同濟第六版高數(shù)答案(高等數(shù)學課后習題解答)

1、習題3-3 1.按(x-4)的冪展開多項式x4-5x3+x2-3x+4.解設(shè)f(x)=x4-5x3+x2-3x+4.因為f(4)=-56,f¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21,f¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74,f¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66,f (4)(4)=24,所以=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4. 2.應用麥克勞林公式,按x冪展開函數(shù)f(x)=(x2-3x+1)3.解因為f¢(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3),f&

2、#162;¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2),f¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3),f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2),f(5)(x)=360(2x-3),f(6)(x)=720;f(0)=1,f¢(0)=-9,f¢¢(0)=60,f¢¢¢(0)=-270,f (4)(0

3、)=720,f (5)(0)=-1080,f (6)(0)=720,所以=1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6. 3.求函數(shù)按(x-4)的冪展開的帶有拉格朗日型余項的3階泰勒公式.解因為,所以(0<q<1). 4.求函數(shù)f(x)=ln x按(x-2)的冪展開的帶有佩亞諾型余項的n階泰勒公式.解因為f¢(x)=x-1,f¢¢(x)=(-1)x-2,f¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3,×××,;(k=1, 2,×××,n+1),所以. 5.求函數(shù)按

4、(x+1)的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式.解因為f(x)=x-1,f¢(x)=(-1)x-2,f¢¢(x)=(-1)(-2)x-3,×××,;(k=1, 2,×××,n),所以 (0<q<1). 6.求函數(shù)f(x)=tan x的帶有拉格朗日型余項的3階麥克勞林公式.解因為f¢(x)=sec2x,f¢¢(x)=2sec x×sec x×tan x=2sec2x×tan x,f¢¢¢(x)=4se

5、c x×sec x×tan2x+2sec4x=4sec2x×tan2x+2sec4x,f (4)(x)=8sec2x×tan3x+8sec4x×tan x+8sec4x×tan x;f(0)=0,f¢(0)=1,f¢¢(0)=0,f¢¢¢(0)=2,所以(0<q<1). 7.求函數(shù)f(x)=xex的帶有佩亞諾型余項的n階麥克勞林公式.解因為f¢(x)=ex+xex,f¢¢(x)=ex+ex+xex=2ex+xex,f¢

6、62;¢(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex,×××,f (n)(x)=nex+xex;f (k)(0)=k(k=1, 2,×××,n),所以. 8.驗證當時,按公式計算ex的近似值時,所產(chǎn)生的誤差小于0.01,并求的近似值,使誤差小于0.01.解因為公式右端為ex的三階麥克勞林公式,其余項為,所以當時，按公式計算ex的誤差. 9.應用三階泰勒公式求下列各數(shù)的近似值,并估計誤差: (1); (2)sin18°.解 (1)設(shè),則f(x)在x0=27點展開成三階泰勒公式為(x介于27與x之間).于是,其誤差為.

7、 (2) 已知(x介于0與x之間),所以 sin 18°,其誤差為. 10.利用泰勒公式求下列極限: (1); (2); (3).解 (1).因為,所以. (2). (3).習題3-4 1.判定函數(shù)f(x)=arctan x-x單調(diào)性.解因為,且僅當x=0時等號成立,所以f(x)在(-¥,+¥)內(nèi)單調(diào)減少. 2.判定函數(shù)f(x)=x+cos x (0£x£2p)的單調(diào)性.解因為f¢(x)=1-sin x³0,所以f(x)=x+cos x在0, 2p上單調(diào)增加. 3.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1) y=2x3-6x2-18x

8、-7; (2)(x>0); (3); (4); (5) y=(x-1)(x+1)3; (6); (7) y=xne-x(n>0,x³0); (8)y=x+|sin 2x|.解 (1) y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0,令y¢=0得駐點x1=-1,x2=3.列表得x(-¥,-1)-1(-1, 3)3(3,+¥)y¢+0-0+y可見函數(shù)在(-¥,-1和3,+¥)內(nèi)單調(diào)增加,在-1, 3內(nèi)單調(diào)減少. (2) ,令y¢=0得駐點x1=2,x2=-2(舍去).因為當x>2時,

9、y>0;當0<x<2時,y¢<0,所以函數(shù)在(0, 2內(nèi)單調(diào)減少,在2,+¥)內(nèi)單調(diào)增加. (3),令y¢=0得駐點,x2=1,不可導點為x=0.列表得x(-¥, 0)0(0,)(, 1)1(1,+¥)y¢-不存在-0+0-y0可見函數(shù)在(-¥, 0), 1,+¥)內(nèi)單調(diào)減少,在上單調(diào)增加. (4)因為,所以函數(shù)在(-¥,+¥)內(nèi)單調(diào)增加. (5) y¢=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2.因為當時,y¢<0;當時,y¢>0,

10、所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少,在內(nèi)單調(diào)增加. (6),駐點為,不可導點為,x3=a.列表得xa(a,+¥)y¢+不存在+0-不存在+y可見函數(shù)在, (a,+¥)內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)單調(diào)減少. (7)y¢=e-xxn-1(n-x),駐點為x=n.因為當0<x<n時,y¢>0;當x>n時,y¢<0,所以函數(shù)在0,n上單調(diào)增加,在n,+¥)內(nèi)單調(diào)減少. (8)(k=0,±1,±2,×××),(k=0,±1,±2,××

