崔氏班計(jì)數(shù)問題基礎(chǔ)與技巧

1、崔氏班計(jì)數(shù)問題基礎(chǔ)與技巧加法原理與乘法原理加法原理在日常生活中，我們經(jīng)常遇到這樣的情況，做一件事情可以有幾類不同的方法那么統(tǒng)計(jì)做這件事情的方法數(shù)，我們只需要把這幾類各自完成事件的方法數(shù)相加就可以得到例如：小明從北京通州的家要趕到學(xué)而思知春路教學(xué)點(diǎn)上課可以選擇的交通工具有公交車和地鐵公交車可以乘坐957路，675路，930路，938路如選擇乘坐地鐵即可以乘坐10號(hào)線也可以乘坐8通線上述路線都可以直接到達(dá)分析這個(gè)問題，我們發(fā)現(xiàn)小明從家到教學(xué)點(diǎn)有兩類走法，乘坐公交車一類，4種走法；乘坐地鐵一類，2種走法那么小明從家到教學(xué)點(diǎn)一共就有2+4種走法 加法原理的核心就是分類完成一件事情有類方法，每一類方法數(shù)

2、分別為，則完成這件事一共有種方法值得注意的是，每一類方法都可以獨(dú)立完成事件，反之，完成事件的方法可以分為類，并且每一類方法都可以獨(dú)立完成的事件我們可以用加法原理解決乘法原理我們?cè)谕瓿梢患聲r(shí)往往要分為多個(gè)步驟，每個(gè)步驟又有多種方法，當(dāng)計(jì)算一共有多少種完成方法時(shí)就要用到乘法原理乘法原理：一般地，如果完成一件事需要個(gè)步驟，其中，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法 ，做第步有種不同的方法，則完成這件事一共有種不同的方法乘法原理運(yùn)用的范圍：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步相關(guān)”排列與組

3、合在實(shí)際生活中常遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法就是排列問題在排的過程中，不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)一般地，從個(gè)不同的元素中任取出個(gè)()元素，按照一定的順序排成一列叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列由排列的定義可以看出，兩個(gè)排列相同，不僅要求這兩個(gè)排列中的元素完全相同，而且各元素的先后順序也一樣如果兩個(gè)排列的元素不完全相同或者各元素的排列順序不完全一樣，則這就是兩個(gè)不同的排列從個(gè)不同元素中取出個(gè)()元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做()，一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)()元素組成一組不計(jì)較

4、組內(nèi)各元素的次序，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合由組合的定義可以看出，兩個(gè)組合是否相同，只與這兩個(gè)組合中的元素有關(guān)，而與取到這些元素的先后順序無關(guān)只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，它們才是不同的組合從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素()的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素的組合數(shù)記作這就是組合數(shù)公式 1. 從1100中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，使其和是3的倍數(shù)，一共有多少種不同的取法？在下面的8個(gè)球之間插入兩片木板，把這堆分成3堆，共有多少種方法？2. 從10名男生，8名女生中選出8人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多少種選法？恰有3名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某

5、兩名男生必須入選；某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人3. 小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？ 七個(gè)人排成一排； 七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人 小新、阿呆不在同一排計(jì)數(shù)常用十大技巧一、枚舉法在數(shù)學(xué)問題中，有一些需要計(jì)算總數(shù)或種類的趣題因其數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，很難找到“正統(tǒng)”的方式解答對(duì)此，我們可以先初步估計(jì)其數(shù)目的大小若數(shù)目不是太大，就按照一定

6、的順序一一列舉問題的可能情況;若數(shù)目過大，并且問題繁雜我們就抓住對(duì)象的特征，選擇恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限種情形，通過一一列舉或計(jì)數(shù)，最終達(dá)到解決的目的這就是枚舉法，也叫做列舉法或窮舉法其特點(diǎn)是有條理，不重復(fù)或不遺漏，使人一目了然適用于所求的對(duì)象為有限個(gè)數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)問題枚舉法與數(shù)字的拆分方法相同，都是從大到小的有序思考，這樣可以做到不重不漏此類方法適合于數(shù)目、種類不很繁雜的題；且分析時(shí)應(yīng)盡量做到分類全面、不重不漏二、樹形圖法（枚舉樹）枚舉樹就是借助樹狀結(jié)構(gòu)的分層特征來羅列所有可能的一種方法，適用于層次結(jié)構(gòu)鮮明的題型利用枚舉樹進(jìn)行枚舉的一般步驟和技巧： 明確條件：分析枚舉對(duì)象滿足的限

