第十一章SECTION1傅立葉級(jí)數(shù)與積分變換

1、第十一章傅立葉級(jí)數(shù)與積分變換在理論和應(yīng)用上，常常要考察一個(gè)函數(shù)與一正交函數(shù)系之間的關(guān)系.傅立葉級(jí)數(shù)理論就是研究在有限區(qū)間上的這個(gè)關(guān)系，對(duì)于區(qū)間是無(wú)限的情況，傅立葉變換理論(包括傅立葉變換，拉普拉斯變換等積分變換)，就是這一理論的推廣.本章重點(diǎn)介紹在有限區(qū)間上函數(shù)用傅立葉三角級(jí)數(shù)表示，在無(wú)限區(qū)間上函數(shù)用某種特殊的積分形式表示，如傅立葉變換，拉普拉斯變換，梅林變換，漢克爾變換等，這些都是傅立葉分析的重要內(nèi)容.傅立葉分析在研究振動(dòng)和波動(dòng)現(xiàn)象及解數(shù)學(xué)物理方程時(shí)是個(gè)重要的工具.它在物理上還說(shuō)明：任意波形總能進(jìn)行譜分解，即表為不同頻率，不同振幅的簡(jiǎn)諧波的線性疊加.在六十年代發(fā)展了快速傅立葉變換，為傅立葉分

2、析在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用創(chuàng)造了條件，本章收集了關(guān)于這方面的部分內(nèi)容.§1 傅立葉級(jí)數(shù)一、 三角級(jí)數(shù)與傅立葉級(jí)數(shù) 正交函數(shù)系 一個(gè)函數(shù)系 (1)其中每個(gè)函數(shù)都是定義在區(qū)間上的實(shí)函數(shù)或?qū)嵶兞康膹?fù)值函數(shù)，如果滿足 ( m¹n )就稱函數(shù)系(1)為區(qū)間上的正交函數(shù)系，式中是的共軛函數(shù).如果再滿足就稱函數(shù)系(1)為上的標(biāo)準(zhǔn)(規(guī)范)正交函數(shù)系.例如是區(qū)間上的正交函數(shù)系，式中，函數(shù)系是區(qū)間上的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系.設(shè)給定函數(shù)系 (2)其中自變量x取有限個(gè)離散值滿足就稱函數(shù)系( 2 )為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系，式中例如取就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系.三角級(jí)數(shù)的幾種類型類型表達(dá)式實(shí)數(shù)型余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)式中是實(shí)常數(shù)復(fù)

3、數(shù)型式中, 傅立葉級(jí)數(shù) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)可積，且令以為系數(shù)作三角級(jí)數(shù)它稱為的傅立葉級(jí)數(shù)，稱為的傅立葉系數(shù).不管級(jí)數(shù)(1)是否收斂，或者收斂而不管它是否等于，都記作如果的傅立葉級(jí)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)收斂，而且它的和等于(除去有限個(gè)點(diǎn)外)，那末級(jí)數(shù)(1)稱為的傅立葉展開(kāi)，記作注意：1o如果在區(qū)間上絕對(duì)可積，那末一定有它的傅立葉級(jí)數(shù)，但是，不一定有它的傅立葉展開(kāi)(可以展開(kāi)的條件參看本節(jié)，四). 2o如果在區(qū)間上有一個(gè)三角級(jí)數(shù)一致收斂(或囿收斂，即部分和點(diǎn)點(diǎn)收斂且一致有界)于函數(shù)，那末這個(gè)級(jí)數(shù)就是函數(shù)的傅立葉展開(kāi). 3o區(qū)間上兩個(gè)絕對(duì)可積函數(shù)，如果除去有限個(gè)點(diǎn)外處處相等(可以推廣到幾乎處處相等Q 如果除掉一個(gè)測(cè)度

4、等于零的點(diǎn)集外與g ( x )都相等，那末稱與g ( x )幾乎處處相等。關(guān)于測(cè)度的定義，見(jiàn)第九章§7，一。)，那末和的所有對(duì)應(yīng)的傅立葉系數(shù)都一致. 4o定義，那末函數(shù)的定義域可推廣到整個(gè)數(shù)軸，求傅立葉系數(shù)的積分區(qū)間可以換成長(zhǎng)度為的任意區(qū)間，例如等.二、 f ( x )在其他區(qū)間上的傅立葉級(jí)數(shù)在區(qū)間上或者f ( x ) =特別，若是偶函數(shù)，則bn= 0，得到的傅立葉余弦級(jí)數(shù)若是奇函數(shù)，則，得到的傅立葉正弦級(jí)數(shù)在-l , l區(qū)間上或者當(dāng)是偶函數(shù)或奇函數(shù)時(shí)，同區(qū)間上的情形一樣，分別有余弦級(jí)數(shù)或正弦級(jí)數(shù).在區(qū)間上或者f ( x )三、 傅立葉系數(shù)的性質(zhì) 1o絕對(duì)可積函數(shù)的傅立葉系數(shù)收斂于零

