大學(xué)物理常用高數(shù)基礎(chǔ)知識

1、補(bǔ)高等數(shù)學(xué)：補(bǔ)高等數(shù)學(xué)： 矢量（向量）代數(shù)矢量（向量）代數(shù)（同濟(jì)大學(xué)（同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第五版第五版 第第7章第一、二節(jié)）章第一、二節(jié)）一、矢量（向量）的概念及其表示一、矢量（向量）的概念及其表示 1.標(biāo)量與矢量（向量）標(biāo)量與矢量（向量） 代數(shù)量：代數(shù)量：有大小和正負(fù)（溫度、時刻、電流、有大小和正負(fù)（溫度、時刻、電流、 功、勢能功、勢能 ）既有大小又有方向（力、速度、加速度、既有大小又有方向（力、速度、加速度、 力矩、動量力矩、動量 ）標(biāo)量標(biāo)量算術(shù)量算術(shù)量（質(zhì)量、時間間隔、動能（質(zhì)量、時間間隔、動能）矢量：矢量：2.2.矢量的表示矢量的表示（1）圖示：）圖示：有（方）向線段：有（方）向線

2、段：AB長度是矢量的大小長度是矢量的大小箭頭方向是矢量的方向箭頭方向是矢量的方向（3）矢量的平行：）矢量的平行：a / b（箭頭指向可相同或相反）（箭頭指向可相同或相反）AB（1）（3）（4）矢量的相等：）矢量的相等： 大小、方向（含指向）都相同大小、方向（含指向）都相同所以，一般情況下，矢量可以任意平行移動，也稱自由矢量。所以，一般情況下，矢量可以任意平行移動，也稱自由矢量。ba（2）符號：）符號：粗（黑）體或加箭頭：粗（黑）體或加箭頭：a，b或或ba,（5）負(fù)矢量：）負(fù)矢量：-a（與（與a大小相同、方向（指向）相反）大小相同、方向（指向）相反）（4）（5）3.矢量的模：矢量的模：4.單位矢

3、量：單位矢量： ，僅用來表示方向。，僅用來表示方向。 所以：所以：kajaiaazyxaa 或0rr0r0rrr注：空間直角坐標(biāo)系注：空間直角坐標(biāo)系X、Y、Z軸的軸的單位矢量分別為單位矢量分別為kji,5.矢量的坐標(biāo)分解式（分量式）矢量的坐標(biāo)分解式（分量式）矢徑（向徑：從原點出發(fā)的矢量）矢徑（向徑：從原點出發(fā)的矢量）rxiy jzkijk一般地一般地：其中，其中，ax、ay、az或或x、y、z分別稱為矢量在分別稱為矢量在X、Y、Z軸軸上的上的分量分量或或投影投影。而。而注意：分量是代數(shù)量（可正可負(fù)）注意：分量是代數(shù)量（可正可負(fù)）！恒為正恒為正所以，矢徑或其末端的點所以，矢徑或其末端的點P都可以

4、都可以用三個坐標(biāo)用三個坐標(biāo)（x，y，z）來表示來表示.kajaiazyx,則稱則稱分矢量（分向量）分矢量（分向量）由由 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在YOZ平面上，則平面上，則 x=0； 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在ZOX平面上，則平面上，則 y=0； 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在XOY平面上，則平面上，則 z=0。 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在 x 軸上，則軸上，則 y=z=0； 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在 y 軸上，則軸上，則 x=z=0； 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在 z 軸上，則軸上，則 x=y=0。 若若P點為原點，則點為原點，則x=y

5、=z=0rxiy jzk或或 P（x，y，z）可知：可知：rrrrrr6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向已知矢量的分量求矢量的大小和方向大?。捍笮。菏笍降拇笮。?22rrxyz一般地：222xyzaaaaa方向：方向：方向角、或方向余弦：cosxaa cosyaa coszaa 7.已知矢量的模和方向角（或方向已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量余弦）求矢量的分量cos,cos,cosaaaaaazyx注意：因為方向角可以是銳角或鈍角，因此方向余弦注意：因為方向角可以是銳角或鈍角，因此方向余弦可正可負(fù)，所以矢量的分量也可正可負(fù)，是代數(shù)量?？烧韶?fù)，所以矢量的分量也可正可負(fù)，是代數(shù)量

