§2.2 函數(shù)解析的充要條件2011-9-27(上課用)

1、提問：（1）函數(shù)在平面上解析嗎？（2）函數(shù) 在點處是（ ）（A）不可導的. (B) 可導的. (C) 解析的. (D)既不可導也不解析. 若有可導處，寫出可導處的導數(shù).§2.2 函數(shù)解析的充要條件教學目的：掌握復變函數(shù)可微、解析與實、虛部兩個二元實函數(shù)的關系（CR條件）；正確判斷函數(shù)的解析性重難點：判斷函數(shù)可導與解析教學過程：在形式上復變函數(shù)的導數(shù)及其運算法則與實函數(shù)相似，但實質上它們之間存在很大的的差異 【定理2.2 】（函數(shù)在一點可微的充要條件）設 定義在區(qū)域D上，則在點可微（可導）的充要條件是 ： (1) 在點可微； (2) 在點滿足（ 柯西黎曼條件或稱方程 ） 證明 必要性:

2、若 在點可微 記, , 其中 ，由導數(shù)的定義知 比較上式兩邊的實部、虛部得)）再由二元實函數(shù)可微的定義知, 在點可微, 且 充分性: 在點可微,且記 則 .所以 .說明：如果在點可微， 則有 導數(shù)公式 （由方程還可以寫出其它形式）特別注意：方程是函數(shù)可導的必要而非充分條件.在實函數(shù)中,我們知道由二元實函數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù)可以推得二元函數(shù)可微, 由此可得【推論】 (可微的充分條件) 設定義在區(qū)域D上，則在點可微的充分條件是(1) 在點 處具有一階連續(xù)的偏導數(shù)； (2) 在點滿足CR條件注： 定理2.2的充分性由推論立即可得, 但必要性的證明需要用到第三章中的解析函數(shù)的無窮可微性例如：函數(shù) 令

3、，則在點處滿足方程即 ，但是由于在點處不連續(xù)，所以函數(shù)在處不可導.【定理2.3】 設定義在區(qū)域D上，則在內解析的充要條件是 (1) 在D內處處可微； (2) 在D內滿足方程【推論】設定義在區(qū)域D上，則在內解析的充分條件是 (1) 在D內具有一階連續(xù)的偏導數(shù)； (2) 在內滿足CR方程例1 討論下列函數(shù)的可導性與解析性（1）解：設, 則有, 記 , 因, , 顯然它們不滿足CR條件, 在平面上處處不可導且處處不解析（2）解： 設, 則有, 記 , 因 , , 顯然它們都是連續(xù)的.要使CR成立, 只需即可,所以 僅在原點可導, 但在z平面上處處不解析（3）.解：設, 則有 因為 ，且四個偏導數(shù)存在

4、且連續(xù)，所以 在z平面上處處可導且處處解析且注: 滿足此例題條件的解析函數(shù)稱為復指數(shù)函數(shù)（4）說明：在討論具體函數(shù)的可導性和解析性時,若CR方程不成立，則函數(shù)一定不可導.用推論有時更方便.思考提問：6若在曲線C上每點不解析，則在C上不可導（ ） 7若在曲線C上每點可導，則在C上每一點解析（ ）練習：（1）討論函數(shù)的可微性與解析性解 記, , 因 , ,顯然它們都是連續(xù)的.要使CR 條件滿足, 只需 即, 所以 僅在直線上可導, 但在z平面上處處不解析(2) 討論函數(shù) 的可導性與解析性解 記 , , 因 , ,顯然它們都是連續(xù)的 要使CR 條件滿足, 只需 即僅在軸或軸上的點可導， 但在z平面上

5、處處不解析例2 判斷函數(shù) 在何處可導，何處解析，并求解 ，四個一階偏導數(shù)連續(xù)，由CR方程得故 函數(shù) 僅在曲線上可導，又點在此曲線上，所以存在且6，而不在曲線上，所以 不存在例3判斷函數(shù) 在復平面上的解析性；若解析，試求解 , ，四個一階偏導數(shù)連續(xù)，由CR方程得成立，故函數(shù) 在復平面上處處解析且提問（1） 求實數(shù)，使在復平面上解析.分析：由條件可以推出 （2）設為解析函數(shù)，試確定的值.提示：由C-R方程推出：且 解得：=1, .例4 函數(shù)在區(qū)域D內解析, 且滿足下列條件之一, 證明: 在區(qū)域D內必為常數(shù)(1) （2）常數(shù)（3）在區(qū)域D內解析. (4) 在區(qū)域D內為常數(shù)（5），其中a,b,c為不全

6、為零的實常數(shù).證明 (1) 由 知 ，故 u ，v都是常數(shù)，從而 在D內必為常數(shù)（2）設 ,因為 u常數(shù)，故 ，由方程知 ，從而 在D內必為常數(shù)(3) 設 , 則 . 又和都在區(qū)域D內解析, 由CR條件得, , 解得 , 再由實函數(shù)的知識, 與均為實常數(shù), 所以在區(qū)域D內為常數(shù)(4) 設, 則 . 由題設在區(qū)域D內解析, 且為常數(shù), 從而 (1) (2)由(2)式得 (3) (4)若, 則, 結論顯然成立；若,聯(lián)立(1)(3)(4)得，；再由實函數(shù)的知識, 與均為實常數(shù), 所以在區(qū)域D內為常數(shù)（5）將兩邊分別求對的偏導數(shù)得當時，此與不同時為零矛盾，舍.當時，例5 設函數(shù)問常數(shù)為何值時，在復平面上處處解析？解 由于 ，由 故 當 時，在復平面上處處解析例6 如果為一個解析函數(shù)，且，那么曲線族和必定相互正交，其中 為常數(shù)（兩曲線在交點處的切線互相垂直）證明 由于，所以與必不全為零1） 如果在曲線的交點處與都不為零，由隱函數(shù)求導法知曲線族和中任意一條曲線在交點處的切線斜率分別為 ，由C-R方程得即 和正交2）如果和中有一個為零，則兩曲線族中的曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的，它們仍互相正交小結：1.判斷函數(shù)的解析性時最好將其轉化為運用推論即對應實、虛部函數(shù)是否具有一階連續(xù)偏導數(shù)，是否