5、，即特別，如果在區(qū)間上有有界變差Q 有界變差定義見(jiàn)第五章 §1.，或者單調(diào)上升有界，或在上分段單調(diào)，那末都有如果及它們一直到階的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上都是有界變差函數(shù)，或者都單調(diào)上升有界，或在上分段單調(diào)，那末, 2o如果函數(shù)在上平方可積QQ平方可積函數(shù)的定義見(jiàn)第九章 §7， 一.Q，那末這個(gè)公式稱為帕塞法耳等式或封閉性方程. 3o如果函數(shù)，在上平方可積，它們的傅立葉級(jí)數(shù)是那末有下面的廣義封閉性方程 4o如果函數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)可積，bn是它的傅立葉級(jí)數(shù)的正弦項(xiàng)系數(shù)，那末級(jí)數(shù)收斂.四、 傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性及在第一類間斷點(diǎn)的性質(zhì)傅立葉級(jí)數(shù)收斂性的判別1o假設(shè)的傅立葉級(jí)數(shù)的部分和為如果當(dāng),sm

6、(x)趨于(在某一點(diǎn)x趨于，或在某一區(qū)間內(nèi)一致地趨于)函數(shù)，那末函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于函數(shù).2o如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)分段單調(diào)，并在該區(qū)間內(nèi)有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，那末(i) sm(x)在連續(xù)點(diǎn)x收斂于；(ii)在第一類間斷點(diǎn)x0收斂于；(iii)在區(qū)間的端點(diǎn)，即與上，等于.(狄利克萊定理)3o如果函數(shù)在區(qū)間上分段可微，在連續(xù)點(diǎn)上有導(dǎo)數(shù)，在第一類間斷點(diǎn)x0處極限和存在，那末sm(x)在連續(xù)點(diǎn)x上收斂于，在間斷點(diǎn)x0上收斂于吉布斯現(xiàn)象 以為周期的函數(shù)具有第一類間斷點(diǎn)，令，在點(diǎn)函數(shù)的跳躍為，假定函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)沒(méi)有其他間斷點(diǎn)，且有有界變差.令函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)部分和為sm(x).那末函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)

7、處是收斂的，但在該鄰域內(nèi)不一致收斂.這時(shí)有一種奇怪的現(xiàn)象(稱為吉布斯現(xiàn)象)出現(xiàn)：存在點(diǎn)列，和，使得因此，sm(x)在間斷點(diǎn)的鄰域內(nèi)的振幅的極限為它比函數(shù)在點(diǎn)的跳躍量大(約18%)，或者是的倍(圖11.1).例函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)為點(diǎn)x=0為的第一類間斷點(diǎn),其跳躍D=y = sm(x) (m=1,2,3,4,5,6)的曲線如圖11.2.存在點(diǎn)列 , , 使得當(dāng)時(shí)，sm(x)的極限圖形如圖11.3(注意在點(diǎn)x=0的形狀).五、傅立葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分與微分 逐項(xiàng)微分 假定在區(qū)間上絕對(duì)可積函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)是那末不管它是否收斂于f ( x )，都可逐項(xiàng)積分.即對(duì)任意區(qū)間 (其中，下列關(guān)系成立： 逐項(xiàng)微分 假定

8、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，,并有絕對(duì)可積的導(dǎo)數(shù)(可能有有限個(gè)點(diǎn)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)) ，那末函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)可由逐項(xiàng)微分的傅立葉級(jí)數(shù)得到，即這里沒(méi)有指出右邊級(jí)數(shù)是否收斂于 , 對(duì)具體問(wèn)題還應(yīng)作具體判斷.六、函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式表 1o 2o 3o 4o 5o 6O 7o 8o 9o 10o 11o 12o 13o 14o 15o 16o 17o 18o 19o 20o 21o 22o 23o 24o 25o26o 27o 28o 29o 30o 31o 32o(a不是整數(shù)，下同) 33o 34o 35o36o37o38o 39o(k為正整數(shù)，下同) 40o 41o 42o 43o 44o 45o 46o 47o 48o 49o 50o 51o 52o 53o 54o 55o 56o 57o 58o 59o 60o 61o62o63o七、二重傅立葉級(jí)數(shù)假定雙變量函數(shù)在矩形區(qū)域上絕對(duì)可積，那末它的