěn)定性分析圖1. 阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ)基礎(chǔ)知識(shí)在介紹史密斯圓圖的使用之前，最好回顧一下RF環(huán)境下(大于100MHz) IC連線(xiàn)的電磁波傳播現(xiàn)象這對(duì)RS-485傳輸線(xiàn)PA和天線(xiàn)之間的連接LNA和下變頻器/混頻器之間的連接等應(yīng)用都是有效的大家都知道，要使信號(hào)源傳送到負(fù)載的功率最大，信號(hào)源阻抗必須等于負(fù)載的共軛阻抗，即：Rs + jXs = RL 

4、- jXL圖2. 表達(dá)式Rs + jXs = RL - jXL的等效圖在這個(gè)條件下，從信號(hào)源到負(fù)載傳輸?shù)哪芰孔畲罅硗猓瑸橛行鬏敼β?，滿(mǎn)足這個(gè)條件可以避免能量從負(fù)載反射到信號(hào)源，尤其是在諸如視頻傳輸RF或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此史密斯圓圖史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個(gè)圖正確的使用它，可以在不作任何計(jì)算的前提下得到一個(gè)表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿著圓周線(xiàn)讀取并跟蹤數(shù)據(jù)史密斯圓圖是反射系數(shù)(伽馬，以符號(hào)表示)的極座標(biāo)圖反射系數(shù)也可以從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù)，即s11史密斯圓圖是通過(guò)驗(yàn)證阻抗匹配的負(fù)載產(chǎn)生的這里我們不直接考慮阻抗

5、，而是用反射系數(shù)L，反射系數(shù)可以反映負(fù)載的特性(如導(dǎo)納增益跨導(dǎo))，在處理RF頻率的問(wèn)題時(shí)L更加有用我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比：圖3. 負(fù)載阻抗負(fù)載反射信號(hào)的強(qiáng)度取決于信號(hào)源阻抗與負(fù)載阻抗的失配程度反射系數(shù)的表達(dá)式定義為：由于阻抗是復(fù)數(shù)，反射系數(shù)也是復(fù)數(shù)為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)這里Z0 (特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù)，是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值，如5075100和600于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗：據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫(xiě)為：從上式我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系但是這個(gè)關(guān)系式是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以并不實(shí)用我

6、們可以把史密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形式(如圓或射線(xiàn))首先，由方程2.3求解出； 并且令等式2.5的實(shí)部和虛部相等，得到兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式：重新整理等式2.6，經(jīng)過(guò)等式2.8至2.13得到最終的方程2.14這個(gè)方程是在復(fù)平面(r, i)上圓的參數(shù)方程(x-a)2 + (y-b)² = R²，它以(r/r+1, 0)為圓心，半徑為1/1+r. 更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4a 圖4a. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同實(shí)部的阻抗例如，r = 1的圓，以(0.5, 0)為圓心，半徑為0.5它包含了代表反射零點(diǎn)的

7、原點(diǎn)(0, 0) (負(fù)載與特性阻抗相匹配）以(0, 0)為圓心半徑為1的圓代表負(fù)載短路負(fù)載開(kāi)路時(shí)，圓退化為一個(gè)點(diǎn)(以1, 0為圓心，半徑為零)與此對(duì)應(yīng)的是最大的反射系數(shù)1，即所有的入射波都被反射回來(lái) 在作史密斯圓圖時(shí)，有一些需要注意的問(wèn)題下面是最重要的幾個(gè)方面：· 所有的圓周只有一個(gè)相同的，唯一的交點(diǎn)(1, 0)· 代表0也就是沒(méi)有電阻(r = 0)的圓是最大的圓· 無(wú)限大的電阻對(duì)應(yīng)的圓退化為一個(gè)點(diǎn)(1, 0)· 實(shí)際中沒(méi)有負(fù)的電阻，如果出現(xiàn)負(fù)阻值，有可能產(chǎn)生振蕩· 選擇一個(gè)對(duì)應(yīng)于新電阻值的圓周就等于選擇了一個(gè)新的電阻作圖經(jīng)過(guò)等式2.

