機械工程測試技術基礎第一章

1、第一節(jié)第一節(jié) 信號的分類與描述信號的分類與描述第三節(jié)第三節(jié) 瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜第四節(jié)第四節(jié) 隨機信號信號隨機信號信號第二節(jié)第二節(jié) 周期信號與離散頻譜周期信號與離散頻譜 靜 態(tài) 測 量 動 態(tài) 測 量被測對象 靜態(tài)量值 連續(xù)變化的動態(tài)量值單次測量結果 具體數值 具體函數（記錄曲線）N次重復測量結果 隨機變量(一組具體數值) 隨機函數(一組具體函數) 靜態(tài)與動態(tài)測量比較1.確定性信號與隨機信號第一節(jié)第一節(jié) 信號的分類與描述信號的分類與描述一、一、信號的分類與描述信號的分類與描述周期信號：是按一定時間間隔周而復始重復出現，無始無終的信號。（1）周期信號如，單自由度振動系

2、統(tǒng)圖圖1-11-1確定性信號：信號可表為一個確定的時間函數，因而可確定其任何時刻的量值；隨機信號：一種不能準確預測其未來瞬時值，也無法用函數關系式來描述的信號，如汽車奔馳時產生的振動信號、環(huán)境噪聲等。周期信號周期信號是定義在區(qū)間，每隔一定時間周而復始重復出現的信號如圖所示。連續(xù)性的周期信號可表示為 x(t)=x(t+nT0) (n=0,1，2，)離散性的周期信號可表示為 x(n)=x(n+mk) (m=0, 1,2,) 只要給出周期信號在任一周期的函數或波形，便可確知它在任一時刻的數值。例如 集中參量的單自由度振動系統(tǒng)作無阻尼自由振動時，其位移x(t)可由公式確定質點的瞬時位置確定信號中那些不

3、具有周期重復性的信號稱為非周期信號。（2）非周期信號非周期信號將確定性信號中那些不具有周期重復性的信號稱為非周期信號。包括準周期信號和瞬變非周期信號兩種。 準周期信號：由有限個周期信號合成的，但各周期分量之間無法找到公共周期，因而無法按某一時間間隔周而復始重復出現。例如 是兩個正弦信號的合成，其頻率比 ，不是有理數，不成諧波關系。 瞬變非周期信號在一定時間區(qū)間內存在，或隨著時間的增長而衰減至零的信號。如有阻尼振動系統(tǒng)的位移信號、用錘子敲擊物體時的敲擊力信號。圖2-4是后者的波形，其數學表達式為式 (0t1)，則信號的頻，則信號的頻寬擴寬寬擴寬k倍，而幅值變?yōu)樵瓉淼谋叮底優(yōu)樵瓉淼?/k。

4、sin()( )RfTWfTfTT為為窗的寬度窗的寬度 k=1-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 數 頻 譜 圖 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 數 頻 譜 圖 (T=1)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 數 頻 譜 圖 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 數 頻 譜 圖 (T=1)k=3(4).時移、頻

5、移特性 若若x(t) X()，則在時域中信號沿時間軸平移一常值，則在時域中信號沿時間軸平移一常值t0，則（時移），則（時移） 020)()(ftjefXttx對應tfjetxffX020)()(如果信號在時域中如果信號在時域中延遲了時間延遲了時間t0，其頻譜幅值不會改變，其頻譜幅值不會改變，而相頻譜中各次諧波的相移而相頻譜中各次諧波的相移-2 t0，與，與頻率成正比頻率成正比在頻域中信號沿頻率軸平移一常值在頻域中信號沿頻率軸平移一常值0，則（頻移），則（頻移）(5).卷積特性 對于任意兩個對于任意兩個函數函數x1(t)和和x2(t)，定義它們的卷積為：定義它們的卷積為： dtxxtxtx)()

6、()(*)(2121若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 則則1.兩個函數在兩個函數在時域中的卷積時域中的卷積，對應于，對應于頻域中的乘積頻域中的乘積2.兩個函數在兩個函數在時域中的乘積時域中的乘積，對應于，對應于頻域中的卷積頻域中的卷積 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2()推導推導 tftfF21 d2121 tfftftf 2121FFtftfF 交換積分次交換積分次序序 dde j21 ttfft de j21 Ff時移時移性質性質 ttfftdedj21 de )(f)(Fj 12)(2)(ffXjdttdx)(2)(fXf