7、制條件 確定范圍:根據(jù)限制條件縮小枚舉的范圍 確定次序:一般按照由小到大、由少到多的原則，采用合適的分類法保證枚舉的完整，以求不重不漏 逐一枚舉:借助枚舉樹的分層特征，按次序逐次畫圖枚舉，最終求出問題的解三、標(biāo)數(shù)法標(biāo)數(shù)法一般適用于求從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路線的條數(shù)。標(biāo)數(shù)法的核心思想是：從起點(diǎn)到達(dá)任何一點(diǎn)的最短路線數(shù)，都等于從起點(diǎn)出發(fā)到達(dá)與這一點(diǎn)相鄰的點(diǎn)的最短路線數(shù)之和。這種思想本質(zhì)上就是利用加法原理進(jìn)行分類計(jì)數(shù)。四、捆綁法在排列組合中我們經(jīng)常會(huì)對(duì)相鄰元素運(yùn)用捆綁法. 即：在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)大元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆

8、綁法注意：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來的大元素內(nèi)部的順序問題 .五、插板法插板法一般用來解決求分解一定數(shù)量的無差別物體的方法的總數(shù)，使用插板法一般有三個(gè)要求：所要分解的物體一般是相同的：所要分解的物體必須全部分完：參與分物體的組至少都分到1個(gè)物體，不能有沒分到物體的組出現(xiàn)在有些題目中，已知條件與上面的三個(gè)要求并不一定完全相符，對(duì)此應(yīng)當(dāng)對(duì)已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使得它與一般的要求相符，再適用插板法使用插板法一般有如下三種類型： 個(gè)人分個(gè)東西，要求每個(gè)人至少有一個(gè)。這個(gè)時(shí)候我們只需要把所有的東西排成一排，在其中的個(gè)空隙中放上個(gè)插板，所以分法的數(shù)目為。 個(gè)人分個(gè)東西，要求每個(gè)

9、人至少有個(gè)。這個(gè)時(shí)候，我們先發(fā)給每個(gè)人個(gè)，還剩下個(gè)東西，這個(gè)時(shí)候，我們把剩下的東西按照類型來處理就可以了。所以分法的數(shù)目為。 個(gè)人分個(gè)東西，允許有人沒有分到。這個(gè)時(shí)候，我們不妨先借來個(gè)東西，每個(gè)人多發(fā)1個(gè)，這樣就和類型一樣了，不過這時(shí)候物品總數(shù)變成了個(gè)，因此分法的數(shù)目為。六、排除法對(duì)于某些有特殊要求的計(jì)數(shù)，可以先計(jì)算所有可能的情況，再?gòu)闹信懦裟切┎环弦蟮那闆r當(dāng)限制條件較多時(shí)，首先忽略掉一部分條件，得到答案后，再將不符合限制條件的剔除七、歸納法歸納法是通過對(duì)某類事物中若干特殊情況進(jìn)行分析，或者先從少數(shù)簡(jiǎn)單情況出發(fā)摸索規(guī)律，根據(jù)某類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，得出該類事物都具有這種性質(zhì)，從而

10、得出一般結(jié)論的思維方法具體的講，在運(yùn)用歸納法思考問題時(shí)，最常見的形式是通過先退后進(jìn)的策略，把要解決的問題具體化、個(gè)別化、簡(jiǎn)單化，探尋出數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)律后，再利用這個(gè)規(guī)律去解決問題歸納法的作用在于探索數(shù)學(xué)對(duì)象的未知規(guī)律，它既是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基本方法，又是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，是人類認(rèn)識(shí)客觀規(guī)律的重要方法之一在運(yùn)用歸納法時(shí)要注意下面兩點(diǎn)： 被考察對(duì)象的數(shù)量越多，歸納出來的結(jié)論可靠性也就越大 被考察對(duì)象的范圍越廣，歸納出來的結(jié)論可靠性也就越大在數(shù)學(xué)中的許多著名定理、公式，都是先運(yùn)用歸納法從經(jīng)驗(yàn)中概括出一般結(jié)論，然后再經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，給出證明找規(guī)律是歸納的基礎(chǔ)，而發(fā)現(xiàn)規(guī)律則是從簡(jiǎn)單情況入手得

