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1、線面角的求法1直接法 :平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段,垂線段,斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形,垂線段是其中最重要的元素,它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1 ( 如圖1 )四面體ABCS中,SA,SB,SC 兩兩垂直,SBA=45°, SBC=60°, M 為 AB的中點(diǎn),求(1)BC與平面SAB所成的角。(2)SC與平面ABC所成的角。解:(1) SCSB,SCSA, 圖1SC平面SAB 故 SB是斜線BC 在平面SAB上的射影, SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60°。(2) 連結(jié)SM,CM,則SMAB
2、,又SCAB,AB平面SCM,面ABC面SCM過(guò)S作SHCM于H, 則SH平面ABCCH即為 SC 在面ABC內(nèi)的射影。 SCH 為SC與平面ABC所成的角。 sin SCH=SHSCSC與平面ABC所成的角的正弦值為77(“垂線”是相對(duì)的,SC是面 SAB的垂線,又是面 ABC 的斜線. 作面的垂線常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,其思路是:先找出與已知平面垂直的平面,然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線,則得面的垂線。)2. 利用公式sin=h其中是斜線與平面所成的角, h是 垂線段的長(zhǎng),是斜線段的長(zhǎng),其中求出垂線段的長(zhǎng)(即斜線上的點(diǎn)到面的距離)既是關(guān)鍵又是難點(diǎn),為此可用三棱錐的體積自等來(lái)求垂線段的長(zhǎng)。
3、例2 ( 如圖2) 長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ,求AB與面 AB1C1D 所成的角。解:設(shè)點(diǎn) B 到AB1C1D的距離為h,VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1·h= 13 SBB1C1·AB,易得h=125 ,設(shè)AB 與 面 A B1C1D 所成的角為,則sin=hAB=45,AB與面AB1C1D 所成的角為arcsin0.83. 利用公式cos=cos1·cos2 (如圖3) 若 OA為平面的一條斜線,O為斜足,OB為OA在面內(nèi)的射影,OC為面內(nèi)的一條直線,其中為OA與OC所成的角, 圖31為OA與
4、OB所成的角,即線面角,2為OB與OC所成的角,那么 cos=cos1·cos2,它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角(常稱為最小角定理)1平面的斜線和平面所成的角: 已知,如圖,是平面的斜線,是斜足,垂直于平面,為垂足,則直線是斜線在平面內(nèi)的射影。設(shè)是平面內(nèi)的任意一條直線,且,垂足為,又設(shè)與所成角為,與所成角為,與所成角為,則易知:,又,可以得到:,注意:(若,則由三垂線定理可知,即;與“是平面內(nèi)的任意一條直線,且,垂足為”不相符)。易得: 又即可得:則可以得到:(1)平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角,是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成
5、角中最小的角;(2)斜線和平面所成角:一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面中的射影的夾角,叫做斜線和平面所成角(或叫斜線和平面的夾角)。說(shuō)明:1若,則規(guī)定與所成的角是直角;2若或,則規(guī)定與所成的角為;3直線和平面所成角的范圍為:;4直線和平面所成角是直斜線與該平面內(nèi)直線所成角的最小值()。例3(如圖4) 已知直線OA,OB,OC 兩兩所成的角為60°, ,求直線OA 與 面OBC所成的角的余弦值。解:AOB=AOC OA 在面OBC 內(nèi)的射影在BOC 的平分線OD上,則AOD即為OA與面OBC所成的角,可知DOC=30° ,cosAOC=cosAOD·cosDOC,cos
6、60°=cosAOD·cos30° cosAOD= 33 OA 與 面OBC所成的角的余弦值為33。2例題分析:例1如圖,已知是平面的一條斜線,為斜足,為垂足,為內(nèi)的一條直線,求斜線和平面所成角。解:,由斜線和平面所成角的定義可知,為和所成角, 又,即斜線和平面所成角為例2如圖,在正方體中,求面對(duì)角線與對(duì)角面所成的角。解(法一)連結(jié)與交于,連結(jié),平面,是與對(duì)角面所成的角,在中,(法二)由法一得是與對(duì)角面所成的角,又,說(shuō)明:求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影,后求斜線與其射影的夾角。另外,在條件允許的情況下,用公式求線面角顯得更加方便。例3已知空間四邊形的各邊及對(duì)角線相
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