8、15至2.18的變換，2.7式可以推導(dǎo)出另一個(gè)參數(shù)方程，方程2.19同樣，2.19也是在復(fù)平面(r, i)上的圓的參數(shù)方程(x-a)² + (y-b)² = R²,它的圓心為(1, 1/x)，半徑1/x更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4b圖4b. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同虛部x的阻抗例如，x = 1的圓以(1, 1)為圓心，半徑為1所有的圓(x為常數(shù))都包括點(diǎn)(1, 0)與實(shí)部圓周不同的是，x既可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)這說(shuō)明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像所有圓的圓心都在一條經(jīng)過(guò)橫軸上1點(diǎn)的垂直線(xiàn)上完成圓圖為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起可以發(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會(huì)與另一簇圓周的所

9、有圓相交若已知阻抗為r + jx，只需要找到對(duì)應(yīng)于r和x的兩個(gè)圓周的交點(diǎn)就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù)可互換性上述過(guò)程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個(gè)圓周的交點(diǎn)從而讀取相應(yīng)的r和x的值過(guò)程如下：· 確定阻抗在史密斯圓圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)· 找到與此阻抗對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)()· 已知特性阻抗和，找出阻抗· 將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納· 找出等效的阻抗· 找出與反射系數(shù)對(duì)應(yīng)的元件值(尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件，見(jiàn)圖7)推論因?yàn)槭访芩箞A圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴(lài)于圖形的精度下面是一個(gè)用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實(shí)例：例： 已知特性阻抗為

10、50，負(fù)載阻抗如下：Z1 = 100 + j50Z2 = 75 - j100Z3 = j200Z4 = 150Z5 = (開(kāi)路)Z6 = 0 (短路)Z7 = 50Z8 = 184 - j900對(duì)上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中(見(jiàn)圖5)：z1 = 2 + jz2 = 1.5 - j2z3 = j4z4 = 3z5 = 8z6 = 0z7 = 1z8 = 3.68 - j18點(diǎn)擊看大圖(PDF, 502K)圖5. 史密斯圓圖上的點(diǎn)現(xiàn)在可

11、以通過(guò)圖5的圓圖直接解出反射系數(shù)畫(huà)出阻抗點(diǎn)(等阻抗圓和等電抗圓的交點(diǎn))，只要讀出它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實(shí)部r和虛部i (見(jiàn)圖6)該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)：1 = 0.4 + 0.2j2 = 0.51 - 0.4j3 = 0.875 + 0.48j4 = 0.55 = 16 = -17 = 08 = 0.96 - 0.1j 圖6. 從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)的實(shí)部和虛部用導(dǎo)納表示史 密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的一旦作

12、出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)可以添加新的串聯(lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓 周移動(dòng)到它們相應(yīng)的數(shù)值即可然而，增加并聯(lián)元件時(shí)分析過(guò)程就不是這么簡(jiǎn)單了，需要考慮其它的參數(shù)通常，利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件我們知道，根據(jù)定義Y = 1/Z，Z = 1/Y導(dǎo)納的單位是姆歐或者-1 (早些時(shí)候?qū)Ъ{的單位是西門(mén)子或S)并且，如果Z是復(fù)數(shù)，則Y也一定是復(fù)數(shù)所以Y = G + jB (2.20), 其中G叫作元件的電導(dǎo)，B稱(chēng)電納在演算的時(shí)候應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，按照似乎合乎邏輯的假設(shè)，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而實(shí)際情況并非如此，這樣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤用導(dǎo)納表示時(shí)

13、，第一件要做的事是歸一化， y = Y/Y0，得出y = g + jb但是如何計(jì)算反射系數(shù)呢？通過(guò)下面的式子進(jìn)行推導(dǎo)： 結(jié)果是G的表達(dá)式符號(hào)與z相反，并有(y) = -(z)如果知道z，就能通過(guò)將的符號(hào)取反找到一個(gè)與(0, 0)的距離相等但在反方向的點(diǎn)圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°可以得到同樣的結(jié)果(見(jiàn)圖7)圖7. 180°度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果當(dāng)然，表面上看新的點(diǎn)好像是一個(gè)不同的阻抗，實(shí)際上Z和1/Z表示的是同一個(gè)元件(在史密斯圓圖上，不同的值對(duì)應(yīng)不同的點(diǎn)并具有不同的反射系數(shù)，依次類(lèi)推)出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個(gè)阻抗圖，而新的點(diǎn)代表的是一個(gè)導(dǎo)納因此在圓圖上讀出的數(shù)值

