§2.2 函數(shù)解析的充要條件2011-9-27(上課用)

1、提問(wèn)：（1）函數(shù)在平面上解析嗎？（2）函數(shù) 在點(diǎn)處是（ ）（A）不可導(dǎo)的. (B) 可導(dǎo)的. (C) 解析的. (D)既不可導(dǎo)也不解析. 若有可導(dǎo)處，寫(xiě)出可導(dǎo)處的導(dǎo)數(shù).§2.2 函數(shù)解析的充要條件教學(xué)目的：掌握復(fù)變函數(shù)可微、解析與實(shí)、虛部?jī)蓚€(gè)二元實(shí)函數(shù)的關(guān)系（CR條件）；正確判斷函數(shù)的解析性重難點(diǎn)：判斷函數(shù)可導(dǎo)與解析教學(xué)過(guò)程：在形式上復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算法則與實(shí)函數(shù)相似，但實(shí)質(zhì)上它們之間存在很大的的差異 【定理2.2 】（函數(shù)在一點(diǎn)可微的充要條件）設(shè) 定義在區(qū)域D上，則在點(diǎn)可微（可導(dǎo)）的充要條件是 ： (1) 在點(diǎn)可微； (2) 在點(diǎn)滿足（ 柯西黎曼條件或稱方程 ） 證明 必要性:

2、若 在點(diǎn)可微 記, , 其中 ，由導(dǎo)數(shù)的定義知 比較上式兩邊的實(shí)部、虛部得)）再由二元實(shí)函數(shù)可微的定義知, 在點(diǎn)可微, 且 充分性: 在點(diǎn)可微,且記 則 .所以 .說(shuō)明：如果在點(diǎn)可微， 則有 導(dǎo)數(shù)公式 （由方程還可以寫(xiě)出其它形式）特別注意：方程是函數(shù)可導(dǎo)的必要而非充分條件.在實(shí)函數(shù)中,我們知道由二元實(shí)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)可以推得二元函數(shù)可微, 由此可得【推論】 (可微的充分條件) 設(shè)定義在區(qū)域D上，則在點(diǎn)可微的充分條件是(1) 在點(diǎn) 處具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)； (2) 在點(diǎn)滿足CR條件注： 定理2.2的充分性由推論立即可得, 但必要性的證明需要用到第三章中的解析函數(shù)的無(wú)窮可微性例如：函數(shù) 令

3、，則在點(diǎn)處滿足方程即 ，但是由于在點(diǎn)處不連續(xù)，所以函數(shù)在處不可導(dǎo).【定理2.3】 設(shè)定義在區(qū)域D上，則在內(nèi)解析的充要條件是 (1) 在D內(nèi)處處可微； (2) 在D內(nèi)滿足方程【推論】設(shè)定義在區(qū)域D上，則在內(nèi)解析的充分條件是 (1) 在D內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)； (2) 在內(nèi)滿足CR方程例1 討論下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性（1）解：設(shè), 則有, 記 , 因, , 顯然它們不滿足CR條件, 在平面上處處不可導(dǎo)且處處不解析（2）解： 設(shè), 則有, 記 , 因 , , 顯然它們都是連續(xù)的.要使CR成立, 只需即可,所以 僅在原點(diǎn)可導(dǎo), 但在z平面上處處不解析（3）.解：設(shè), 則有 因?yàn)?，且四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在

4、且連續(xù)，所以 在z平面上處處可導(dǎo)且處處解析且注: 滿足此例題條件的解析函數(shù)稱為復(fù)指數(shù)函數(shù)（4）說(shuō)明：在討論具體函數(shù)的可導(dǎo)性和解析性時(shí),若CR方程不成立，則函數(shù)一定不可導(dǎo).用推論有時(shí)更方便.思考提問(wèn)：6若在曲線C上每點(diǎn)不解析，則在C上不可導(dǎo)（ ） 7若在曲線C上每點(diǎn)可導(dǎo)，則在C上每一點(diǎn)解析（ ）練習(xí)：（1）討論函數(shù)的可微性與解析性解 記, , 因 , ,顯然它們都是連續(xù)的.要使CR 條件滿足, 只需 即, 所以 僅在直線上可導(dǎo), 但在z平面上處處不解析(2) 討論函數(shù) 的可導(dǎo)性與解析性解 記 , , 因 , ,顯然它們都是連續(xù)的 要使CR 條件滿足, 只需 即僅在軸或軸上的點(diǎn)可導(dǎo)， 但在z平面上

5、處處不解析例2 判斷函數(shù) 在何處可導(dǎo)，何處解析，并求解 ，四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，由CR方程得故 函數(shù) 僅在曲線上可導(dǎo)，又點(diǎn)在此曲線上，所以存在且6，而不在曲線上，所以 不存在例3判斷函數(shù) 在復(fù)平面上的解析性；若解析，試求解 , ，四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，由CR方程得成立，故函數(shù) 在復(fù)平面上處處解析且提問(wèn)（1） 求實(shí)數(shù)，使在復(fù)平面上解析.分析：由條件可以推出 （2）設(shè)為解析函數(shù)，試確定的值.提示：由C-R方程推出：且 解得：=1, .例4 函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析, 且滿足下列條件之一, 證明: 在區(qū)域D內(nèi)必為常數(shù)(1) （2）常數(shù)（3）在區(qū)域D內(nèi)解析. (4) 在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù)（5），其中a,b,c為不全

6、為零的實(shí)常數(shù).證明 (1) 由 知 ，故 u ，v都是常數(shù)，從而 在D內(nèi)必為常數(shù)（2）設(shè) ,因?yàn)?u常數(shù)，故 ，由方程知 ，從而 在D內(nèi)必為常數(shù)(3) 設(shè) , 則 . 又和都在區(qū)域D內(nèi)解析, 由CR條件得, , 解得 , 再由實(shí)函數(shù)的知識(shí), 與均為實(shí)常數(shù), 所以在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù)(4) 設(shè), 則 . 由題設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析, 且為常數(shù), 從而 (1) (2)由(2)式得 (3) (4)若, 則, 結(jié)論顯然成立；若,聯(lián)立(1)(3)(4)得，；再由實(shí)函數(shù)的知識(shí), 與均為實(shí)常數(shù), 所以在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù)（5）將兩邊分別求對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)得當(dāng)時(shí)，此與不同時(shí)為零矛盾，舍.當(dāng)時(shí)，例5 設(shè)函數(shù)問(wèn)常數(shù)為何值時(shí)，在復(fù)平面上處處解析？解 由于 ，由 故 當(dāng) 時(shí)，在復(fù)平面上處處解析例6 如果為一個(gè)解析函數(shù)，且，那么曲線族和必定相互正交，其中 為常數(shù)（兩曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直）證明 由于，所以與必不全為零1） 如果在曲線的交點(diǎn)處與都不為零，由隱函數(shù)求導(dǎo)法知曲線族和中任意一條曲線在交點(diǎn)處的切線斜率分別為 ，由C-R方程得即 和正交2）如果和中有一個(gè)為零，則兩曲線族中的曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的，它們?nèi)曰ハ嗾恍〗Y(jié)：1.判斷函數(shù)的解析性時(shí)最好將其轉(zhuǎn)化為運(yùn)用推論即對(duì)應(yīng)實(shí)、虛部函數(shù)是否具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是否