7、jdttxdFnnn(7).積分特性 )()2(1)(fXfjdttxFt)(21)(fXfjdttxFnntt 重積分(6).微分特性 復指數函數形式的頻譜為復指數函數形式的頻譜為雙邊譜雙邊譜（從從-到到+），）， 三角函數形式的頻譜為三角函數形式的頻譜為單邊譜單邊譜（從從0到到+）幾點結論：幾點結論：收斂性收斂性：一般周期信號展開成傅立葉級數后，在頻域上是：一般周期信號展開成傅立葉級數后，在頻域上是無限的，但從總體上看，無限的，但從總體上看，其諧波幅值隨諧波次數的增高而其諧波幅值隨諧波次數的增高而減小減小。周期信號的頻譜特點：周期信號的頻譜特點：離散性離散性：周期信號的頻譜是離散譜；：周期

8、信號的頻譜是離散譜；諧波性諧波性：每個譜線只出現在基波頻率的整數倍上，基波頻率：每個譜線只出現在基波頻率的整數倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數；是諸分量頻率的公約數；瞬變非周期信號幅頻譜具有三個特點瞬變非周期信號幅頻譜具有三個特點 1、瞬變非周期周期信號的頻譜是連續(xù)的連續(xù)性。 2、因為基波為無窮小譜線是連續(xù)的出現在任何頻率上，基波頻率是諸分量頻率的公約數非諧波性。 3、各頻率分量的譜線的高度表示該諧波的幅值。其諧波幅值總的趨勢是隨諧波次數的增高而減少收斂性。如圖所示。三三.幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜1.1.矩形窗函數的頻譜矩形窗函數的頻譜三三.幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜

9、在在時間內激發(fā)矩形脈沖時間內激發(fā)矩形脈沖S(t)（或三角脈沖、雙邊指數（或三角脈沖、雙邊指數脈沖，鐘形脈沖）所包含的面積為脈沖，鐘形脈沖）所包含的面積為1；2 單位脈沖函數單位脈沖函數(t)及其頻譜及其頻譜)()(lim0ttS0t)(tS單位面積10t0t211)(t)(tS1各種單位面積為各種單位面積為1的脈沖的脈沖 矩形脈沖到矩形脈沖到函數函數 當當0時，時，S(t)的極限就稱為單位脈沖函數，記作的極限就稱為單位脈沖函數，記作(t)，即（單位脈沖函數）。即（單位脈沖函數）。 (1).(t)的定義的定義從極限角度從極限角度: : (2). (t)的特性的特性000)(ttt從面積角度從面積

10、角度: : 1)(lim)(0dttSdtt0t0t211)(t)(tS1矩形脈沖到矩形脈沖到函數函數 (3). (t)乘積性和積分性乘積性和積分性乘積性乘積性)()()()0()()(0tttftfttf積分性積分性dttttffdtttf)()()0()()(0000)(ttt)()(00tttf)(0tf1)(lim)(0dttSdtt)0()()0()()0()()(xdttxdttxdtttx(4). (t)的采樣性的采樣性)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t0)()()()()()()(000000txdtttt

11、xdttttxdttttx)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t01)(lim)(0dttSdtt 以上表示函數的采樣性質采樣性質：任何函數x(t)和(t-t0)的乘積是一個強度為x(t0)的函數(t-t0)，而該乘積在無限區(qū)間的積分則是x(t)在t=t0時刻的函數值x(t0)。 這個性質是連續(xù)信號離散采樣的依據。(5). (t)與其它信號的卷積與其它信號的卷積 )()()()(*)(txdtxttx結果：結果：x(t)與與(t)的卷積等于的卷積等于x(t)。 函數的卷積特性函數的卷積特性1 )()()()(*)(000ttx

12、dttxtttx結果結果：(tt0)時卷積，就是將函數時卷積，就是將函數x(t)在發(fā)生脈沖函數的在發(fā)生脈沖函數的坐標位置上重新作圖，或可以說平移至坐標位置上重新作圖，或可以說平移至t0當脈沖函數為當脈沖函數為(tt0)時，與函數時，與函數x(t)的卷積的卷積 函數的卷積特性函數的卷積特性2 (6). (t)的頻譜的頻譜2( )( )jftft edt逆變換：逆變換： dfetftj21)(t) 1 即：即：1() 0t)(t0)( f1函數的頻譜函數的頻譜 10 e直流分量的頻譜直流分量的頻譜 (t-t0)ej20t(t) 1 1() 0t)(t0)( f1函數的頻譜函數的頻譜 根據時移和頻移

13、特性根據時移和頻移特性 ：020)()(ftjefXttx對應tfjetxffX020)()(1e-j2to(-0) 故知時域的函數具有無限寬廣頻帶的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強度，這種頻譜常稱為“均勻譜”根據傅里葉變換的對稱性質和時移、頻移性質，可以得到下列傅里葉變換對： 3、 正、余弦函數的頻譜密度函數由于正、余弦函數不滿足絕對可積條件，因此不能直接進行傅里葉變換，而需在傅里葉變換時引入函數。根據歐拉公式正、余弦函數可以寫成可認為正、余弦函數是把頻域中的兩個函數向不同方向頻移后之差或和的傅里葉逆變換。00002202201sin2()21cos2()2jf tjf tjf tjf tf