14、單位是姆歐盡管用這種方法就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問(wèn)題時(shí)仍不適用導(dǎo)納圓圖在 前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以通過(guò)以復(fù)平面原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180°后得到與之對(duì)應(yīng)的導(dǎo)納點(diǎn)于是，將整個(gè)阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180°就得到了 導(dǎo)納圓圖這種方法十分方便，它使我們不用建立一個(gè)新圖所有圓周的交點(diǎn)(等電導(dǎo)圓和等電納圓)自然出現(xiàn)在點(diǎn)(-1, 0)使用導(dǎo)納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造：解這個(gè)方程接下來(lái)，令方程3.3的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個(gè)新的獨(dú)立的關(guān)系：從等式3.4，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：它也是復(fù)平面(r, i)上圓的參數(shù)方

15、程(x-a)² + (y-b) ² = R² (方程3.12)，以(-g/g+1, 0)為圓心，半徑為1/(1+g)從等式3.5，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：同樣得到(x-a)² + (y-b)² = R²型的參數(shù)方程(方程3.17)求解等效阻抗當(dāng)解決同時(shí)存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時(shí)，可以使用同一個(gè)史密斯圓圖，在需要進(jìn)行從z到y(tǒng)或從y到z的轉(zhuǎn)換時(shí)將圖形旋轉(zhuǎn)考慮圖8所示網(wǎng)絡(luò)(其中的元件以Z0 = 50進(jìn)行了歸一化)串聯(lián)電抗(x)對(duì)電感元件而言為正數(shù)，對(duì)電容元件而言為負(fù)數(shù)而電納(b)對(duì)電容元件而言為正數(shù)，對(duì)電感元件而言為負(fù)數(shù)圖8

16、. 一個(gè)多元件電路這個(gè)電路需要進(jìn)行簡(jiǎn)化(見(jiàn)圖9) 從最右邊開(kāi)始，有一個(gè)電阻和一個(gè)電感，數(shù)值都是1，我們可以在r = 1的圓周和I1的圓周的交點(diǎn)處得到一個(gè)串聯(lián)等效點(diǎn)，即點(diǎn)A下一個(gè)元件是并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖(將整個(gè)平面旋轉(zhuǎn)180°)，此時(shí)需要將前面的那個(gè)點(diǎn) 變成導(dǎo)納，記為A'現(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180°，于是我們?cè)趯?dǎo)納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導(dǎo)圓逆時(shí)針?lè)较?負(fù)值)移動(dòng)距離0.3，得到點(diǎn)B然后又是一個(gè) 串聯(lián)元件現(xiàn)在我們?cè)倩氐阶杩箞A圖圖9. 將圖8網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開(kāi)進(jìn)行分析在 返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成阻抗(此前是導(dǎo)納)，變換之后得到的點(diǎn)記為B'，

17、用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn)180°回到阻抗模式沿著電阻圓周移動(dòng) 距離1.4得到點(diǎn)C就增加了一個(gè)串聯(lián)元件，注意是逆時(shí)針移動(dòng)(負(fù)值)進(jìn)行同樣的操作可增加下一個(gè)元件(進(jìn)行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納)，沿著等電導(dǎo)圓順時(shí)針?lè)较?(因?yàn)槭钦?移動(dòng)指定的距離(1.1)這個(gè)點(diǎn)記為D最后，我們回到阻抗模式增加最后一個(gè)元件(串聯(lián)電感)于是我們得到所需的值，z，位于0.2電阻圓和 0.5電抗圓的交點(diǎn)至此，得出z = 0.2 + j0.5如果系統(tǒng)的特性阻抗是50，有Z = 10 + j25 (見(jiàn)圖10)點(diǎn)擊看大圖(PDF, 600K)圖10. 在史密斯圓圖上畫(huà)出的網(wǎng)絡(luò)元件逐步進(jìn)行阻抗匹配史密斯圓圖的另一個(gè)用處是進(jìn)行阻

18、抗匹配這和找出一個(gè)已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過(guò)程此時(shí)，兩端(通常是信號(hào)源和負(fù)載)阻抗是固定的，如圖11所示我們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個(gè)設(shè)計(jì)好的網(wǎng)絡(luò)已達(dá)到合適的阻抗匹配 圖11. 阻抗已知而元件未知的典型電路初看起來(lái)好像并不比找到等效阻抗復(fù)雜但是問(wèn)題在于有無(wú)限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類(lèi)似的效果，而且還需考慮其它因素(比如濾波器的結(jié)構(gòu)類(lèi)型品質(zhì)因數(shù)和有限的可選元件)實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件直到得到我們想要的阻抗從圖形上看，就是找到一條途徑來(lái)連接史密斯圓圖上的點(diǎn)同樣，說(shuō)明這種方法的最好辦法是給出一個(gè)實(shí)例我們的目標(biāo)是在60MHz工作頻率下匹配源阻抗(Z

