地球物理資料數(shù)字處理(第二十五講 )

1、第二節(jié)有限差分法波動方程偏移（Finite Difference Wave Equation Migration） 波動方程偏移是建立在射線理論基礎上的繞射掃描偏移具有明顯的優(yōu)越性。因此地震波在地下介質的傳播遵循波動方程規(guī)律，而射線理論只是近似地描述地震波的傳播規(guī)律。因此，應用波動方程進行偏移，一方面偏移歸位效果好，特別是為復雜的地質條件下反射層的偏移歸位提供了可能性；另一方面在實現(xiàn)反射層偏移歸位的過程中保持了反射波的特征。1979年，JFClaerbout提出了用有限差分法直接解簡化的波動方程，以實現(xiàn)地震波場的空間歸位。這種方法是對標量波動方程進行了差分，從波場延拓的觀點獲得地震偏移剖面。因

2、為用了差分網(wǎng)格，可以在垂向和橫向改變速度參數(shù)，適用于一般的非均勻介質。這種方法是首先對波動方程進行Claerbout坐標變換，將標量波動方程分為上行波和下行波兩部分，這樣可以避免用標量波動方程做波場延拓所帶來的不適定性問題；然后忽略掉深度方向的二次偏導數(shù)項，得到變換后的簡化波動方程；最后用有限差分法求解波動方程，使反射層偏移歸位到反射界面空間真實位置。在這一節(jié)首先介紹波動方程偏移的成像原理，然后介紹疊后有限差分法波動方程偏移的原理和差分方程的建立及其求解。一 波動方程偏移的成像原理（Imaging Principle of Wave Equation Migration ）無論那種偏移方法，包

3、括射線理論的和波動理論的偏移方法，抽象出來都不過是把地表地震剖面轉換成近似的地質剖面的一個過程，它包括兩個步驟：波場延拓和成像。波場的延拓就是已地表地震剖面為邊界條件，求取地下各個點的波場值，也稱為波場重建。成像就是在得到了地下各個點的波場之后， 從重建波場中檢測出反映界面信息的波場值的過程。JFClaerbout成像原理指出：存在于地殼里的反射界面，是處在下行波到達且剛剛出現(xiàn)上行波那一瞬間。在應用這一成像原理時，針對不同的具體問題又有不同的形式。1. 爆炸反射界面成像原理爆炸反射界面成像原理是最常用，最簡單的一種成像原理。它把地下反射界面想象成具有爆炸性的物質或爆炸源，爆炸源的形狀，位置與反

4、射界面的形狀和位置一致。它所產(chǎn)生的波動脈沖波，其強度，極性與界面的反射系數(shù)大小和正負一致，因此稱地下反射界面為爆炸反射面。假定在時刻，所有的爆炸反射界面同時起爆，反射上行波到達地面各個觀測點，波的傳播速度為介質速度的一半，即，如果利用波動方程式將地面測得到的波場記錄作反時間方向傳播，即向下延拓，則時刻的波場值就正確地描述了地下反射界面的位置，自動實現(xiàn)了偏移成像。此成像原理適用于對水平疊加地震剖面的偏移處理，因為水平疊加剖面相當于零炮檢距剖面，自炮點發(fā)出的下行波到達反射點的路徑與自該點反射返回地面的上行波的路徑一致，由于做半速代換，所以疊后偏移方法就是利用延拓波場的時刻的的值進行成像。2. 測線

5、下延成像原理測線下延成像原理適用于有炮檢距的的記錄，常在疊前偏移時使用。疊前偏移的基本思想就是以地表記錄為邊界條件。在整條測線上交替的把炮點和檢波點向下沿拓，直到炮點和檢波器相當于埋到地下同一位置為止。由于這是對地下每一點而言，就好像既埋置了震源又埋置了檢波器一樣，根據(jù)J .F.Claerbout 的原始成像原理，顯然這時要取時刻的波場值輸出。測線下延成像原理也適用于零炮檢距記錄的偏移成像，但是對零炮檢距記錄使用爆炸反射界面成像原理更簡單。3.波場傳播的時間一致性成像原理 波場傳播時間的一致性成像原理是彈性波偏移中的一種成像原理。因為彈性波偏移同時要處理縱波、橫波和轉換波，因此它應有自己特殊的