11、到的，所以在解題時(shí)需要將具體情況多枚舉一下，往往就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律利用歸納法解題，一般都需要從初始情況入手開始一一列舉，采用畫圖等方法比較直觀而且易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律利用歸納法解題的一般步驟和技巧： 枚舉試驗(yàn) 歸納猜想 規(guī)律驗(yàn)證 規(guī)律應(yīng)用八、整體法解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，有時(shí)要“化整為零”，使問題變得簡(jiǎn)單；有時(shí)反而要從整體上來考慮，從全局、從整體來研究問題，反而有利于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系九、對(duì)應(yīng)法將難以計(jì)數(shù)的數(shù)量與某種可計(jì)量的事物聯(lián)系起來，只要能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么這兩種事物在數(shù)量上是相同的插板法就是對(duì)應(yīng)法的一種典型表現(xiàn)形式十、遞推法遞推法的概念：可以通過給出數(shù)列的第1項(xiàng)（或前若干項(xiàng)），并給出數(shù)列的某一項(xiàng)與它的前

12、一項(xiàng)（或前若干項(xiàng)）的關(guān)系式來表示數(shù)列，進(jìn)而求出某一項(xiàng)的值。它包含兩個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可1. （年第一屆“學(xué)而思杯”三年級(jí)試題）學(xué)學(xué)和思思一起洗個(gè)互不相同的碗，思思洗好的碗一個(gè)一個(gè)往上摞，學(xué)學(xué)再?gòu)淖钌厦嬉粋€(gè)一個(gè)地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，那么學(xué)學(xué)摞好的碗一共有 種不同的摞法。2. 學(xué)學(xué)和思思一起洗個(gè)互不相同的碗，思思洗好的碗一個(gè)一個(gè)往上摞，學(xué)學(xué)再?gòu)淖钌厦嬉粋€(gè)一個(gè)地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，那么學(xué)學(xué)摞好的碗一共有 種不同的摞法。3. （年第一屆“學(xué)而思杯”五年級(jí)試題）學(xué)學(xué)和思思一起洗個(gè)互不相同的碗，思思洗好的碗一個(gè)一個(gè)往上摞，學(xué)學(xué)

13、再?gòu)淖钌厦嬉粋€(gè)一個(gè)地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，那么學(xué)學(xué)摞好的碗一共有 種不同的摞法。4. 游樂園的門票1元1張，每人限購(gòu)1張現(xiàn)在有10個(gè)小朋友排隊(duì)購(gòu)買，其中5個(gè)小朋友只有1元的鈔票，另外5個(gè)小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢10個(gè)小朋友排隊(duì)，不同的排隊(duì)方法共有種問：其中有多少種排隊(duì)方法，使售票總能找得開零錢？5. 某人游覽，三個(gè)風(fēng)景區(qū)，計(jì)劃旅游天，最后又回到區(qū)(不能連續(xù)兩天在同一風(fēng)景區(qū))，符合條件的游覽路線可以有幾條？6. 5名男生和4名女生排成一隊(duì)，其中女生必須排在一起，一共有 種不同的排法7. 四年級(jí)三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動(dòng)，整個(gè)活動(dòng)由2個(gè)舞蹈、2個(gè)演唱和3個(gè)小

14、品組成請(qǐng)問：如果要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場(chǎng)順序？8. 8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法？9. 把20個(gè)蘋果分給3個(gè)小朋友，每人最少分3個(gè)，可以有多少種不同的分法？10. 在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？11. 10只無差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，允許有的盤子空著請(qǐng)問一共有多少種不同的放法？ 12. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？13. （2008年國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）請(qǐng)問至少出現(xiàn)一個(gè)數(shù)碼3，并且是3的倍數(shù)的五位數(shù)共有多少個(gè)？14. 若一個(gè)自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)字，且每個(gè)數(shù)字小于其右邊的所有數(shù)字