19、S)和負(fù)載阻抗(zL) (見(jiàn)圖11)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通，L型(也可以把問(wèn)題看作是如何使負(fù)載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于ZS的阻抗，即ZS復(fù)共軛)下面是解的過(guò)程：點(diǎn)擊看大圖(PDF, 537K)圖12. 圖11的網(wǎng)絡(luò)，將其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)畫(huà)在史密斯圓圖上要做的第一件事是將各阻抗值歸一化如果沒(méi)有給出特性阻抗，選擇一個(gè)與負(fù)載/信號(hào)源的數(shù)值在同一量級(jí)的阻抗值假設(shè)Z0為50于是zS = 0.5 - j0.3, z*S = 0.5 + j0.3, ZL = 2 - j0.5下一步，在圖上標(biāo)出這兩個(gè)點(diǎn)，A代表zL，D代表z*S然后判別與負(fù)載連接的第一個(gè)元件(并聯(lián)電容)，先把zL轉(zhuǎn)化為導(dǎo)納，得到點(diǎn)

20、A'確 定連接電容C后下一個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)在圓弧上的位置由于不知道C的值，所以我們不知道具體的位置，然而我們確實(shí)知道移動(dòng)的方向并聯(lián)的電容應(yīng)該在導(dǎo)納圓圖上沿順時(shí)針 方向移動(dòng)直到找到對(duì)應(yīng)的數(shù)值，得到點(diǎn)B (導(dǎo)納)下一個(gè)元件是串聯(lián)元件，所以必需把B轉(zhuǎn)換到阻抗平面上去，得到B'B'必需和D位于同一個(gè)電阻圓上從圖形上看，從A'到D只有一條路徑，但是如果 要經(jīng)過(guò)中間的B點(diǎn)(也就是B')，就需要經(jīng)過(guò)多次的嘗試和檢驗(yàn)在找到點(diǎn)B和B'后，我們就能夠測(cè)量A'到B和B'到D的弧長(zhǎng)，前者就是C的歸一化電納值， 后者為L(zhǎng)的歸一化電抗值A(chǔ)'到B的弧長(zhǎng)為b =

21、 0.78，則B = 0.78 x Y0 = 0.0156姆歐因?yàn)镃 = B，所以C = B/ = B/(2 f) = 0.0156/(2 607) = 41.4pFB到D的弧長(zhǎng)為x = 1.2，于是X = 1.2 x Z0 = 60 由L = X, 得L = X/ = X/(2 f)= 60/(2 607) = 159nH圖13. MAX2472典型工作電路第二個(gè)例子是MAX2472的輸出匹配電路，匹配于50負(fù)載阻抗(zL)，工作品率為900MHz (圖14所示)該網(wǎng)絡(luò)采用與MAX2472數(shù)據(jù)資料相同的配置結(jié)構(gòu)，上圖給出了匹配網(wǎng)絡(luò)，

22、包括一個(gè)并聯(lián)電感和串聯(lián)電容，以下給出了匹配網(wǎng)絡(luò)元件值的查找過(guò)程圖14. 圖13所示網(wǎng)絡(luò)在史密斯圓a圖上的相應(yīng)工作點(diǎn)首先將S22散射參數(shù)轉(zhuǎn)換成等效的歸一化源阻抗MAX2472的Z0為50，S22 = 0.81/-29.4°轉(zhuǎn)換成zS = 1.4 - j3.2, zL = 1和zL* = 1下一步，在圓圖上定位兩個(gè)點(diǎn)，zS標(biāo)記為A，zL*標(biāo)記為D因?yàn)榕c信號(hào)源連接的是第一個(gè)元件是并聯(lián)電感，將源阻抗轉(zhuǎn)換成導(dǎo)納，得到點(diǎn)A 確定連接電感LMATCH后下一個(gè)點(diǎn)所在的圓弧，由于不知道LMATCH的數(shù)值，因此不能確定圓弧終止的位置但是，我們了解連接LMATCH并將其轉(zhuǎn)換成阻抗后，源阻抗應(yīng)該位于r = 1的圓周上由此，串聯(lián)電容后得到的阻抗應(yīng)該為z = 1 + j0以原點(diǎn)為中心，在r = 1的圓上旋轉(zhuǎn)180°，反射系數(shù)圓和等電納圓的交點(diǎn)結(jié)合A點(diǎn)可以得到B (導(dǎo)納)B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的阻抗為B點(diǎn)找到B和B'