函數(shù)、方程、不等式之間地關(guān)系

1、WORD格式函數(shù)、方程和不等式的關(guān)系很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中把函數(shù)、 方程和不等式看作三個(gè)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)。實(shí)際上， 他們之間的聯(lián)系非常嚴(yán)密。 如果能熟練地掌握三者之間的聯(lián)系，并在做題時(shí)靈活運(yùn)用，將會(huì)有事半功倍的收效。函數(shù)與方程之間的關(guān)系。先看函數(shù)解析式：yax b(a0) ，這是一個(gè)一次函數(shù)， 圖像是一條直線。對(duì)于這個(gè)函數(shù)而言， x 是自變量，對(duì)應(yīng)的是圖像上任意點(diǎn)的橫坐標(biāo)；y 是因變量，也就是函數(shù)值，對(duì)應(yīng)的是圖像上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)。如果令y 0，上面的解析式也就變成了ax b 0，也就是一個(gè)一元一次方程了。 我們知道， 一般在求一個(gè)函數(shù)圖像與x 軸交點(diǎn)的時(shí)候， 令y0同理求一個(gè)函數(shù)圖像與y 軸交點(diǎn)的時(shí)候，

2、令 x0 。所以上面的意義可以這樣表達(dá)：將函數(shù)解析式中的 y 變?yōu)?0 ，那么就得到相應(yīng)的方程。這個(gè)方程的解也就是原先的函數(shù)圖像與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 這就是函數(shù)解析式與方程之間的關(guān)系，它適用于所有的函數(shù)解析式。舉例說(shuō)明如下：例如函數(shù) y 2x3 的圖像如右所示：該函數(shù)與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為( 3 ,0) ，也就是在函數(shù)2解析式 y 2x 3 中，令 y0 即可。令 y0也就意味著將一元一次函數(shù)y2x3變成了一元一次方程 2x30 ，其解和一次函數(shù)與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一樣的。接下來(lái)推廣到二次函數(shù)：專業(yè)資料整理WORD格式例如函數(shù)y2 x25x2 的圖像如右圖所示：專業(yè)資料整理WORD格式很

3、容易驗(yàn)證，該函數(shù)圖象與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)專業(yè)資料整理WORD格式正是方程2x25x20 的解。專業(yè)資料整理WORD格式如果右邊的函數(shù)圖象是通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線的方式作出來(lái)的，雖然比較準(zhǔn)確，但過(guò)程十分繁瑣。在實(shí)際中，很多時(shí)候并不要求我們把函數(shù)圖象作得很精準(zhǔn)。有時(shí)候只需要作出大致圖像即可。既然上面講述了函數(shù)圖象與對(duì)應(yīng)的方程之間的關(guān)系，我們可不可以通過(guò)利用方程的根來(lái)繪制對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象呢？函數(shù) y2x25x2 對(duì)應(yīng)的方程是2x25x20 ，先求出這個(gè)方程的兩個(gè)解。很容專業(yè)資料整理WORD格式易根據(jù)十字相乘法 (2 x 1)( x 2) 0 得出該方程的兩個(gè)解分別為1和 2。這樣，根據(jù)函數(shù)2解析式與方

4、程之間的關(guān)系，也就得出了函數(shù)y 2x25x 2 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)(1,0) 和2(2,0) 。有了與橫坐標(biāo)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，還知道了開口方向二次項(xiàng)前面的系數(shù)20 ，所以開口向上，那么該二次函數(shù)的大致圖像就容易作出了。以上的結(jié)論可不可以進(jìn)一步推廣呢？先看接下來(lái)這個(gè)函數(shù)解析式y(tǒng)( x1)(x2)( x3) ，如果作這樣一個(gè)三次函數(shù)三次或三次以上就叫高次函數(shù)的圖像，用列表、描點(diǎn)、連線的方法是非常復(fù)雜的，甚至無(wú)法作專業(yè)資料整理WORD格式出。如果我們采用上面的思想，先求出y( x1)( x2)( x3) 對(duì)應(yīng)的方程專業(yè)資料整理WORD格式( x1)(x2)( x3)0 的根，很容易得出該方程的三個(gè)根

5、：1、2、 -3。知道了三個(gè)根專業(yè)資料整理WORD格式還不行， 還必須知道開口方向，由于三次函數(shù)和二次函數(shù)不同，所以不可能通過(guò)三次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)來(lái)確定開口方向。在實(shí)際中， 我們可以發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：如果三次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)、最右邊一個(gè)交點(diǎn)的右邊局部圖像是在x 軸上面的。 如果三次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，最右邊一個(gè)交點(diǎn)的右邊局部圖像是在x 軸下面的。那么函數(shù)y( x1)( x2)( x3) 的大致圖像如下：函數(shù) y( x1)(x2)( x3) 的大致圖像如下：專業(yè)資料整理WORD格式通過(guò)以上函數(shù)圖象：我們可以總結(jié)出作高次函數(shù)大致圖像的步驟：（ 1 求出高次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程的根，并在數(shù)軸上不需要建立坐標(biāo)系從小到大依

