非線性方程求解

1、實(shí)驗(yàn)7 非線性方程求解實(shí)驗(yàn)?zāi)康模? 1  掌握用MATLAB軟件求解非線性方程和方程組的基本用法，并對(duì)結(jié)果作出初步的分析2 2  練習(xí)用非線性方程組建立實(shí)際問(wèn)題的模型并進(jìn)行求解實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：6-3（1）小張夫婦以按揭方式貸款買(mǎi)了一套價(jià)值20萬(wàn)的房子，首付了5萬(wàn)元，沒(méi)有還款1000元，15年還清。問(wèn)貸款利率是多少？（2）某人與貸款50萬(wàn)元購(gòu)房，他咨詢了兩家銀行，第一家銀行開(kāi)出的條件是每月還4500元，15年還清；第二家銀行開(kāi)出的條件是每年還45000元，20年還清。從利率方面看，那家銀行較優(yōu)惠（簡(jiǎn)單的假設(shè)年利率=月利率*12）？解：（1）問(wèn)題的建模：假設(shè)需付的款為，每月付款b元，

2、經(jīng)n年后還清，付款利率為r，于是對(duì)與按揭付款的方式不難列出以下的方程組：于是有：如果對(duì)于年利率則不用考慮第一次要付的錢(qián)，所以易得：按照上述的關(guān)系得到了本題的m文件：function y=rate(x,a0,n,b,opt)if opt>=0%如果是0則按照月利率算 y=a0*(1+x)(n*12)-b*(1+x)(n*12)-1)/x;%計(jì)算月利率， else y=a0*(1+x)n-b*(1+x)n-1)/x;%計(jì)算年利率end<rate.m>主文件：clear all;a0=150;b=1;n=15;a1=500;b1=4.5;n1=15;a2=500;b2=45;n2=

3、20;x0=1;x1,fv1,ef1,out1=fzero(rate,x0,a0,n,b,1);%對(duì)第一題小張夫婦買(mǎi)方月利率問(wèn)題進(jìn)行求解x2,fv2,ef2,out2=fzero(rate,x0,a1,n1,b1,1);%對(duì)二問(wèn)第一家銀行的利率求解x3,fv3,ef3,out3=fzero(rate,x0,a2,n2,b2,-1);%對(duì)二問(wèn)第二家銀行的利率求解format long;x1,x2,x3%輸出其中x1匙小張夫婦買(mǎi)房的月利率，x2是第一家銀行的月利率，x3市第二家銀行的年利率x2=x2*12,x3%比較第一家與第二家銀行的利率大小 <rate_run.m>運(yùn)行M

4、ATLAB結(jié)果：ans =  0.00208116388946 0.00585079258284 0.06394877709239x2 =  0.07020951099414 x3 =  0.06394877709239結(jié)論：小張夫婦的貸款的銀行的月利率是0.21%，第一家銀行的年利率是7.02%，第二家銀行的年利率是6.39%，所以第二家銀行的利率較低。6-6給定4種物質(zhì)對(duì)應(yīng)的參數(shù)和相互作用矩陣如下：=18.607， =15.841， =20.443， =19.293;=2643.31，=2755.64， =4628.96，=4117.07;=239.

5、73， =219.16， =252.64， =227.44;Q=1.0 0.192 2.169 1.611 0.316 1.0 0.477 0.524 0.377 0.360 1.0 0.2960.524 0.282 2.065 1.0在壓強(qiáng)=760mmHg下，為了形成均相共沸混合物，溫度和組分分別是多少？請(qǐng)盡量找出所有可能的解。 解：均相共沸混合物的組分問(wèn)題：模型：所謂的共沸混合物，使之有兩種或以上物質(zhì)組成的液體混合物，當(dāng)在某種壓力下背蒸餾后或局部氣化時(shí)，在氣體狀態(tài)下和在液體狀態(tài)下保持相同的組分。設(shè)該混合物由n個(gè)可能的祖墳組成，組分i所占的比例為，則：（1）均相共沸混合物一概滿足問(wèn)

6、題條件，即公沸混合物的每個(gè)組分在氣體狀態(tài)下和在液體狀態(tài)下具有相同的化學(xué)勢(shì)，在壓強(qiáng)P不大的條件下，這個(gè)條件可以表示為：（2）（2）式中是組分的飽和汽相壓強(qiáng)，與溫度T有關(guān)，可以根據(jù)如下表達(dá)式確定：（3）其中為常數(shù)。（2）式中是組分i的液相活度系數(shù)，可以根據(jù)如下的表達(dá)式確定：（4）其中表示組分i和組分j的交互作用參數(shù)，構(gòu)成交互作用的矩陣Q，Q不一定是對(duì)稱陣。對(duì)（2）式兩邊取對(duì)數(shù)，并將（3），（4）式代入：（5）只有當(dāng)組分i參與到該共沸混合物中時(shí)才需要滿足（5），所以將（5）式改寫(xiě)為于是從上面的分析可以對(duì)本題進(jìn)行解答，對(duì)于本題參數(shù)：a=18.607,15.841,20.443,19.293'b