6、成像原理形式。在彈性波偏移中，一般只向下延拓檢波點而炮點不動，即延拓后的波場好象是炮點仍在地表位置而地下各點都埋置了檢波器接收到的波場一樣。為了說明這種成像原理，以入射波（P波）反射縱波（PP波）和轉換波（PS）為例。如圖7-5-a所示，入射縱波傳播時間為t反射縱波傳播時間為t轉換波傳播時間為t。只有在反射點Q處才有t=t=t。即這時反射縱波PP和轉換波PS在反射點Q上結合在一起。如圖7-5（b）是彈性波的成像原理 其中圖中圖波場傳播時間一致性成像原理示意圖由于延拓到點處時，如果不在反射界面上，一般來說，只有當在反射界面上時，才有。因此，在彈性波的延拓波場中，必須取延拓的縱波和橫波（包括轉換波

7、）波場的傳播時間與入射波傳播時間一致的那一時間的值來構成偏移輸出剖面。二15有限差分法波動方程的導出 (15Finite Difference Wave Equation Derivation)Claerbout差分偏移是對水平疊加時間剖面，即自激自收地震記錄進行的，根據(jù)爆炸反射界面成像原理，認為水平疊加剖面是位于地下反射界面上的炮點零時刻產(chǎn)生的脈沖波，沿界面的法向以半速度上行到地面被檢波器記錄道的上行波。因此，地下任一點、任一時刻的波場也都可以認為是上行波，都服從半速度的上行波方程。偏移就是利用這種上行波方程，將地面記錄的上行波作為邊界條件，求零時刻的波場值也就是反射界面處的波場值，偏移技術

8、的關鍵，就是尋求地震波所遵循的上行波方程。地震波在地下介質中的傳播如果介質是均勻的，各項同性的和完全彈性的，則波場函數(shù)滿足二維縱波波動方程其中為波的傳播速度，在討論中假設它是常數(shù)，在實際應用差分偏移方法時它可以隨和而變。對于疊加剖面而言，波動方程（7-2-1）描述的是雙程波的傳播，既有下行波也有上行波。但是，根據(jù)爆炸反射界面成像原理，我們對雙程時間的疊加剖面做偏移時，要對方程（7-2-1）做一些改造才能適用。首先，要把雙程時間改造為單程時間，這可通過做半速代換來解決，這時方程（7-2-1）就變?yōu)椋海?-2-2）其次，要做上、下行波分離，從方程（7-2-2）中去掉下行波，把它簡化成僅適合上行波的

9、形式。為此，可對（7-2-2）做Claerbout上行波坐標變換：則相應的變換關系為：因為坐標變換并不改變實際波場狀態(tài)，因此存在由以上變換公式可以得到方程在新坐標系中的形式：以后為了書寫的方便把仍寫成的形式，則上式應為：因此，對水平迭加剖面做偏移，可以歸結為求解如下解問題：其中就是剖面的范圍，T為地震記錄最大時間。不難看出，此定解問題是不適定的，因為方程中有關于的二階偏導數(shù)，但在野外只能得到波場，而并不能得到，所以這是一個定解條件不足的欠定問題。為了解決這種不適定問題，Claerbout采取了忽略方程中關于z的二階偏導數(shù)項的方法，從而得到了著名的15o近似方程。 （7-2-10）因為我們進行的

10、是時間偏移，因此要把濃度坐標z換成用時間表示的濃度坐標，這要做變換： （7-2-11）這時方程（7-2-10）變?yōu)椋?（7-2-12）這就是實際中廣泛使用的15o近似方程形式。在經(jīng)過（7-2-11）變換之后，方程（7-2-8）變?yōu)?（7-2-13）三 差分方程的建立及求解(Difference Wave Equation Established & Solving )115差分方程的建立(15Difference Wave Equation Established)使用15的近似方程（7-2-12），偏移定解問題（7-2-9）可以寫成 （7-2-14）為了求解此定解問題，用差分方法建立

11、適當?shù)牟罘址匠虂斫莆⒎址匠?，僅僅就差分結解法而言，可以用多種不同的差分格式建立差分方程。用差分方程近似地替代偏微分方程，可分為顯式方程和隱性方程兩大類。通常，顯式方程求解比較容易，快速，但精度不高，對大傾角適應性差，而隱性差分方程雖然求解比較困難，比較慢，但精度高，對傾角大的反射偏移效果好。 在這里我們介紹如圖7-6所示的12點差分格式建立的差分方程求解，圖中點（i，j，k）表示坐標中的點。表示其中，分別表示坐標點的序號，分別表示的坐標增量。 圖7-6 12點的差分格式示意圖12點差分網(wǎng)格的重點為表示點。其余12點的波場函數(shù)均在點用aylor級數(shù)展開。在這里不介紹其詳細的展開過程，感興趣的讀

