整式的概念知識(shí)講解

1、整式的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握單項(xiàng)式系數(shù)及次數(shù)的概念；2 .理解多項(xiàng)式的次數(shù)及多項(xiàng)式的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)及次數(shù)的概念；3 .掌握整式的概念，會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)式是否為整式；4 .能準(zhǔn)確而熟練地列式子表示一些數(shù)量關(guān)系.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、單項(xiàng)式211.單項(xiàng)式的概念：如2xy2, -mn, -1,它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項(xiàng)式，3單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.要點(diǎn)詮釋：(1)單項(xiàng)式包括三種類型：數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；單獨(dú)的一個(gè)數(shù)；單獨(dú)的一個(gè)字母.st1(2)單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算，但可以含有除法運(yùn)算.如：一可以寫成一st。但若分母22 5中含有字母，如 一就不是單項(xiàng)式，

2、因?yàn)樗鼰o(wú)法寫成數(shù)字與字母的乘積.m2.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù).要點(diǎn)詮釋：(1)確定單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，最好先將單項(xiàng)式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定其系數(shù)；(2)圓周率 兀是常數(shù).單項(xiàng)式中出現(xiàn) 兀時(shí)，應(yīng)看作系數(shù)；(3)當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是 1或-1時(shí)，“1”通常省略不寫；(4)單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，15通常寫成假分?jǐn)?shù)，如：1 x2y寫成一x2y .443.單項(xiàng)式的次數(shù)： 一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).要點(diǎn)詮釋：?jiǎn)雾?xiàng)式的次數(shù)是計(jì)算單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和得到的，計(jì)算時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：(1)沒有寫指數(shù)的字母，實(shí)際上其指數(shù)是1,計(jì)算時(shí)不能將其遺漏；

3、(2)不能將數(shù)字的指數(shù)一同計(jì)算.要點(diǎn)二、多項(xiàng)式1 .多項(xiàng)式的概念： 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.要點(diǎn)詮釋：“幾個(gè)”是指兩個(gè)或兩個(gè)以上.2 .多項(xiàng)式的項(xiàng)：每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).要點(diǎn)詮釋：(1)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào).(2) 一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式，如： 6x2 2x 7是一個(gè)三項(xiàng)式.3.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).要點(diǎn)詮釋：(1)多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有項(xiàng)的次數(shù)之和，而是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式的次(2) 一個(gè)多項(xiàng)式中的最高次項(xiàng)有時(shí)不止一個(gè)，在確定最高次項(xiàng)時(shí)，都應(yīng)寫出. 要點(diǎn)三、整式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.要點(diǎn)詮釋：(1)

4、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式這三者之間的關(guān)系如圖所示.即單項(xiàng)式、多項(xiàng)式必是整式，但反過來(lái)就不一定成立.（2）分母中含有字母的式子一定不是整式.【典型例題】類型一、整式概念辨析C1 .指出下列各式中哪些是單項(xiàng)式？哪些是多項(xiàng)式？哪些是整式？x2 y2, x, -b, 10, 6xy 1 , , 1m2n, 2x2 x 5, 22, a7 3x 7x2 x127【答案與解析】 單項(xiàng)式有：x, 10, 1m2n, a7；，一，,22 a b2_多項(xiàng)式有：x y , ， 6xy 1, 2x x 5；3整式有:x2 y2, x , -10, 6xy 1 , m2n , 2x2 x 5, a7.3721【總結(jié)升華】

5、-2-不是整式，因?yàn)榉帜钢泻凶帜?；a2 1 2也不是多項(xiàng)式，因?yàn)閤 xa不是單項(xiàng)式.舉一反三:【變式】下列代數(shù)式：1; 絲1 ab3;x士2x;x2y2-2x3y y3,32x其中是單項(xiàng)式的是 ,是多項(xiàng)式的是 .【答案】，類型二、單項(xiàng)式C 2 .指出下列代數(shù)式中的單項(xiàng)式,并寫出各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù).3a2b4 ，【答案與解析】3a2b4 ，_ 4 4 a _225_82a , 2 x , , 3 a y , a-3, - , -3 10 tm ,_44_2 25_ 822a , 2 x , 3 a y , -, -3 10 tm , x y是單項(xiàng)式，其中3a b，一-3-，一-4 4 4,的

6、系數(shù)是 一，次數(shù)是3； a的系數(shù)是-1,次數(shù)是1； 2 x的系數(shù)是2 ,次 44數(shù)是4;2 253 a2y2的系數(shù)是3 ,次數(shù)是4；一為非零常數(shù)，只有數(shù)字因式，系數(shù)是它本身，次3數(shù)為0;-3 108tm2的系數(shù)仍按科學(xué)記數(shù)法表示為-3X108,次數(shù)是3；2x y只含有字母因數(shù)，系數(shù)是 1,次數(shù)為字母指數(shù)之和為 3.【總結(jié)升華】（1）要區(qū)分?jǐn)?shù)字因數(shù)、字母因數(shù)；（2）不能見了指數(shù)就相加，如 24x4中，24的指數(shù)4不能相加，次數(shù)為4; （3）有分?jǐn)?shù)線的，分子、分母的數(shù)字都是系數(shù)；（4）是常數(shù)，不能看作字母.舉一反三：【變式1】單項(xiàng)式3x2y3的系數(shù)是 .【答案】3.【變式2】下列結(jié)論正確的是（）.

