無(wú)窮小量2009

1、第6講 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量授課題目無(wú)窮小量與無(wú)窮大量教學(xué)內(nèi)容1. 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念,2. 無(wú)窮?。ù螅┝侩A的比較，即高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、等階無(wú)窮小,3. 等階無(wú)窮小的替換定理，4. 曲線的漸近線5. 函數(shù)極限的歸結(jié)原理， 教學(xué)目的和要求通過(guò)本次課的教學(xué)，使學(xué)生能夠較好地掌握無(wú)窮小量與無(wú)窮大量以及它們的階數(shù)的概念，會(huì)對(duì)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量進(jìn)行比較；會(huì)利用等階無(wú)窮小的替換定理計(jì)算某些極限；會(huì)求曲線的漸近線對(duì)于成績(jī)較好的學(xué)生要求他們能理解函數(shù)極限的歸結(jié)原理。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：無(wú)窮小量比較，等階無(wú)窮小的替換定理；教學(xué)難點(diǎn)：無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的階數(shù)教學(xué)方法及教材處理提示(1) 

2、要強(qiáng)調(diào)無(wú)窮小量是一個(gè)以零為極限的函數(shù)（變量），而不是一個(gè)很小很小的常數(shù)。(2)本講的重點(diǎn)是等價(jià)無(wú)窮小量及其替換定理，著重講授常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小量及其它們?cè)跇O限計(jì)算中的應(yīng)用(3)窮小量與無(wú)窮大量以及它們的階數(shù)的概念是本講的難點(diǎn)，要求較好的學(xué)生會(huì)熟練使用“ ”與“ ”進(jìn)行運(yùn)算作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材 :1（3,4），2(2,3)，4(3),5（2,3），9.講授內(nèi)容一、無(wú)窮小量 與無(wú)窮小數(shù)列的概念相類似，我們給出關(guān)于函數(shù)為無(wú)窮小量的定義定義1 設(shè)在某內(nèi)有定義若，則稱為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量 若函數(shù)g在某內(nèi)有界，則稱g為當(dāng)時(shí)的有界量 類似地定義當(dāng)以及時(shí)的無(wú)窮小量與有界量例如，與都是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量，是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小

3、量,而為時(shí)的無(wú)窮小量.又如時(shí)當(dāng)時(shí)的有界量，是當(dāng)時(shí)的有界量性質(zhì)1兩個(gè)(相同類型的)無(wú)窮小量之和、差、積仍為無(wú)窮小量性質(zhì)2無(wú)窮小量與有界量的乘積為無(wú)窮小量例如，當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，為有界量，故由性質(zhì)2即得，函數(shù)的圖象如圖3-6所示.顯然推出如下結(jié)論:是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量.二、無(wú)窮小量階的比較無(wú)窮小量是以0為極限的函數(shù)，而不同的無(wú)窮小量收斂于0的速度有快有慢為此，我們考察兩個(gè)無(wú)窮小量的比，以便對(duì)它們的收斂速度作出判斷設(shè)當(dāng)時(shí)，與g均為無(wú)窮小量1若，則稱當(dāng)時(shí)為g的高階無(wú)窮小量,或稱g為的低階無(wú)窮小量，記作 . 特別，為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量記作 .由于故有 2若存在正數(shù)K和L，使得在某上有則稱與g為當(dāng)時(shí)的同階無(wú)窮小量

4、特別當(dāng)時(shí)，與g必為同階無(wú)窮小量 例如，當(dāng)時(shí)，與皆為無(wú)窮小量由于,所以與為當(dāng)時(shí)的同階無(wú)窮小量又如，當(dāng)時(shí)，與都是無(wú)窮小量,由于它們之比的絕對(duì)值滿足，所以與為當(dāng)時(shí)的同階無(wú)窮小量 3若，則稱與時(shí)當(dāng)時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小量. 記作. 例如，故有又故有 以上討論了兩個(gè)無(wú)窮小量階的比較但應(yīng)指出，并不是任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以進(jìn)行這種階的比較例如，當(dāng)時(shí)，和都是無(wú)窮小量，但它們的比，當(dāng)時(shí)不是有界量，所以這兩個(gè)無(wú)窮小量不能進(jìn)行階的比較. 定理3.12 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有.（1）若，則；（2）若，則.證：（1），（2）可類似地證明例1 求。解：由于，故有.例2 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限.解：由于，而，故有注：在利用等價(jià)

5、無(wú)窮小量代換求極限時(shí)，應(yīng)注意：只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替代，而對(duì)極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代.如在例2中，若因有，而推出，則得到的是錯(cuò)誤的結(jié)果 三、無(wú)窮大量定義2設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義若對(duì)任給的，存在，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)有非正常極限，記作.若換成“”或“”，則分別稱當(dāng).時(shí)有非正常極限或記作: 或. 例3 證明 證：任給，要使，只要，因令則對(duì)一切，這就證明了 例4 證明：當(dāng)時(shí)， 證：任給（妨設(shè))，要使，由對(duì)數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格增性，只要，因此令，則對(duì)一切有這就證得 注1 無(wú)窮大量不是很大的數(shù)，而是具有非正常極限的函數(shù)如由例3知是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量，由例4知是當(dāng)時(shí)的

6、無(wú)窮大量 注2 若為時(shí)的無(wú)窮大量，則易見(jiàn)為上的無(wú)界函數(shù)但無(wú)界函數(shù)卻不一定是無(wú)窮大量如在上無(wú)界，因?qū)θ谓o的取這里正整數(shù)，則有但 ，因若取數(shù)列則,而. 定理3.13 （i）設(shè)在內(nèi)有定義且不等于0.若為時(shí)的無(wú)窮小量，則為時(shí)的無(wú)窮大量.（ii）若為時(shí)的無(wú)窮大量，則為時(shí)的無(wú)窮小量.四、曲線的漸近線由平面解析幾何知道，雙曲線有兩條漸近線（圖3-7）.漸近線定義如下：定義4：若曲線上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與某定直線的距離趨于，則稱直線為曲線的漸近線(圖38) 下面我們討論曲線在什么條件下存在斜漸近線與垂直漸近線，以及怎樣求 出漸近線方程.現(xiàn)假設(shè)曲線有漸近線.如圖38所示，曲線上動(dòng)點(diǎn)到漸近線的距離為由漸近線的定義，當(dāng)時(shí)，既有或，又由得到，由上面的討論可知，函數(shù)有斜漸近線.若函數(shù)滿足（或，）.則按漸近線的定義可知，曲線有垂直于軸的漸近線，稱為垂直漸近線.例5 求曲線的漸近線.解：由 ，得.再由 ，得從而求得此曲線的斜漸近線方程為又由易見(jiàn)，所以此曲線有垂直漸近線和.五、函數(shù)極限歸結(jié)原則定理3.8(歸結(jié)原則，稱為海涅(Heine)定理) 設(shè)在內(nèi)有定義存在的充要條件是：對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等注1 若可找到一個(gè)以為極限的，使不存在,或找