四年級奧數(shù)數(shù)陣圖含答案

1、第三講 數(shù)陣圖一、知識點(diǎn)：一些數(shù)按照一定的規(guī)則，填在某一特定圖形的規(guī)定位置上，這種圖形，我們稱它為“數(shù)陣圖”，數(shù)陣圖的種類繁多，絢麗多彩，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖，即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖。在解答這類問題時(shí)，要善于確定所求的和與關(guān)鍵數(shù)字間的關(guān)系式，用試驗(yàn)的方法，找到相等的和與關(guān)鍵數(shù)字：要會對基本解中的數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，得到其他的解，從而培養(yǎng)自己的觀察能力，思維的靈活性和嚴(yán)密性。二、典例剖析：例（1） 將16分別填在圖中,使每條邊上的三個(gè)內(nèi)的數(shù)的和都等于9. 分析： 因?yàn)?123456 = 21 ，而每條邊上的三個(gè)數(shù)的和為9，則三條邊上的和為 9×3 = 27 ， 2

2、721 = 6 ， 這個(gè) 6 就是由于三個(gè)頂點(diǎn)都被重復(fù)算了一次。所以三個(gè)頂點(diǎn)的和為 6 ，在 1-6中，只能選1、2、3 填入三個(gè)頂點(diǎn)中，再將4、5、6填入另外的三個(gè)圈即可。解： . . . .1624531534262615343 351624342615243156 . . .練一練：把18個(gè)數(shù)分別填入中,使每條邊上三個(gè)數(shù)的和相等.18372465答案: 例（2 ）把17填入下圖中,使每條線段上三個(gè)內(nèi)的數(shù)的和相等.分析： 中心圓填入的數(shù)設(shè)為x，x參與3條線的連加，設(shè)每條線數(shù)字和都為S.由題意：1+2+3+7+2x=3S 即28+2x=3S或28+2x0（mod 3）借用同余工具，是在兩個(gè)未

3、知數(shù)的不定方程中先縮小x應(yīng)該取值的范圍.在mod3情況下，只要試探x0，1，2三個(gè)值，很輕松地解出：x1（mod3），回復(fù)到x取值范圍為1，2，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出關(guān)鍵在求S（公共和）及x（參與相加次數(shù)最多的圓中值）.6173452解： . . . 56243177241536練一練：把111填入圖中,使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等.1116392105847 答案: 例（3）把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入下圖的一個(gè)中，使得圖中用箭頭連接起來的四個(gè)數(shù)之和都相等。分析 ：由上圖看出，三組數(shù)都包括左、右兩端的數(shù)，所

4、以每組數(shù)的中間兩數(shù)之和必然相等。20以內(nèi)共有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)，兩兩之和相等的有 5197171113 解：于是得到下圖的填法。練一練：將18個(gè)數(shù)分別填入圖中,使每個(gè)圓圈上五個(gè)數(shù)和分別為20,21,22.答案: 824713568612475326831457. . .例（4）在右圖的六個(gè)內(nèi)各填入一個(gè)質(zhì)數(shù)（可取相同的質(zhì)數(shù)），使它們的和等于20，而且每個(gè)三角形（共5個(gè)）頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都相等。 分析：因?yàn)榇笕切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)與中間倒三角形的三個(gè)頂點(diǎn)正好是圖中的六個(gè)，又因?yàn)槊總€(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，所以每個(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和為20÷210。10分為三個(gè)

5、質(zhì)數(shù)之和只能是235，由此得到右圖的填法。解： 練一練：把19,填入下圖中,使每條線段三個(gè)數(shù)和及四個(gè)頂點(diǎn)的和也相等.369452718答案: 例（5）將九個(gè)數(shù)填入右圖的空格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，則一定有證明：設(shè)中心數(shù)為d。由上講例4知每行、每列、每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于3d。由此計(jì)算出第一行中間的數(shù)為2db，右下角的數(shù)為2d-c（見下圖）。根據(jù)第一行和第三列都可以求出上圖中處的數(shù)由此得到3d-c-（2d-b）3d-a-（2d-c），3d-c-2db3d-a-2dc，dcbdac， 2cab， 值得注意的是，這個(gè)結(jié)論對于a和b并沒有什么限制，可以是自然數(shù)，也可