7、A.沒有加減運(yùn)算的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.2B.單項(xiàng)式3xy的系數(shù)是3,次數(shù)是2.7C.單項(xiàng)式m既沒有系數(shù)，也沒有次數(shù).D.單項(xiàng)式 xy2z的系數(shù)是-1,次數(shù)是4.【答案】D類型三、多項(xiàng)式4 22 4 2" 3.多項(xiàng)式 一x y x y x 1，這個(gè)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)是什么？ 一次項(xiàng)的系數(shù)是什 53么？常數(shù)項(xiàng)是什么？這是幾次幾項(xiàng)式？【答案與解析】 這個(gè)多項(xiàng)式中共有四項(xiàng)，分別為：4x2y,-x4y2, x,1 ,它們的次數(shù)分53別為：3,6,1,0;，一 2其中一x4y2的次數(shù)是6,是最高次項(xiàng)，一次項(xiàng) x的系數(shù)是-1,常數(shù)項(xiàng)是1,它是六次四項(xiàng)3式.【總結(jié)升華】 確定多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，分兩步：（1

8、）先求多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的次數(shù)；（2）取這些次數(shù)中的最大的數(shù)即為多項(xiàng)式的次數(shù).44.已知多項(xiàng)式 6xy2 7x3m1y2y x2 y 5.（1）求多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù).（2）如果多項(xiàng)式是七次五項(xiàng)式，求m的值.【答案與解析】（1）依題意知此多項(xiàng)式是五項(xiàng)式，第一項(xiàng) 6xy2的系數(shù)是-6,次數(shù)是3;第二項(xiàng) 7x3m1y2的系數(shù)是-7,次數(shù)是3m+1；第三項(xiàng)4x3y的系數(shù)是4 ,次數(shù)是4；第四項(xiàng) x2y 33系數(shù)是-l,次數(shù)3;第五項(xiàng)-5系數(shù)是-5,次數(shù)是0.（2）由多項(xiàng)式是七次五項(xiàng)式，可得7x3m1y2的次數(shù)是7,即3m-1+2= 7,解得m = 2.【總結(jié)升華】對(duì)于單項(xiàng)式 7x3m1y2的次數(shù)為3m

9、+1的認(rèn)識(shí)會(huì)不太習(xí)慣，通過適量的練習(xí)，會(huì)對(duì)用字母表示多項(xiàng)式的次數(shù)或系數(shù)有較深地認(rèn)識(shí).舉一反三：【變式】多項(xiàng)式 a 4 X3x b是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，求 a與b的差的相反數(shù).解：由題意得a b 4 22.類型四、整式的應(yīng)用55,用整式填空：（1）某商場(chǎng)將一種商品 A按標(biāo)價(jià)的9折出售（即優(yōu)惠10%）仍可獲利10%,若商場(chǎng)商品A 的標(biāo)價(jià)為a元，那么該商品的進(jìn)價(jià)為 元（列出式子即可，不用化簡(jiǎn) ）.（2）甲商品的進(jìn)價(jià)為1400元，若標(biāo)價(jià)為a元，按標(biāo)價(jià)的9折出售；乙商品的進(jìn)價(jià)是 400 元，若標(biāo)價(jià)為b元，按標(biāo)價(jià)的8折出售，列式表示兩種商品的利潤(rùn)率分別為甲： 乙：【答案】（1） 90%a ； （ 2）甲商

10、品的利潤(rùn)率為90%a 1400 x 100%,10% 1乙商品的利潤(rùn)率為：80% b 400 X 100% .400【解析】本例屬于實(shí)際生活問題，應(yīng)分清“進(jìn)價(jià)” 問題，打幾折就是標(biāo)價(jià)的十分之幾.【總結(jié)升華】解答本例需弄清以下兩個(gè)數(shù)量關(guān)系:售價(jià)-進(jìn)價(jià)舉一反三：1400、“標(biāo)價(jià)”、“利潤(rùn)”、“利潤(rùn)率”、“打折”等（1）利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià) ；（2）利潤(rùn)率=【變式】（2014秋?棲霞市期末）對(duì)下列代數(shù)式作出解釋，其中不正確的是（）A. a -b：今年小明b歲，小明的爸爸 a歲，小明比他爸爸小（a-b）歲B. a - b：今年小明b歲，小明的爸爸 a歲，則小明出生時(shí)，他爸爸為（ a-b）歲2C. ab :長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 acm,如為bcm,長(zhǎng)方形白面積為 abcmD. ab :三角形的一邊長(zhǎng)為 acm,這邊上的高為 bcm,此三角形的面積為 abcm2【答案】D.歌 6. （2015?重慶）下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第個(gè)圖形中一共有6個(gè)小圓圈，第個(gè)圖形中一共有9個(gè)小圓圈，第個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈，按此規(guī)律排列，則第個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為（）A. 21 B. 24C.27 D. 30【答案】B【解