14、 tjeef tee0000001sin2()()21cos2()()2f tjfffff tffff根據根據 ej20t(-0) 正弦函數的頻譜正弦函數的頻譜 7.3 周期單位脈沖序列的頻譜周期單位脈沖序列的頻譜 相等間隔的周期單位脈沖序相等間隔的周期單位脈沖序列，常稱為列，常稱為梳狀函數梳狀函數 sT1式中，式中，Ts周期，周期，n整數，整數，n=0,1, 2, 3,。 為周期函數，而為周期函數，而s=1/Ts，用傅立葉級數的復指數形式表示：用傅立葉級數的復指數形式表示： 222222)(1)(1ssssssTTtnfjsTTtnfjsndtetTdtetgTC2( ,)sjkf tskk

15、comb t TC e( , )()ssncomb t Tt nT因為在(-Ts/2，Ts/2)區(qū)間內，只有一個函數，而當t=0時， ，所以 201sjf tee22211( )sssTjkf tTkssCt edtTT因為這樣，可寫成于是comb(t,Ts)的頻譜，comb(f,fs)，也是梳狀函數 21( ,)sjkf tskscomb t TeT2()sjkf tsefkf11( , )()()ssnnssskcomb f ffkffTTT 時域時域中，序列的周期為中，序列的周期為Ts，頻域頻域中，序列的周期為中，序列的周期為1/Ts。 時域時域中，幅值為中，幅值為1 頻域頻域中，幅值為

16、中，幅值為1/Ts 11( ,)()()ssnnssskcomb f ffkffTTT由圖可見，時域周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列。若時域周期為Ts，則頻域脈沖序列的周期為1/Ts；時域脈沖強度為1，頻域中強度為1/Ts。 矩形窗函數和常值函數的頻譜矩形窗函數和常值函數的頻譜 7.5 指數函數的頻譜指數函數的頻譜 1、雙邊指數衰減函數的頻譜、雙邊指數衰減函數的頻譜 atateetx )(0, 0ta0, 0ta222)2(4)()(fafjdtetxfXftjatetx0)(0t0, 0at2、單邊指數衰減函數的頻譜單邊指數衰減函數的頻譜 22022)2(221)()(fafjafja

17、dteedtetxfXftjatftjafffafX2arctan)()2(1)(22第四節(jié)第四節(jié) 隨機信號隨機信號一、一、概述概述隨機信號是不能用確定的數學關系式來描述的，不能預測其未來的任何瞬時值。任何一次觀測值只代表在其變動范圍中可能產生的結果之一，但其值的變動服從統(tǒng)計規(guī)律。隨機過程與樣本函數如圖1-21所示。圖圖1-211-21樣本函數對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄被稱為樣本函數。 樣本記錄對隨機信號按時間歷程所作的各次有限長時間觀測記錄被稱為樣本記錄。 隨機過程在同一試驗條件下，全部樣本函數的集合（總體）就是隨機過程。x(t)=x1(t),x2(t),xi(t),集合平

18、均隨機過程的各種均值（均值、方差、均方值和均方根值）的計算是將集合中所有樣本函數對同一時刻的觀測值取平均。 時間平均隨機過程的各種均值（均值、方差、均方值和均方根值）的計算如果是按某單個樣本函數的時間歷程進行平均的計算叫作時間平均。根據集合平均和時間平均的關系不同可對隨機過程進行分類。 隨機過程分類：平穩(wěn)隨機過程和非平穩(wěn)隨機過程。平穩(wěn)隨機過程：指其統(tǒng)計特征參數不隨時間而變化的隨機過程；否則為非平穩(wěn)隨機過程。 而平穩(wěn)隨機信號又分為各態(tài)歷經平穩(wěn)隨機過程和非各態(tài)歷經平穩(wěn)隨機過程各態(tài)歷經隨機過程：在平穩(wěn)隨機過程中，任一單個樣本函數的時間平均統(tǒng)計特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計特征 一般的隨機過程需要足夠多

19、的樣本函數才能描述，而要進行大量的觀測來獲取足夠多的樣本函數式非常困難或做不到的。 實際測試工作常把隨機信號按各態(tài)歷經過程來處理，進而以有限長度樣本記錄的觀察分析來推斷、估計被測對象的整個隨機過程；也就是說，在測試工作中常以一個或幾個有限長度的樣本記錄來推斷整個隨機過程，以其時間平均來估計集合平均。 二、隨機信號的主要特征參數二、隨機信號的主要特征參數描述各態(tài)歷經隨機信號的主要特征參數描述各態(tài)歷經隨機信號的主要特征參數有：有：1)1)均值、方差和均方值。均值、方差和均方值。2)2)概率密度函數。概率密度函數。3)3)自相關函數。自相關函數。4)4)功率譜密度函數。功率譜密度函數。 ( () )