6、。二、矢量的加減法二、矢量的加減法1.矢量相加的平行四邊形法則矢量相加的平行四邊形法則（見圖（見圖7-3）2.矢量相加的三角形法則矢量相加的三角形法則（見圖（見圖7-2）3.多個矢量相加的多邊形法則多個矢量相加的多邊形法則（見圖（見圖7-5）5.矢量的減法矢量的減法因為：因為：cababc由矢量相加的三角形法則可得：由矢量相加的三角形法則可得：即：從同一點出發(fā)作減矢量和被減矢量，則從減矢量即：從同一點出發(fā)作減矢量和被減矢量，則從減矢量的末端引向被減矢量末端的矢量即為所求的矢量。的末端引向被減矢量末端的矢量即為所求的矢量。4.矢量的加法所滿足的運算規(guī)律矢量的加法所滿足的運算規(guī)律（1）交換律：）交

7、換律：（2）結(jié)合律：）結(jié)合律：abbacbacbacba6.6.矢量加減的坐標(biāo)表示式矢量加減的坐標(biāo)表示式kajaiaazyxkbjbibbzyxkbajbaibabazzyyxx三、矢量與數(shù)量的乘法三、矢量與數(shù)量的乘法1.定義：定義：aa模（大?。耗＃ù笮。篴方向方向當(dāng)當(dāng) 0時（可視為時（可視為 ） 方向與方向與 相同相同當(dāng)當(dāng) 0時（可視為時（可視為 ） 方向與方向與 相反相反aaaa2. 滿足的運算規(guī)律滿足的運算規(guī)律（1）與另一個數(shù)量相乘的結(jié)合律：）與另一個數(shù)量相乘的結(jié)合律： aaababaaaa3.矢量與數(shù)量相乘的坐標(biāo)表示式矢量與數(shù)量相乘的坐標(biāo)表示式kajaiakajaiaazyxzy

8、x（2）分配律：）分配律：四、兩矢量的標(biāo)量積（標(biāo)積、數(shù)量積、點積、點乘）四、兩矢量的標(biāo)量積（標(biāo)積、數(shù)量積、點積、點乘）1.定義：定義：引入：恒力對作直線運動的物體所作的功：引入：恒力對作直線運動的物體所作的功：sfsFsFFsA,coscos一般地：一般地：abbababababajPrjPr,cos2.兩個推論：兩個推論：（1）20cosaaaaakkjjii1（2）若兩非零矢量）若兩非零矢量 ，則，則ba02cos0ba反之，若反之，若 ，則必有，則必有0babaikkjji0注意；注意；“點點”不能掉！不能掉！3.標(biāo)量積滿足的運算規(guī)律標(biāo)量積滿足的運算規(guī)律（1）交換律：）交換律：babaa

9、bba,cos（2）分配律：）分配律：cbcacba（3）滿足一定條件下的結(jié)合律（略）滿足一定條件下的結(jié)合律（略）4.4.標(biāo)量積的坐標(biāo)（分量）表示式標(biāo)量積的坐標(biāo)（分量）表示式 zzyyxxzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyxzyxbababakkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibakbjbibkajaiaba一般地：一般地：bac大小大?。篵abac,sin方向：方向：垂直于垂直于 所決定的平面，所決定的平面， 指向按指向按 的順序，用右的順序，用右 （手）螺旋法則確定。（手）螺旋法則確定。baba和五、兩矢量的矢量積（矢積、向量積、叉積、叉乘）五、兩矢量