12、者可以參考有關的參考文獻。把aylor級數(shù)展開式中的高于四階的小量忽略掉，并用12個點的適當?shù)木€形組合可以近似地表示方程（7-2-12）的偏導數(shù)；= - +（7-2-15）= + + +（7-2-16） 將（7-2-15）和（7-2-16）代入定解問題中的偏微分方程，并令：，則得到：-=從而得到15有限差分法偏移的差分表達式：=-（7-1-17）根據(jù)上述差分方程，并考慮到定解問題中給定的初使條件和邊界條件，可以在整條測線上沿時間深度的方向從開始，由到逐層向下延拓，直到所需要的最大時間深度為止。而在由時間深度向下一個時間深度延拓時，則是沿時間軸的相反方向從最大時間出發(fā)，由到直至為止，在時間深度上

13、取時的波場函數(shù)值為輸出值，最后得到偏移后結果如圖7-7所示從中可以看到，偏移時對于時間變量是從最大觀測時間來做逆時遞推的，這也體現(xiàn)出延拓是使波反向傳播的實質。另外，盡管我們所使用15的近似波動方程，只適用常速介質，但在有限差分計算中卻可以處理速度的從縱向和橫向變化，只要在一個空間差分間隔和一個延拓步長為一個常數(shù)就可以。215差分方程的求解(15Difference Wave Equation Solving)求解差分方程（7-2-18）有不同解法，可以利用褶積算法進行求解。方程（7-2-18）右邊的系數(shù)實際上是對的褶積因子，其分子是褶積因子，分母是反褶積因子。為了用遞推方法求出反褶積因子對這個

14、系數(shù)用 變換，設=其分子為=分母為=分子，分母的 變換分別為：= =是Z的二次多項式，它有兩個跟并且。設其中模小于1的根為則 = （7-2-19）上式中的分子是褶積因子的變化，分母是反褶積因子的變換。令 （7-2-20） （7-2-21）則（7-2-22）由（7-2-20）式中，表示沿軸的算子，在差分方程中，右邊第一項的的褶積因子作用于的褶積結果為： = +（7-2-23） +由（7-2-21）式可知：或 （7-2-24）設 則由（7-2-24）式得到 ：=令上式兩邊的冪級數(shù)系數(shù)相等，得到因此，差分方程（7-2-18）中，右邊第一項的的褶積因子作用于的褶積結果為：上式中是求取的遞推形式，根據(jù)和

15、計算的值。 同樣，根據(jù)（7-2-22）可以知道：或因此差分方程（7-2-18）中，右邊的第一項的的褶積因子作用的結果為： （7-2-27）上式是求取的遞推形式，根據(jù)和的值計算出S值，其中 然后，從上面計算出的（7-2-18）式第一項值中減去第二值就可以求得差分方程（7-2-18）式的解，得到的值。 上面介紹的是采用12點中心差分格式建立的差分方程及其求解過程，用差分方程近似微分方程求解，一個很重要的問題是要求差分格式是穩(wěn)定。只有如此，才能通過差分方程求得微分方程的數(shù)值解。在偏移中 ，所謂穩(wěn)定性問題就是誤差是否隨差分方程的遞推求解過程增大的問題。如果誤差不增大，或規(guī)定增的不超過某種比較慢的速率，

16、那這種差分格式就是穩(wěn)定的，經(jīng)過理論證明，本節(jié)所采用的差分格式是穩(wěn)定的。 15有限差分偏移方法被理論和實踐證明，存在傾角的局限性，即對比較大的角度（）的傾斜層偏移效果不好，主要表現(xiàn)是：較大傾角的地震反射波不能正確歸位，波形特征失真和出現(xiàn)頻散。為了解決這個問題，在15偏移的基礎上，又發(fā)展了多種適應大傾角的波動方程偏移方法。A Berkhour和R。Stolt先后推導出適用更大傾角的反射界面的二階近似45方程和三階近似60方程，它們分別為三階和四階偏微分方程，用同樣的方法可以推導出更高階的近似方程。但是利用這些近似方程的偏移要受到傾角的限制，并且由于偏微分方程階數(shù)隨著傾角的增大而提高，應用有限差分法來直接求解高階方程的困難的。八十年代初，馬在田提出了高階方程的偏移的分裂法，把高階方程分裂成一組二階微分方程，以避免高階微商差分帶來的困難。原則上可以實現(xiàn)任意傾角的差分偏移，具有重要的理論意義。但是在大傾角的偏移方法的計算量要比15有限差分偏移的計算量大的多。另外，還有許多種大傾角偏移方法，如線