20、均值均值 x x、方差、方差 x x2 2和均方值和均方值 x x2 2TTxdttxT0)(1lim表示信號的常值分量表示信號的常值分量, , x(t) x(t) 樣本函數樣本函數,T,T觀察時間觀察時間描述隨機信號的波動分量描述隨機信號的波動分量方差的正平方根叫方差的正平方根叫標準偏差標準偏差 x x，是隨機數據分析的重要參數是隨機數據分析的重要參數描述隨機信號的強度描述隨機信號的強度dtTTTxxtx022)(lim1TTxdttTx022)(1lim均方值的正平方根稱為均方值的正平方根稱為均方根值均方根值, 即即xrms= x2對于集合平均，則某時刻的均值和均方值為式中 M樣本記錄總數

21、 i樣本記錄序號 ti觀測時間1,111lim( )Mx tiMix tM122,111lim( )Mx tiMixtM x2描述了信號的波動量；描述了信號的波動量； x2描述了信號的靜態(tài)量。描述了信號的靜態(tài)量。 可以證明可以證明 均方值均方值方差方差均值平方均值平方2x2x2x已知其中任意兩個可以求第三個已知其中任意兩個可以求第三個 例例, , 已知某隨機信號的已知某隨機信號的x x=50,=50, x x=40,=40,求求x x=?=? 根據根據 2 2x x = =2 2x x- -2 2x x x x=30=302、 概率密度函數第四節(jié)第四節(jié) 隨機信號隨機信號二、二、隨機信號的主要特

22、征參數隨機信號的主要特征參數隨機信號的概率密度函數是表示信號幅值落在指定區(qū)間的概率。如圖1-22所示。圖圖1-221-22121.nxniiTtttt 當樣本函數的記錄時間T趨于無窮大時，Tx/T的比值就是幅值落在（x,x+x）區(qū)間的概率，即定義幅值概率密度函數P(x)為概率密度函數提供了隨機信號幅值分布的信息，是隨機信號的主要特征參數之一。不同的隨機信號有不同的概率密度函數圖形，可以借此來識別信號的性質。當不知道所處理的隨機數據服從何種分布時，可以用統(tǒng)計概率分布圖和直方圖法來估計概率密度函數。 ( )limxTTTP x txxT0( )( )limTxP xx txxP xx 2、 概率密

23、度函數第四節(jié)第四節(jié) 隨機信號隨機信號二、二、隨機信號的主要特征參數隨機信號的主要特征參數常見的四種隨機信號如圖1-23所示。圖圖1-231-23正弦信號正弦信號+隨機噪聲窄帶隨機信號寬帶隨機信號三、樣本參數、參數估計和統(tǒng)計采樣誤差 用時間平均法計算隨機信號特征參數，需要進行T趨向無窮大的極限運算，它意味著要使用樣本函數(觀測時間無限長的樣本記錄)。這是一個無法克服的困難。實際上只能從其中截取有限時間的樣本記錄來計算出相應的特征參數(稱為樣本參數)，并用它們來作為隨機信號特征參數的估計值。顯然，樣本參數將隨所采用的樣本記錄而異的，因而它們本身也是隨機變量。若把參數的估計值記為 ，則隨機信號的均值

24、、均方值的估計值按下式計算 0201( )1( )TxTxx t dtTxt dtT用集合平均法計算隨機信號特征參數時，也同樣存在這種困難。其困難表現在要求使用無限多個樣本記錄，進行趨于無窮大的極限運算。實際上也只能使用有限數目的樣本記錄來計算相應樣本參數，并作為隨機信號特征參數的估計值。例如樣本均值、均方值的估計值用下式計算 11,112,111( )1( )Mx tiiMx tiix tMxtM其中，M、i分別為所采用的樣本記錄總數目和樣本記錄序號。 隨機信號特征參數分析就是由有限樣本記錄獲取樣本參數，而后以樣本參數作為隨機信號特征參數的估計值。顯然，這樣做，必定帶來誤差。這類誤差稱為統(tǒng)計采樣誤差，其大小和樣本記錄的長度、樣本記錄的數目有關。 周期信號傅立葉級數連續(xù)頻譜（密度函數）瞬變非周期信號傅立葉變換離散頻譜隨機信號統(tǒng)計分析樣本估值頻譜分析 歐拉公式歐拉公式 )1(sincos000jtnjtnetjn)(21cos000tjntjneetn)(2sin000tjntjneejtn10)(2)(20000ntjntjnntjntjnneebjeeaa100022ntjnnntjnnnejbaejbaa00aC )(21nnnjbaC)(21nnnjbaCt