15、，則稱這個(gè)數(shù)是“上升的”問一共有多少“上升的”自然數(shù)？15. 1到1999的自然數(shù)中，有多少個(gè)與5678相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？16. 從1到2004這2004個(gè)正整數(shù)中，共有幾個(gè)數(shù)與四位數(shù)8866相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？17. （2009年“數(shù)學(xué)解題能力展示”六年級(jí)初賽試題）對(duì)于由組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1，那么可以進(jìn)行如下的一次置換操作：記首位數(shù)字為，則將數(shù)字與第位上的數(shù)字對(duì)換例如，可以進(jìn)行兩次置換；可以進(jìn)行4次置換的五位數(shù)有 個(gè)18. 有多少個(gè)四位數(shù)，滿足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大，千位數(shù)字比百位大，百位數(shù)字比十位數(shù)字大？19. 下圖的兩個(gè)圖形(實(shí)線)是分別用10

16、根和16根單位長(zhǎng)的小棍圍成的如果按此規(guī)律(每一層比上面一層多擺出兩個(gè)小正方形)圍成的圖形共用了60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小棍？20. 對(duì)一個(gè)自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加，如此進(jìn)行直到得數(shù)為1操作停止問經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有多少個(gè)？21. 一樓梯共10級(jí)，規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)，共有多少種不同走法？答案解析：加法原理與乘法原理1. 從1100中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，使其和是3的倍數(shù)，一共有多少種不同的取法？在下面的8個(gè)球之間插入兩片木板，把這堆分成3堆，共有多少種方法？分析 1100中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)相加一共有種方法，和

17、是3的倍數(shù)的則占了全部選法的三分之一所以共有種第一種木板一共有7種插法，第二個(gè)木板一共有6種插法所以共有種選法2. 從10名男生，8名女生中選出8人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多少種選法？恰有3名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人【分析】 恰有3名女生入選，說明男生有5人入選，應(yīng)為：；要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求運(yùn)用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：(排除法)4人必須入選，則從剩下的14人中再選出另外4人 (定位問題)從所

18、有的選法中減去這4個(gè)人同時(shí)入選的種可能：分三類情況：4人無人入選，4人僅有1人入選，4人中有2人入選，共：3. 小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？ 七個(gè)人排成一排； 七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人 小新、阿呆不在同一排【分析】 (種) 只需排其余6個(gè)人站剩下的6個(gè)位置(種)先確定中間的位置站誰(shuí)，冉排剩下的6個(gè)位置(種)先排兩邊，再排剩下的5個(gè)位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換

19、位置 (種)先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個(gè)人中選2人，再排剩下的5個(gè)人，(種)七個(gè)人排成一排時(shí)，7個(gè)位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人，7個(gè)位置還是各不相同的，所以本題實(shí)質(zhì)就是7個(gè)元素的全排列(種)可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對(duì)等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可(種)排隊(duì)問題，一般先考慮特殊情況計(jì)數(shù)常用十大技巧1. （年第一屆“學(xué)而思杯”三年級(jí)試題）學(xué)學(xué)和思思一起洗個(gè)互不相同的碗，思思洗好的碗一個(gè)一個(gè)往上摞，學(xué)學(xué)再?gòu)淖钌厦嬉粋€(gè)一個(gè)地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，那么學(xué)學(xué)摞好的碗一共有 種不同的摞

