和角公式與倍角公式

1、§4.5和角公式與倍角公式1cos()cos cos sin sin (C)cos()_(C)sin()_(S)sin()_(S)tan()(T)tan()(T)前面4個(gè)公式對(duì)任意的，都成立，而后面兩個(gè)公式成立的條件是k，k，kZ，且k(T需滿(mǎn)足)，k(T需滿(mǎn)足)kZ時(shí)成立，否則是不成立的當(dāng)tan 、tan 或tan(±)的值不存在時(shí)，不能使用公式T±處理有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)改用誘導(dǎo)公式或其它方法來(lái)解2二倍角公式sin 2_；cos 2_；tan 2_.3在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用等如T±可變形為：tan &

2、#177;tan _，tan tan _.4函數(shù)f()acos bsin (a，b為常數(shù))，可以化為f()_或f()_，其中可由a，b的值唯一確定難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1正確理解并掌握和、差角公式間的關(guān)系理解并掌握和、差角公式間的關(guān)系對(duì)掌握公式十分有效如cos()cos cos sin sin 可用向量推導(dǎo)，cos()只需轉(zhuǎn)化為cos()利用上述公式和誘導(dǎo)公式即可2辯證地看待和角與差角為了靈活應(yīng)用和、差角公式，可以對(duì)角進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱肿儞Q：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換如()()，2()(),2()()，2·，等1化簡(jiǎn)：sin 200

3、76;cos 140°cos 160°sin 40°_.2已知sin()，sin()，則的值為_(kāi)3函數(shù)f(x)2sin x(sin xcos x)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)4(2011·遼寧)設(shè)sin()，則sin 2等于 ()A B C. D.5若sin，則cos的值為 ()A. B C. D題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題例1(1)化簡(jiǎn)： (0<<)；(2)求值：sin 10°.探究提高(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征(2)對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特殊角，解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路有：化為特

4、殊角的三角函數(shù)值；化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值 (1)化簡(jiǎn)：·；(2)求值：2sin 50°sin 10°(1tan 10°)·.題型二三角函數(shù)的給角求值與給值求角問(wèn)題例2(1)已知<<<，cos()，sin()，求sin 2；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值探究提高(1)通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍

5、為，選正弦較好(2)解這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟為：求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；確定角的范圍；根據(jù)角的范圍寫(xiě)出所求的角 (2011·廣東)已知函數(shù)f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)設(shè)，f，f(32)，求cos()的值題型三三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3已知f(x)sin2x2sin·sin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范圍探究提高(1)將f(x)化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運(yùn)用“1”的代換技巧，將sin 2，cos 2化為正切tan ，為第(1)問(wèn)鋪平道路(2)把形如yasin xbcos x化為ysin(x)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值

6、與對(duì)稱(chēng)性 (2010·天津)已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間0，上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值6.構(gòu)造輔助角逆用和角公式解題試題：(12分)已知函數(shù)f(x)2cos x·cossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)0，時(shí)，若f()1，求的值審題視角(1)在f(x)的表達(dá)式中，有平方、有乘積，而且還表現(xiàn)為有不同角，所以要考慮到化同角、降冪等轉(zhuǎn)化方法(2)當(dāng)f(x)asin xbcos x的形式時(shí)，可考慮輔助角公式規(guī)范解答解(1)因?yàn)閒(x)2

7、cos xcossin2xsin xcos xcos2xsin xcos xsin2xsin xcos x2分cos 2xsin 2x2sin，所以最小正周期T.6分(2)由f()1，得2sin1，又0，所以2，8分所以2或2，故或.12分第一步：將f(x)化為asin xbcos x的形式第二步：構(gòu)造：f(x)(sin x· cos x·)第三步：和角公式逆用f(x)sin(x) (其中 為輔助角)第四步：利用f(x)sin(x)研究三角函數(shù)的性質(zhì)第五步：反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范批閱筆記(1)在本題的解法中，運(yùn)用了二倍角的正、余弦公式，還引入了輔助角，技巧性較