6、以是分?jǐn)?shù)、小數(shù)；可以相同，也可以不同。練一練：在下頁右上圖的空格中填入七個(gè)自然數(shù)，使得每一行、每一列及每一條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于90。 答案: 例（6）在右圖所示立方體的八個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)出19中的八個(gè)，使得每個(gè)面上四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)數(shù)字之和都等于k，并且k不能被未標(biāo)出的數(shù)整除。分析：設(shè)未被標(biāo)出的數(shù)為a，則被標(biāo)出的八個(gè)數(shù)之和為129-a45-a。由于每個(gè)頂點(diǎn)都屬于三個(gè)面，所以六個(gè)面的所有頂點(diǎn)數(shù)字之和為6k3×（45-a），2k45-a。2k是偶數(shù)，45a也應(yīng)是偶數(shù)，所以a必為奇數(shù)。若a1，則k22；若a3，則k21；若a5，則k20；若a7，則k19；若a9，則k18。因?yàn)閗不能被a整除，

7、所以只有a7，k19符合條件。由于每個(gè)面上四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和等于19，所以與9在一個(gè)面上的另外三個(gè)頂點(diǎn)數(shù)之和應(yīng)等于10。在1，2，3，4，5，6，8中，三個(gè)數(shù)之和等于10的有三組：10136145235，解： 將這三組數(shù)填入9所在的三個(gè)面上，可得下圖的填法。練一練：把112這十二個(gè)數(shù),填入下圖中的12個(gè)內(nèi),使每條線段上四個(gè)數(shù)的和相等,兩個(gè)同心圓上的數(shù)的和也相等.112581037624911答案： 模擬測試（ 3 ）1、把18這8個(gè)數(shù),分別填入圖中的方格內(nèi)(每個(gè)數(shù)必須用一次),使“十一”三筆中每三個(gè)方格內(nèi)數(shù)的和都相等.2、把19個(gè)數(shù)分別填入中,使每條邊上四個(gè)數(shù)的和相等.3、把110填入圖中,

8、使五條邊上三個(gè)內(nèi)的數(shù)的和相等.4、把49填入下圖中,使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等,都是18.5、將19這九個(gè)數(shù)分別填入圖中內(nèi),使每條線段三個(gè)數(shù)相等.6、 把18這8個(gè)數(shù)填入下圖,使每邊上的加、減、乘、除成立.-÷×=+=7、把09填入10個(gè)小三角形中,使每4個(gè)小三角形組成的大三角形的和相等.8、圖有五個(gè)圓,它們相交相互分成9個(gè)區(qū)域,現(xiàn)在兩個(gè)區(qū)域里已經(jīng)填上10與6，請?jiān)诹硗馄邆€(gè)區(qū)域里分別填進(jìn)2.3.4七個(gè)數(shù),使每圓內(nèi)的和都等于15.1069、把18,填入圖中,使每條線及正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等.10、在下圖中的幾個(gè)圈內(nèi)各填一個(gè)數(shù),使每一條直線上的三個(gè)數(shù)中,當(dāng)中的數(shù)是兩邊兩個(gè)數(shù)

9、的平均數(shù),現(xiàn)在已經(jīng)填好兩個(gè)數(shù),那么( ).17131、把116這16個(gè)數(shù),填入圖中的16個(gè)內(nèi),使五個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上內(nèi)數(shù)的和相等.2、將1-12這十二個(gè)數(shù)分別填入圖中的十二個(gè)小圓圈里,使每條直線上的四個(gè)小圓圈中的數(shù)字之和26.3、將110這十個(gè)數(shù)分別填入下圖中的十個(gè)內(nèi),使每條線段上四個(gè)內(nèi)數(shù)的和相等,每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)上內(nèi)數(shù)的和也相等.4、把111這11個(gè)數(shù)分別填入如下圖11個(gè)內(nèi),使每條虛線上三個(gè)內(nèi)數(shù)的和相等,一共有幾種不同的和?5、 把116填入下圖中,使每條邊上4個(gè)數(shù)的和相等,兩個(gè)八邊形上8個(gè)數(shù)的和也相等.模擬測試（ 3 ） 解答1、38246571 2、295381746392751846 a b 658110273943、 4. 6759484713829565、 6、56-÷32×4=87+=1 7、8170942