20、法?！痉治觥?用枚舉法：按思思洗碗的順序?qū)⑦@個(gè)碗依次標(biāo)號(hào)為、，則學(xué)學(xué)摞好的碗一共有如下種擺法：，。 2. 學(xué)學(xué)和思思一起洗個(gè)互不相同的碗，思思洗好的碗一個(gè)一個(gè)往上摞，學(xué)學(xué)再?gòu)淖钌厦嬉粋€(gè)一個(gè)地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，那么學(xué)學(xué)摞好的碗一共有 種不同的摞法。分析 用枚舉法：按思思洗碗的順序?qū)⑦@個(gè)碗依次標(biāo)號(hào)為、，則學(xué)學(xué)摞好的碗一共有如下種擺法，（注意沒有，因?yàn)槟米呔幪?hào)是的必須再拿編號(hào)是的碗，拿不到編號(hào)是的碗）3. （年第一屆“學(xué)而思杯”五年級(jí)試題）學(xué)學(xué)和思思一起洗個(gè)互不相同的碗，思思洗好的碗一個(gè)一個(gè)往上摞，學(xué)學(xué)再?gòu)淖钌厦嬉粋€(gè)一個(gè)地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，那么

21、學(xué)學(xué)摞好的碗一共有 種不同的摞法?！痉治觥?方法一：用枚舉法：如下所示，共有種不同的摞法：， 。方法二：用標(biāo)數(shù)法：我們把學(xué)學(xué)洗的個(gè)碗過程看成從起點(diǎn)向右走步（即洗幾個(gè)碗就代表向右走幾步），思思拿個(gè)碗的過程看成是向上走步（即拿幾個(gè)碗就代表向上走幾步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走步到達(dá)終點(diǎn)最短路線的方法.由于洗的碗要多余拿的碗，所以向右走的路線要多余向上走的路線，所以我們用下面的斜三角形進(jìn)行標(biāo)數(shù)，共有種走法，即代表種摞法.4. 游樂園的門票1元1張，每人限購(gòu)1張現(xiàn)在有10個(gè)小朋友排隊(duì)購(gòu)買，其中5個(gè)小朋友只有1元的鈔票，另外5個(gè)小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢10個(gè)小朋友排隊(duì)，不同的排隊(duì)

22、方法共有種問：其中有多少種排隊(duì)方法，使售票總能找得開零錢？分析 要保證售票員總能找得開零錢，必須保證每一位拿2元錢的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人數(shù)多，先將拿1元錢的小朋友看成是相同的，將拿2元錢的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型在下右圖中，每條小橫線段代表1元錢的小朋友，每條小豎線段代表2元錢的小朋友，因?yàn)閺狞c(diǎn)沿格線走到點(diǎn)，無論到途中哪一點(diǎn)，經(jīng)過的小橫線段都不少于小豎線段，所以本題相當(dāng)于求下圖中從到有多少種不同走法利用標(biāo)數(shù)法，可求出從到有42種走法但是事實(shí)上10個(gè)小朋友互不相同，必須將他們排隊(duì)，可以分成兩步，第一步排拿1元的小朋友，5個(gè)人共有種排法；第二步排拿2元

23、的小朋友，共有種排隊(duì)方法這樣，使售票員能找得開零錢的排隊(duì)方法共有(種)5. 某人游覽，三個(gè)風(fēng)景區(qū)，計(jì)劃旅游天，最后又回到區(qū)(不能連續(xù)兩天在同一風(fēng)景區(qū))，符合條件的游覽路線可以有幾條？【分析】 如圖 ，從風(fēng)景區(qū)出發(fā)共6種走法同理從或出發(fā)各有種所以符合條件的共有種走法6. 5名男生和4名女生排成一隊(duì)，其中女生必須排在一起，一共有 種不同的排法【分析】 用捆綁法由于女生必須站在一起，所以可以把女生當(dāng)作是一個(gè)整體，先當(dāng)一個(gè)元素去和5名男生排隊(duì)，種數(shù)，然后再考慮4名女生自己的順序，所以總數(shù)（種）7. 四年級(jí)三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動(dòng)，整個(gè)活動(dòng)由2個(gè)舞蹈、2個(gè)演唱和3個(gè)小品組成請(qǐng)問：如果要求同類型的節(jié)目連