6、次表示出來(lái)。（ 2 如果最高次項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，那么按照從右到左，從上到下依次穿過(guò)。如果最高次數(shù)的系數(shù)是負(fù)數(shù)，那么按照從右到左，從下到上依次穿過(guò)。函數(shù)與不等式之間的關(guān)系函數(shù)解析式：yaxb(a0) 中，如果變?yōu)?axb0的情況類似 或 axb0的情況類似，那么就是不等式了。實(shí)際上，以上兩個(gè)不等式分別對(duì)應(yīng)一次函數(shù)y ax b(a 0)的圖像在 x 軸上方和 x 下方的情況。而不等式ax b 0 和 ax b 0 的解分別是一次函數(shù)y ax b(a 0) 的圖像上方局部對(duì)應(yīng)的自變量x 的X圍和下方局部對(duì)應(yīng)的自變量 x 的X圍。例如不等式 2x30 所對(duì)應(yīng)的是一次函數(shù)y 2x 3 在x軸上方局部的圖像

7、。該不等式的解為 y2x3在x軸上方局部的圖像3所對(duì)應(yīng)的自變量x 的X圍，即x。2在二次函數(shù)中，這種不等式和函數(shù)的對(duì)應(yīng)2關(guān)系同樣適用。例如：y2 x5x2不等式 2x25x20 的解為二次函數(shù)y 2x2 5x 2 圖像上在 x 軸上方的局部，不等式的解為：x12。同理或 x212x25x 20 的解為x2。這也2就是二次不等式“二次項(xiàng)的系數(shù)大于零，后面是大于號(hào)的取兩邊即小于最小根，大于最大根，后面是小于號(hào)的取中間大于最小根，小于最大根的性質(zhì)。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)小于零的不等式，可以通過(guò)在兩邊同時(shí)乘以-1 將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)。從上面的現(xiàn)象可以得出函數(shù)和不等式的關(guān)系：不等式 f (x)0 對(duì)應(yīng)的是函數(shù)

8、 f (x) 圖像上在 x 軸上方的局部， 不等式f (x) 0的解就是函數(shù)f (x) 圖像上在x軸上方的局部所對(duì)應(yīng)的自變量 x 的取值X圍。不等式f ( x)0 對(duì)應(yīng)的是函數(shù)f ( x) 圖像上在x軸下方的局部，不專業(yè)資料整理WORD格式等式 f (x)0的解就是函數(shù)f ( x) 圖像上在x軸下方的局部所對(duì)應(yīng)的自變量x 的取值X圍。專業(yè)資料整理WORD格式對(duì)于屢次不等式，例如( x1)( x2)( x3)0 ，首先在數(shù)軸上作出函數(shù)y(x1)(x2)( x3) 的大致圖像 前面已介紹 ，然后取圖像在x 軸上方局部對(duì)應(yīng)的x 的取值X圍。專業(yè)資料整理WORD格式所以不等式( x1)(x2)( x3

9、)0 的解為x3 或2x1 。同理也可以解專業(yè)資料整理WORD格式N (N4) 次不等式。專業(yè)資料整理WORD格式一元二次方程和一元二次不等式的關(guān)系專業(yè)資料整理WORD格式如果將一元二次方程ax2bxc0(a0) 中的“=改為“或“，那么可變?yōu)閷I(yè)資料整理WORD格式一元二次不等式。解一元二次不等式的步驟：1、 二次項(xiàng)為負(fù)數(shù)的，首先要在兩邊同時(shí)乘以-1 將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)注意不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)后，不等號(hào)要變號(hào)。如2x25x20 要通過(guò)兩邊同乘以-1 變?yōu)? x25x 2 0 。2、 解出不等式對(duì)應(yīng)的方程的兩個(gè)根。如解出方程2x25x 2 0 的兩根分別為 2, 1。23、 如果是大于

10、號(hào)， 解為：x最小根或 x最大根。如果是小于號(hào)， 解為：最小根 x最大根。例如 2x25x2 0 的解為：1x 2 。2 一元二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間的關(guān)系在圖像上的表示在實(shí)際中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的方程：x2x10 或這樣的不等式：x2x 1 0 。結(jié)果是都是無(wú)解。也會(huì)遇到x2x10，解為全體實(shí)數(shù)。這就說(shuō)明一元二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式在圖像上還存在著某種明顯的關(guān)系。我們分別作出函數(shù)f ( x)ax2bxc(a0)的六種可能圖像。第一種：當(dāng) a0,b24ac0 時(shí)，圖像為：專業(yè)資料整理WORD格式從圖像我們可以看出，該圖像與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是說(shuō)方程ax2b