7、=2643.31,2755.64,4628.96,4117.07'c=239.73,219.16,252.64,227.44'交互矩陣Q=1.0 0.192 2.169 1.6110.316 1.0 0.477 0.5240.377 0.36 1.0 0.2960.524 0.282 2.065 1.0;于是：便可以得到m文件：function f=azeofun(XT,n,P,a,b,c,Q)x(n)=1;for i=1:n-1 x(i)=XT(i); x(n)=x(n)-x(i);end T=XT(n);p=log(P);for i=1:n d(i) = x * Q(i,1

8、:n)' dd(i)=x(i)/d(i);endfor i=1:n f(i)=x(i)*(b(i)/(T+c(i) + log(x*Q(i,1:n)') + dd*Q(1:n,i) - a(i) - 1 + p);end<azerofun. m>主文件：n=4;P=760;a=18.607,15.841,20.443,19.293'b=2643.31,2755.64,4628.96,4117.07'c=239.73,219.16,252.64,227.44'Q=1.0 0.192 2.169 1.611 0.316 1.0 0.477 0.5

9、24 0.377 0.36 1.0 0.296 0.524 0.282 2.065 1.0;%本題的參數(shù)XT0=0.3,0.3,0.3,58;%給定的初值XT,Y=fsolve(azeofun,XT0,n,P,a,b,c,Q)%用fsolve求解結(jié)果：XT =  -0.0000 0.5858 0.4142 71.9657Y =  1.0e-010 * 0.0002 -0.0505 0.5047 -0.3945對(duì)于上述結(jié)果：我們對(duì)初值XT0的取法：4種物質(zhì)第一種0.3，第二種0.3，第三種0.3，最后一種0.1，溫度為50C。如果取其他的初值也可以得到其他的共沸混合

10、物，列表如下：初值解XTOX1X2X3X4T0.3，0.3，0.3，500.00000.58580.41420.000071.96570.0,0.8,0.1, 800.00000.78030.00000.219776.9613      結(jié)論：在給定的參數(shù)下，可以得到兩個(gè)解答分別如上圖所示；6-8，假設(shè)商品在t時(shí)刻的市場(chǎng)價(jià)格為p（t），需求函數(shù)為D(p(t)=c-dp(t)（c，d0）。而生產(chǎn)方的期望價(jià)格為q（t），供應(yīng)函數(shù)為S（q（t）。當(dāng)供銷(xiāo)平衡時(shí)S(q(t)=D（q(t)）。若期望價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格不符，商品市場(chǎng)不均衡，生產(chǎn)方t+1

11、時(shí)期的期望價(jià)格將會(huì)調(diào)整，方式為，以帶入：得到關(guān)q(t)的變化規(guī)律，是否有混沌現(xiàn)象產(chǎn)生？找出幾個(gè)分叉點(diǎn)，觀察分叉點(diǎn)是否極限趨勢(shì)是否符合Feigenbaum常數(shù)揭示的規(guī)律。解：對(duì)于上述過(guò)程若S(x)=arctan(ux),u=4.8,r=0.3,d=0.25不難推導(dǎo)出q（t）的變化規(guī)律： 于是：可以得到本題的m文件function y=iter_pq(x,c)u=4.8;d=0.25;r=0.3;y=(1-r)*x-r*atan(u*x)/d+r*c/d;%函數(shù)<iter_pq.m>迭代函數(shù)：function chaos(iter_fun,x0,r,n) % 該函數(shù)沒(méi)有返回值；iter

12、_fun是迭代函數(shù)（句柄）；x0是迭代初值；kr=0; for rr=r(1):r(3):r(2) % 輸入中r(1),r(2)是參數(shù)變化的范圍，r(3) 是步長(zhǎng) kr=kr+1; y(kr,1)=feval(iter_fun,x0,rr); for i=2:n(2) %輸入中n(2)是迭代序列的長(zhǎng)度，但畫(huà)圖時(shí)前n(1)個(gè)迭代值被舍棄 y(kr,i)=feval(iter_fun,y(kr,i-1),rr); endendplot(r(1):r(3):r(2),y(:,n(1)+1:n(2),'k.'); <chaos.m>主函數(shù)：chaos(iter_pq,0.5

13、,0.3,1.1,0.001,100,200)%c從0.3到1.1變化過(guò)程中，尋找分叉點(diǎn)輸出結(jié)果：分析：從圖上找到的幾個(gè)分叉點(diǎn)的x坐標(biāo)分別是：1.079，0.949，0.907，0.897，0.8948，于是可以利用極限表達(dá)式：可以分別的得到：=3.09=4.2=4.54從上面的求解可以看出，當(dāng)n越大時(shí)比值越接近于4.6692，也就是Feigenbaum常數(shù)。結(jié)論：對(duì)于q（t）的變化，當(dāng)c取一定的數(shù)，會(huì)使得出現(xiàn)分叉。驗(yàn)證如下：function y=yanzheng(c0)u=4.8;d=0.25;r=0.3;c=c0;%收斂點(diǎn)q(1)=0.5;for n=1:1:50 q(n+1)=(1-r)*q(n)-r*atan(u*q(n)/d+r*c/d;%函數(shù)endN=1:1:51;plot(N,q);<yanzheng.m>主文件：yanzheng(1.1);%收斂點(diǎn)pause;yanzheng(1);%二分叉點(diǎn)pause;yanzheng(0.92);%四分叉點(diǎn)pause;yanzheng(0.9);%八分叉點(diǎn)pause;yanzheng(0.7