24、續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場(chǎng)順序？分析 要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，則可以應(yīng)用“捆綁法”先對(duì)舞蹈、演唱、小品三種節(jié)目做全排列， 再分別在各類節(jié)目?jī)?nèi)部排列具體節(jié)目的次序因此出場(chǎng)順序總數(shù)為：（種）8. 8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法？分析 人的環(huán)狀排列與線狀排列的不同之處在于：、在線狀排列里是個(gè)不同的排列，而在環(huán)狀排列中是相同的排列所以，個(gè)不同的元素的環(huán)狀排列數(shù)為甲、乙兩人必須相鄰，可把他們看作是1人（當(dāng)然，他們之間還有順序），總排列數(shù)為從中扣除甲、乙相鄰且乙、丙也相鄰（注意，這和甲、乙、丙三人相鄰是不同的如甲在乙、丙之間合于后者，但不合于前者）的情況種所以

25、，符合題意的排法有（種）9. 把20個(gè)蘋果分給3個(gè)小朋友，每人最少分3個(gè)，可以有多少種不同的分法？【分析】 (法1)先給每人2個(gè)，還有14個(gè)蘋果，每人至少分一個(gè)，13個(gè)空插2個(gè)板，有種分法 (法2)也可以按分蘋果最多的人分的個(gè)數(shù)分類枚舉10. 在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？分析 設(shè)原四位數(shù)為，按照題意，我們有，但是對(duì)、要求不同，因?yàn)檫@是一個(gè)四位數(shù)，所以應(yīng)當(dāng)有，而其他三個(gè)字母都可以等于0，這樣就不能使用我們之前的插板法了，因此我們考慮將、都加上1，這樣、都至少是1，而且這個(gè)時(shí)候它們的和為，即問題變成如下表達(dá)：一個(gè)各位數(shù)字不為0的四位數(shù)，它的各位數(shù)字之和為7，這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？采

26、用插板法，共有6個(gè)間隔，要插入3個(gè)板，可知這樣的四位數(shù)有個(gè)，對(duì)應(yīng)著原四位數(shù)也應(yīng)該有20個(gè)。11. 10只無差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，允許有的盤子空著請(qǐng)問一共有多少種不同的放法？ 【分析】 (法1)把10只無差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，允許有的盤子空著，然后在每個(gè)盤子里再另加一個(gè)橘子，這就變成了把13只無差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，不允許任何一個(gè)盤子空著反過來也是一樣，把13只橘子放到3個(gè)盤子里，不允許任何一個(gè)盤子空著，再?gòu)拿恳粋€(gè)盤子中取出一個(gè)橘子，這就變回題目中的放法所以把10只無差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里且允許有的盤子空著的放法數(shù)目，和把13只無差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子

27、里且不允許任何一個(gè)盤子空著的放法數(shù)目相同我們現(xiàn)在來計(jì)算把13只無差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里且不允許任何一個(gè)盤子空著的放法數(shù)目這時(shí)我們用隔板地方法，把這13只橘子排成一列，則這13只橘子之間有12個(gè)空隙我們只要選定這12個(gè)空隙中的2個(gè)空隙，再這兩個(gè)空隙中分別放一塊隔板，這樣就分成了3組，就相當(dāng)于把這13只橘子分成了3堆，如下圖所以只要求出從12個(gè)空隙中選出2個(gè)空隙有多少種方法就可以了，所以題目中所求的不同的放法有66種(法2)1個(gè)盤子裝：不妨把10個(gè)看成1個(gè)桔子，有3個(gè)不同的盤子：2個(gè)盤子裝：3個(gè)盤子取出2個(gè)裝桔子共3種選擇，對(duì)于每一種選擇都有9種裝法(、)，共3個(gè)盤子裝：總計(jì)：種不同的方法

28、12. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？分析 可以將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每?jī)深w之間共有9個(gè)空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，不同的豎線插入方式代表不同的吃法，所以只需要求出有多少種豎線插入式|由于每個(gè)空都有畫線與不畫線兩種可能(相當(dāng)于每吃完一?？紤]今天還吃不吃)，根據(jù)乘法原理，則不同的吃法共有(種)13. （2008年國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）請(qǐng)問至少出現(xiàn)一個(gè)數(shù)碼3，并且是3的倍數(shù)的五位數(shù)共有多少個(gè)？【分析】 五位數(shù)共有90000個(gè)，其中3的倍數(shù)有30000個(gè)?？梢圆捎门懦?，首先考慮有多