10、的矢量積（矢積、向量積、叉積、叉乘）1.定義：如力矩：大小：定義：如力矩：大?。簊inFrFdM力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，力矩是矢量，方向沿轉(zhuǎn)軸，指向按指向按 的順序，用的順序，用右（手）螺旋法則確定。右（手）螺旋法則確定。Fr注意；注意；“”不能掉！不能掉！抽象出抽象出矢量積：矢量積：FrM大小大小：FrFrM,sin方向見上方向見上rFd 2.兩個推論：兩個推論：（1）00sin0aa（2）若兩個非零矢量若兩個非零矢量 ，則：，則：ba/0sin0sin0或aa反之，若反之，若 ，則必有：，則必有：0aaba/3.滿足或不滿足的運算規(guī)律滿足或不滿足的運算規(guī)律（1）不滿足交換律，而是：）不滿足

11、交換律，而是：（2）滿足分配律：）滿足分配律：（3）滿足如下的結(jié)合律：）滿足如下的結(jié)合律：baabcbcacbabababa4.4.矢量積的坐標(biāo)（分量）表示法和行列式表示法矢量積的坐標(biāo)（分量）表示法和行列式表示法 kbabajbabaibabaibajbaibakbajbakbakbjbibkajaiabaxyyxzxxzyzzyyzxzzyxyzxyxzyxzyx000zyxzyxbbbaaakjiba或或5.矢量積（大?。┑膸缀我饬x矢量積（大?。┑膸缀我饬x以以 為鄰邊的平行四邊形的面積。為鄰邊的平行四邊形的面積。ba、ab作業(yè)：作業(yè)：閱讀閱讀高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)P289307整理筆記或小結(jié)（點

12、乘、叉乘對照）整理筆記或小結(jié)（點乘、叉乘對照）復(fù)習(xí)：標(biāo)量積和矢量積復(fù)習(xí)：標(biāo)量積和矢量積標(biāo)量積滿足交換律：標(biāo)量積滿足交換律：abbacos,cosbababababac大小大小：babac,sin方向：方向：垂直于垂直于 所決定的平面，所決定的平面，指向按指向按 的順序，用右（手）螺旋的順序，用右（手）螺旋法則確定。法則確定。baba和矢量積不滿足交換律，矢量積不滿足交換律，而是：而是：baab標(biāo)量積：標(biāo)量積：矢量積：矢量積：baab微積分微積分 （高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)第二章第一、二、三、五節(jié)；第二章第一、二、三、五節(jié)； 第四章第一、五節(jié)；第五章第一、二節(jié)第四章第一、五節(jié)；第五章第一、二節(jié) ）第一節(jié)

13、第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)的概念 實例：直線運動的速度實例：直線運動的速度 直線取為直線取為s軸，則質(zhì)點在任一時刻軸，則質(zhì)點在任一時刻t 的位置的位置s （即動點（即動點的坐標(biāo)）是時間的坐標(biāo)）是時間t 的函數(shù)，記為：的函數(shù)，記為： tsstfs或如勻速直線運動：若設(shè)如勻速直線運動：若設(shè)0,0st時 vttsvttfvts或即,對勻加速直線運動：若設(shè)對勻加速直線運動：若設(shè) 202021,21attvtstfattvs或即00,0vvst，時0s0t則有則有則有則有下面求某一時刻下面求某一時刻t0的（瞬時）速度的（瞬時）速度勻速運動：勻速運動：瞬時速度等于平均速度瞬時速度等

14、于平均速度 tstttststtssvv0000非勻速運動：非勻速運動： t0 0到到t 時間段的時間段的平均速度：平均速度：tsttssv000s0tt0 0ts0 0欲求欲求t0 0的瞬時速度，可令的瞬時速度，可令t接近于接近于t0 0，則此時則此時平均速度的極限值就是平均速度的極限值就是t0 0時刻的瞬時速度。即時刻的瞬時速度。即 dtdststttstsvttt000limlim0稱為稱為 s 對對 t 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)即：即：瞬時速度等于質(zhì)點的位置（坐標(biāo)）對時間瞬時速度等于質(zhì)點的位置（坐標(biāo)）對時間的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，若一般地，若y是是x的函數(shù)，的函數(shù)， y 對對x的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)： 000