8、強(qiáng)值得強(qiáng)調(diào)的是：輔助角公式asin bcos sin()(其中tan )，或asin bcos cos() (其中tan )，在歷年高考中使用頻率 是相當(dāng)高的，幾乎年年使用到、考查到，應(yīng)特別加以關(guān)注(2)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是想不到引入輔助角或引入錯(cuò)誤在定義域大于周期的區(qū)間上求最值時(shí)，輔助角的值一般不用具體確定.方法與技巧1巧用公式變形：和差角公式變形：tan x±tan ytan(x±y)·(1tan x·tan y)；倍角公式變形：降冪公式cos2，sin2；配方變形：1±sin 2,1cos 2cos2，1cos 2sin2.2利用輔助角公式求最

9、值、單調(diào)區(qū)間、周期yasin bcos sin()(其中tan )有：|y|.3重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角為：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱(chēng)；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或二倍角后再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角，就可以從此入手，給這個(gè)等式兩邊求某一函數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化5熟悉三角公式的整

10、體結(jié)構(gòu)，靈活變換本節(jié)要重視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌握公式中角和函數(shù)名稱(chēng)的特征，要體會(huì)公式間的聯(lián)系，掌握常見(jiàn)的公式變形，倍角公式應(yīng)用是重點(diǎn)，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其變形失誤與防范1運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通2在(0，)范圍內(nèi)，sin()所對(duì)應(yīng)的角不是唯一的3在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值§4.5和角公式與倍角公式(時(shí)間：60分鐘)A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1已知sin ，則cos(2)等于 ()A B C. D.2(2011·福建)若，且s

11、in2cos 2，則tan 的值等于 ()A. B. C. D.3(2011·浙江)若0<<，<<0，cos，cos，則cos等于()A. B C. D二、填空題4(2011·江蘇)已知tan2，則的值為_(kāi)5函數(shù)f(x)2cos2xsin 2x的最小值是_6 sin ，cos ，其中，則_.三、解答題7已知A、B均為鈍角且sin A，sin B，求AB的值8已知函數(shù)f(x)cos2sin·sin，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升題組一、選擇題1已知銳角滿(mǎn)足cos 2cos，則sin 2等于 ()A. BC. D2若將函

12、數(shù)yAcos·sin (A>0，>0)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的值可能為 ()A2 B3 C4 D53在ABC中，若tan Atan Btan A·tan B，且sin Acos A，則ABC()A等腰三角形 B等腰或直角三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形二、填空題4化簡(jiǎn)：sin2x2sin xcos x3cos2x_.5._.6已知cos，則_.三、解答題7已知cos ，cos()，且0<<<，(1)求tan 2的值；(2)求.8設(shè)函數(shù)f(x)cossin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)A，B，C為ABC

13、的三個(gè)內(nèi)角,若cos B，f，且C為銳角，求sin A.答案要點(diǎn)梳理1cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 22sin cos cos2sin22cos2112sin23tan(±)(1tan tan )114. sin()cos()基礎(chǔ)自測(cè)1.2.3. (kZ)4A5.D題型分類(lèi)·深度剖析例1解(1)原式.因?yàn)?<<，所以0<<，所以cos >0，所以原式cos .(2)原式sin 10°sin 10°·sin 10°·.2cos 10

14、°.變式訓(xùn)練1(1)(2)例2解(1)<<<，0<<，<<，sin()，cos()，sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()××.(2)tan tan()>0，0<<，又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.變式訓(xùn)練2(1)(2)例3解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sin·cossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由

15、tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x.sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范圍是.變式訓(xùn)練3(1)最小正周期為，最大值為2，最小值為1(2)課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組1B2.D3.C4.5.16.7解A、B均為鈍角且sin A，sin B，cos A ，cos B ，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B××，又<A<，<B<，<AB<2，AB.8解由題意，得f(x)cos2sin·sincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，又x，所以2x.又f(x)sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最大值1.又f<f，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值.故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為1與.B組1A2.D3.C4.sin2546.7解(1)由cos ，0<<，得sin ，tan ×4.于是tan 2.(2)由0<<<，得0<<.又