11、xc0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根設(shè)為 x1 , x2，且 x1x2，ax2bx c0 的解為：x1xx2，ax 2bx c 0 的解為：xx1或 x x2。所以可以得出這樣的結(jié)論： 當(dāng) a0,b24ac0 時(shí)，方程ax2bxc0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根設(shè)為 x1, x2，且 x1x2，ax2bx c0 的解為：x1xx2，ax2bx c 0的解為： x x1或 xx2。第二種：當(dāng) a0,b24ac0 時(shí)，圖像為：從圖像我們可以看出，該圖像與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，也就是說(shuō)方程ax2bx c0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 設(shè)為 x1 , x2，且 x1x2，ax2bx c0 的解集為：， ax2bxc 0 的專業(yè)資料

12、整理WORD格式解為： x x1或 xx2即 xx1。所以可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)a0,b24ac0 時(shí)，方程ax2bx c0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根設(shè)為 x , x，且 xx， ax 2bx c0 的解集為：， ax2bx c 0 的1212解為： x x1或 xx2即 xx1。第三種：當(dāng) a0,b24ac0時(shí)，圖像為：從圖像我們可以看出，該圖像與x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，也就是說(shuō)方程ax2bxc0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，ax 2bxc0 的解為：， ax2bxc0的解為： R。所以可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng) a0,b24ac 0 時(shí)，方程ax2bxc0 無(wú)實(shí)數(shù)根；ax 2bxc0 的解為：， ax2bxc0的解為： R。

13、第四種：當(dāng) a 0,b24ac0 時(shí)，圖像為：專業(yè)資料整理WORD格式從圖像我們可以看出，該圖像與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是說(shuō)方程ax2bxc0 有兩個(gè)不專業(yè)資料整理WORD格式相等的實(shí)數(shù)根設(shè)為x1 , x2，且x1x2，ax2bxc0 的解為：xx1或xx2，專業(yè)資料整理WORD格式ax 2bxc0 的解為：x1xx2。專業(yè)資料整理WORD格式所以可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng) a0,b24ac0 時(shí)，方程ax2bxc0 有兩個(gè)不相專業(yè)資料整理WORD格式等的實(shí)數(shù)根設(shè)為x1, x2，且x1x2，axbxc0 的解為：xx1或xx2，專業(yè)資料整理WORD格式ax 2bxc0 的解為：x1xx2。專業(yè)資料

14、整理WORD格式第五種：當(dāng)a0,b24ac0 時(shí)，圖像為：專業(yè)資料整理WORD格式從圖像我們可以看出，該圖像與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，也就是說(shuō)方程ax2bx c0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 設(shè)為 x1, x2，且 x1x2，ax2 bxc0 的解集為：xx1或 xx2即 x x1，ax 2bx c0 的解為：。所以可以得出這樣的結(jié)論： 當(dāng) a0,b24ac0 時(shí)，方程ax2bxc0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根設(shè)為x1 , x2，且 x1x2，ax2bx c0 的解集為：xx1或 xx2即 x x1，ax 2bx c0 的解為：。第六種：當(dāng) a 0,b24ac0 時(shí)，圖像為：專業(yè)資料整理WORD格式從圖像我們可以看

15、出，該圖像與x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，也就是說(shuō)方程ax 2bxc0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，專業(yè)資料整理WORD格式ax 2bxc0 的解為：R ， ax2bxc0 的解為：。專業(yè)資料整理WORD格式所以可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng) a0,b24ac0 時(shí)，方程ax2bxc0 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，專業(yè)資料整理WORD格式ax 2bxc0 的解為：R ， ax2bxc0 的解為：。專業(yè)資料整理WORD格式總結(jié)： 值得注意的是，如果對(duì)于一元二次函數(shù)yax2bx c( a0) 無(wú)論自變量 x 取什么值，函數(shù)值都大于零，那么這就屬于上面六種情況中的第三種情況，那么有a0,b24ac0 ；如果對(duì)于一元二次函數(shù)y ax2bxc(a0) 無(wú)論自

16、變量 x 取什么值，函數(shù)值都小于零，那么這就屬于上面六種情況中的第六種情況，那么有：a0,b24ac0 。 例題精講1、 ax22x c0 的解集為x1x1，試求 a、 c 的值。32解析：首先，如果 a0 ，那么不等式 ax22xc0 的解應(yīng)該是“兩邊，不應(yīng)該是 “中間，所以必定有 a0 。這并不影響做題。由題意值：1、1是方程 ax 22 xc0 的兩根。32x1x2bx2c112根據(jù)韋達(dá)定理即根與系數(shù)關(guān)系，即， x1得：2，11caa3a12 ， c2 。32。解得： aa2、 設(shè)二次函數(shù)f ( x)x22xa ，1假設(shè)存在實(shí)數(shù)x 使得不等式f ( x) 0 成立，那么實(shí)數(shù) a 的取值X圍是多少？