29、少個(gè)五位數(shù)是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼3.首位數(shù)碼有8種選擇，第二、三、四位數(shù)碼都有9種選擇。當(dāng)前四位的數(shù)碼確定后，如果它們的和除以余數(shù)為0，則第五位數(shù)碼可以為0、6、9；如果余數(shù)為1，則第五位數(shù)碼可以為2、5、8；如果余數(shù)為2，則第五位數(shù)碼可以為1、4、7.可見只要前四位數(shù)碼確定了，第五位數(shù)碼都有3種選擇，所以五位數(shù)中是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼3的數(shù)共有個(gè)。所以滿足條件的五位數(shù)共有個(gè)。14. 若一個(gè)自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)字，且每個(gè)數(shù)字小于其右邊的所有數(shù)字，則稱這個(gè)數(shù)是“上升的”問一共有多少“上升的”自然數(shù)？分析 由于每個(gè)數(shù)字都小于其右邊所有數(shù)字，而首位上的數(shù)不能為0，所以滿足條件的數(shù)各數(shù)位上都沒有0，而

30、且各數(shù)位上的數(shù)都互不相同那么最大的“上升的”自然數(shù)是123456789而且可以發(fā)現(xiàn)，所有的“上升的”自然數(shù)都可以由123456789這個(gè)數(shù)劃掉若干個(gè)數(shù)碼得到反過來，由從123456789這個(gè)數(shù)中劃掉若干個(gè)數(shù)碼得到的至少兩位的數(shù)都是“上升的”自然數(shù)所以只要算出從123456789中劃掉若干個(gè)數(shù)碼所能得到的至少兩位的數(shù)有多少個(gè)就可以了因?yàn)槠渲忻總€(gè)數(shù)碼都有劃掉和保留這2種可能，所以9位數(shù)共有種可能，但是需要排除得到的一位數(shù)及零，這樣的數(shù)共有10個(gè)，所以所能得到的至少兩位的數(shù)有(個(gè))所以一共有502個(gè)“上升的”自然數(shù)15. 1到1999的自然數(shù)中，有多少個(gè)與5678相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？【分析】

31、從問題的反面考慮：1到1999的自然數(shù)中，有多少個(gè)與5678相加時(shí)，不發(fā)生進(jìn)位？這樣的數(shù)，個(gè)位數(shù)字有2種可能(即0，1)，十位數(shù)字有3種可能(即0，1，2)，百位數(shù)字有4種可能(即0，1，2，3)，千位數(shù)字有2種可能(即0，1)根據(jù)乘法原理，共有個(gè)注意上面的計(jì)算中包括了0(0000)這個(gè)數(shù)，因此，1到1999的自然數(shù)中與5678相加時(shí)，不發(fā)生進(jìn)位的數(shù)有個(gè)所以，1到1999的自然數(shù)中與5678相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位的有個(gè)16. 從1到2004這2004個(gè)正整數(shù)中，共有幾個(gè)數(shù)與四位數(shù)8866相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？分析 千位數(shù)小于等于1，百位數(shù)小于等于1，十位數(shù)小于等于3，個(gè)位數(shù)小于等于3， 應(yīng)該有種可以不進(jìn)位，那么其他個(gè)數(shù)都至少產(chǎn)生一次進(jìn)位17. （2009年“數(shù)學(xué)解題能力展示”六年級(jí)初賽試題）對(duì)于由組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1，那么可以進(jìn)行如下的一次置換操作：記首位數(shù)字為，則將數(shù)字與第位上的數(shù)字對(duì)換例如，可以進(jìn)行兩次置換；可以進(jìn)行4次置換的五位數(shù)有 個(gè)【分析】 方法一：要進(jìn)行次置換，設(shè)首位為(不為)，有種選擇，那么第次與置換的是第位上的數(shù)，不可能為和（如果是1，只能置換1次），則第位上的數(shù)有種選擇；設(shè)第位上的數(shù)為，第一次置換后，現(xiàn)在在首位，在第位，此時(shí)要與置換的第位上