15、0limlimxxxyxyxydxdyxyxxx注：注：（1）在某一個點的導(dǎo)數(shù)記為：）在某一個點的導(dǎo)數(shù)記為：（2）導(dǎo)數(shù)的意義：函數(shù)隨自變量的變化率。）導(dǎo)數(shù)的意義：函數(shù)隨自變量的變化率。 00,xxxdxdyxy二、常用的導(dǎo)數(shù)公式：二、常用的導(dǎo)數(shù)公式： xxxxxxeeeeaaaxxCCexxxxsincos7cossin61ln51logln4ln32011為常數(shù) 0000limlimxxxyxyxydxdyxyxxx三、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)三、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) 2.4.3.2.1,vvuvuvuvuvuuvCuCCuvuvuxvvxuu外即常數(shù)可提到導(dǎo)數(shù)符號為常數(shù)都可導(dǎo)，則設(shè)

16、四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例如：作簡諧振動的質(zhì)點的位置例如：作簡諧振動的質(zhì)點的位置 x 是時間是時間t 的函數(shù)：的函數(shù)： dxdududydxdyxgufdxdyxgfyxguufy或則：即：而若,0000sin0sin,cos,costAAdtdddxdtdxvtAxAtAx質(zhì)點的速度：而可看成：為常數(shù)）、（例例1求勻速直線運動的速度：求勻速直線運動的速度：若設(shè)若設(shè)0,0sst 時,0vtss求勻加速直線運動的速度：求勻加速直線運動的速度：若設(shè)若設(shè),21200attvss00,0vvsst，時則：則：則有則有 vdtdtvvtdtddtdsdtdsv000s0tts0 0所

17、以速度：所以速度：例例2 atvtavdttdavatdtdtvdtddtdsv002020022121021所以速度：所以速度：五、高階導(dǎo)數(shù)五、高階導(dǎo)數(shù)例如：直線運動的速度是時間的導(dǎo)數(shù)例如：直線運動的速度是時間的導(dǎo)數(shù)svdtdsv或而加速度又是速度隨時間是變化率即導(dǎo)數(shù)，而加速度又是速度隨時間是變化率即導(dǎo)數(shù)，所以可得：所以可得：22dtsddtdsdtddtdva ssva 或或這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)。一般地，一般地，y對對x的二階導(dǎo)數(shù)為：的二階導(dǎo)數(shù)為：22dxyddxdydxdy 類似地，可定義類似地，可定義三階、四階三階、四階導(dǎo)數(shù)，統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)，統(tǒng)稱高

18、階導(dǎo)數(shù)。例：勻速直線運動例：勻速直線運動,0vtss加速度加速度 022vdtddtdsdtddtsdavdtdsv又如，又如，勻加速直線運動：勻加速直線運動：例例1：,21200attvssaatvdtddtdsdtddtsda022tRxtRxtRxsin,cos,sin2 例例2：,xxxxeyeyeyey 六、微分六、微分1.1.微分的概念：微分的概念： dxxfdydxdyxfdy、dx（以及前面的（以及前面的ds、dt）都叫做微分。）都叫做微分。所以，所以， 也稱微商（二微分之商）也稱微商（二微分之商）lldllldl0冷縮：冷縮：注：物理上也常指一個量（分成無限多份）其中注：物理

19、上也常指一個量（分成無限多份）其中（無限小的）一份：（無限小的）一份：lLdldxdyy 微分的含義：微?。o限?。┰隽?。如微分的含義：微?。o限?。┰隽?。如熱脹：熱脹：2.微分和導(dǎo)數(shù)的幾何意義微分和導(dǎo)數(shù)的幾何意義dx 、 dy分別是曲線上某點分別是曲線上某點x、y坐標(biāo)的微小增量；坐標(biāo)的微小增量；而導(dǎo)數(shù)而導(dǎo)數(shù) 是曲線這一點處切線的斜率。是曲線這一點處切線的斜率。dxdytandxdy3.函數(shù)的微分公式函數(shù)的微分公式（等于導(dǎo)數(shù)公式乘以自變量的微分）（等于導(dǎo)數(shù)公式乘以自變量的微分） （見（見P115116）4.微分的運算法則、和、差、積、商的微分、復(fù)合函微分的運算法則、和、差、積、商的微分、復(fù)合函

