高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題線面角典型例題求法總結(jié)

1、線面角的求法1直接法 ：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1 （ 如圖1 ）四面體ABCS中，SA,SB,SC 兩兩垂直，SBA=45°, SBC=60°, M 為 AB的中點(diǎn)，求（1）BC與平面SAB所成的角。（2）SC與平面ABC所成的角。解:（1） SCSB,SCSA, 圖1SC平面SAB 故 SB是斜線BC 在平面SAB上的射影， SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60°。（2） 連結(jié)SM,CM，則SMAB

2、,又SCAB,AB平面SCM,面ABC面SCM過(guò)S作SHCM于H, 則SH平面ABCCH即為 SC 在面ABC內(nèi)的射影。 SCH 為SC與平面ABC所成的角。 sin SCH=SHSCSC與平面ABC所成的角的正弦值為77（“垂線”是相對(duì)的，SC是面 SAB的垂線，又是面 ABC 的斜線. 作面的垂線常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，其思路是：先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的垂線。）2. 利用公式sin=h其中是斜線與平面所成的角， h是 垂線段的長(zhǎng)，是斜線段的長(zhǎng)，其中求出垂線段的長(zhǎng)（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可用三棱錐的體積自等來(lái)求垂線段的長(zhǎng)。

3、例2 （ 如圖2） 長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB與面 AB1C1D 所成的角。解：設(shè)點(diǎn) B 到AB1C1D的距離為h，VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1·h= 13 SBB1C1·AB，易得h=125 ，設(shè)AB 與 面 A B1C1D 所成的角為,則sin=hAB=45，AB與面AB1C1D 所成的角為arcsin0.83. 利用公式cos=cos1·cos2 （如圖3） 若 OA為平面的一條斜線，O為斜足，OB為OA在面內(nèi)的射影，OC為面內(nèi)的一條直線，其中為OA與OC所成的角， 圖31為OA與

4、OB所成的角，即線面角，2為OB與OC所成的角，那么 cos=cos1·cos2，它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理）1平面的斜線和平面所成的角： 已知，如圖，是平面的斜線，是斜足，垂直于平面，為垂足，則直線是斜線在平面內(nèi)的射影。設(shè)是平面內(nèi)的任意一條直線，且，垂足為，又設(shè)與所成角為，與所成角為，與所成角為，則易知：，又，可以得到：，注意：（若，則由三垂線定理可知，即；與“是平面內(nèi)的任意一條直線，且，垂足為”不相符）。易得： 又即可得：則可以得到：（1）平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成

5、角中最小的角；（2）斜線和平面所成角：一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面中的射影的夾角，叫做斜線和平面所成角（或叫斜線和平面的夾角）。說(shuō)明：1若，則規(guī)定與所成的角是直角；2若或，則規(guī)定與所成的角為；3直線和平面所成角的范圍為：；4直線和平面所成角是直斜線與該平面內(nèi)直線所成角的最小值（）。例3（如圖4） 已知直線OA,OB,OC 兩兩所成的角為60°, ，求直線OA 與 面OBC所成的角的余弦值。解：AOB=AOC OA 在面OBC 內(nèi)的射影在BOC 的平分線OD上，則AOD即為OA與面OBC所成的角，可知DOC=30° ,cosAOC=cosAOD·cosDOC，cos

6、60°=cosAOD·cos30° cosAOD= 33 OA 與 面OBC所成的角的余弦值為33。2例題分析：例1如圖，已知是平面的一條斜線，為斜足，為垂足，為內(nèi)的一條直線，求斜線和平面所成角。解：，由斜線和平面所成角的定義可知，為和所成角， 又，即斜線和平面所成角為例2如圖，在正方體中，求面對(duì)角線與對(duì)角面所成的角。解（法一）連結(jié)與交于，連結(jié)，平面，是與對(duì)角面所成的角，在中，（法二）由法一得是與對(duì)角面所成的角，又，說(shuō)明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影，后求斜線與其射影的夾角。另外，在條件允許的情況下，用公式求線面角顯得更加方便。例3已知空間四邊形的各邊及對(duì)角線相