20、 數(shù)的微分?jǐn)?shù)的微分（與導(dǎo)數(shù)類似，見與導(dǎo)數(shù)類似，見P116）（見（見P115圖圖2-11）P117例例3：例例4：dxxdyxy12cos212sindxexedxxeedyeyxxxxx22222122111ln例例5：dxxxedxxexedyxeyxxxxsincos3sincos3cos31313131第二節(jié)第二節(jié) 積分積分一、一、不定不定積分的概念積分的概念原函數(shù)：原函數(shù)：設(shè)設(shè)F（x）的導(dǎo)（函）數(shù)是）的導(dǎo)（函）數(shù)是 f（x），即，即 dxxfxdFxfxF或那么，那么，F(xiàn)（x）就稱為）就稱為f（x）的原函數(shù)。的原函數(shù)。例如例如 為任意常數(shù)）CCxFdxxf(即積分是已知導(dǎo)（函）數(shù)求原函

21、數(shù)，即積分是已知導(dǎo)（函）數(shù)求原函數(shù)，而而求導(dǎo)（微分）求導(dǎo)（微分）是是已知原函數(shù)求導(dǎo)（函）數(shù)，所以已知原函數(shù)求導(dǎo)（函）數(shù)，所以積分是微分的逆運算積分是微分的逆運算。.cossin,cossin的原函數(shù)就是xxxx所以，定義所以，定義不定積分：不定積分：+ C例例1：例例2：Cxdxxxxx111111)sincos(cossinsincosxxCxxdxCxxdx例例3：求作勻速直線（取為：求作勻速直線（取為s 軸，且軸，且t=0時，時， s= s 0）的質(zhì)點在任意時刻）的質(zhì)點在任意時刻 t 的位置。的位置。解：解：vdtds即即s是是v的原函數(shù)，所以：的原函數(shù)，所以： 0, 0.sstCvtv

22、dtts代入上式，得代入上式，得C=s0，所以，所以 0svtts二、常用積分表二、常用積分表（詳見（詳見P186）例：例： CedxeCxxdxCxdxxCkxkdxxx4ln312.11CxCxdxxdxxCxCxdxxxdx231212121333321212113三、定積分三、定積分1.定積分的意義定積分的意義求連續(xù)分布的無限多個無限小部分之和。求連續(xù)分布的無限多個無限小部分之和。幾何意義：求曲邊梯形的面積幾何意義：求曲邊梯形的面積（即曲線（即曲線 bxaxyxfy, 0和直線所圍成的圖形的面積）所圍成的圖形的面積） 。 iiixxfA總面積：總面積： niiiniixxfAA11n越

23、多，小面積之和越接近曲邊梯形越多，小面積之和越接近曲邊梯形的面積，當(dāng)?shù)拿娣e，當(dāng) ，量變到質(zhì)變：，量變到質(zhì)變：n dxxfxxfAAbaniiixniini101limlim求法：分成很多個（求法：分成很多個（n個）小矩形，個）小矩形，任一小矩形的面積任一小矩形的面積Oxy xfy abix dxxf稱積分表達(dá)式，稱積分表達(dá)式，a稱積分的下限，稱積分的下限，b稱積分的上限稱積分的上限。其中其中又如：求變速直線運動（又如：求變速直線運動（v=v（t）的路程：）的路程：將路程分成很多小段，每一小段內(nèi)可近似看成勻速：將路程分成很多小段，每一小段內(nèi)可近似看成勻速： iiittvs dttvttvssTTniiitniini21101limlim0s1Tis2T0itn即令令 求極限，即得總路程為：求極限，即得總路程為：2.定積分的計算定積分的計算牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式若若 f（x）的一個原函數(shù)是）的一個原函數(shù)是 F（x），則），則定積分：定積分： aFbFxFd