11、5;).y¢是以p為周期的函數(shù),在0,p內(nèi)令y¢=0,得駐點,不可導點為.列表得xy¢+0-不存在+0-y根據(jù)函數(shù)在0,p上的單調(diào)性及y¢在(-¥,+¥)的周期性可知函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少(k=0,±1,±2,×××). 4.證明下列不等式: (1)當x>0時,; (2)當x>0時,; (3)當時, sin x+tan x>2x; (4)當時,; (5)當x>4時, 2x>x2;證明 (1)設(shè),則f (x)在0,+¥)內(nèi)是連續(xù)的.因為,所

12、以f (x)在(0,+¥)內(nèi)是單調(diào)增加的,從而當x>0時f (x)>f (0)=0,即,也就是. (2)設(shè),則f (x)在0,+¥)內(nèi)是連續(xù)的.因為,所以f (x)在(0,+¥)內(nèi)是單調(diào)增加的,從而當x>0時f(x)>f(0)=0,即,也就是. (3)設(shè)f(x)=sin x+tan x-2x,則f(x)在內(nèi)連續(xù),f¢(x)=cos x+sec2x-2.因為在內(nèi)cos x-1<0, cos2x-1<0,-cos x<0,所以f¢(x)>0,從而f(x)在內(nèi)單調(diào)增加,因此當時,f(x)>f(0)

13、=0,即 sin x+tan x-2x>0,也就是 sin x+tan x>2x. (4)設(shè),則f(x)在內(nèi)連續(xù),.因為當時, tan x>x, tan x+x>0,所以f¢(x)在內(nèi)單調(diào)增加,因此當時,f(x)>f(0)=0,即,也就是. (5)設(shè)f(x)=x ln2-2ln x,則f (x)在4,+¥)內(nèi)連續(xù),因為,所以當x>4時,f¢(x)>0,即f(x)內(nèi)單調(diào)增加.因此當x>4時,f(x)>f(4)=0,即x ln2-2ln x>0,也就是2x>x2. 5.討論方程ln x=ax (其中a&

14、gt;0)有幾個實根？解設(shè)f(x)=ln x-ax.則f(x)在(0,+¥)內(nèi)連續(xù),駐點為.因為當時,f¢(x)>0,所以f(x)在內(nèi)單調(diào)增加;當時,f¢(x)<0,所以f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.又因為當x®0及x®+¥時,f(x)®-¥,所以如果,即,則方程有且僅有兩個實根;如果,即,則方程沒有實根.如果,即,則方程僅有一個實根. 6.單調(diào)函數(shù)的導函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？研究下面這個例子:f(x)=x+sin x.解單調(diào)函數(shù)的導函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù).例如f(x)=x+sin x在(-¥,+

15、5;)內(nèi)是單調(diào)增加的,但其導數(shù)不是單調(diào)函數(shù).事實上,f¢(x)=1+cos x³0,這就明f(x)在(-¥,+¥)內(nèi)是單調(diào)增加的.f¢¢(x)=-sin x在(-¥,+¥)內(nèi)不保持確定的符號,故f¢(x)在(-¥,+¥)內(nèi)不是單調(diào)的. 7.判定下列曲線的凹凸性: (1) y=4x-x2; (2) y=sh x; (3)(x>0); (4) y=x arctan x ;解 (1)y¢=4-2x,y¢¢=-2,因為y¢¢<0,所

16、以曲線在(-¥,+¥)內(nèi)是凸的. (2)y¢=ch x,y¢¢=sh x.令y¢¢=0,得x=0.因為當x<0時,y¢¢=sh x<0;當x>0時,y¢¢=sh x>0,所以曲線在(-¥, 0內(nèi)是凸的,在0,+¥)內(nèi)是凹的. (3),.因為當x>0時,y¢¢>0,所以曲線在(0,+¥)內(nèi)是凹的. (4),.因為在(-¥,+¥)內(nèi),y¢¢>0,所以曲線y=x

17、arctg x在(-¥,+¥)內(nèi)是凹的. 8.求下列函數(shù)圖形的拐點及凹或凸的區(qū)間: (1).y=x3-5x2+3x+5 ; (2) y=xe-x ; (3) y=(x+1)4+ex; (4) y=ln(x2+1); (5) y=earctan x; (6) y=x4(12ln x-7),解 (1)y¢=3x2-10x+3,y¢¢=6x-10.令y¢¢=0,得.因為當時,y¢¢<0;當時,y¢¢>0,所以曲線在內(nèi)是凸的,在內(nèi)是凹的,拐點為. (2)y¢=e-x-xe

18、-x,y¢¢=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2).令y¢¢=0,得x=2.因為當x<2時,y¢¢<0;當x>2時,y¢¢>0,所以曲線在(-¥, 2內(nèi)是凸的,在2,+¥)內(nèi)是凹的,拐點為(2, 2e-2). (3)y¢=4(x+1)3+ex,y¢¢=12(x+1)2+ex.因為在(-¥,+¥)內(nèi),y¢¢>0,所以曲線y=(x+1)4+ex的在(-¥,+¥)內(nèi)是凹的,無

19、拐點. (4),.令y¢¢=0,得x1=-1,x2=1.列表得x(-¥,-1)-1(-1, 1)1(1,+¥)y¢¢-0+0-yÇln2拐點Èln2拐點Ç可見曲線在(-¥,-1和1,+¥)內(nèi)是凸的,在-1, 1內(nèi)是凹的,拐點為(-1, ln2)和(1, ln2). (5),.令y¢¢=0得,.因為當時,y¢¢>0;當時,y¢¢<0,所以曲線y=earctg x在內(nèi)是凹的,在內(nèi)是凸的,拐點是. (6) y¢

20、=4x3(12ln x-7)+12x3,y¢¢=144x2×ln x.令y¢¢=0,得x=1.因為當0<x<1時,y¢¢<0;當x>1時,y¢¢>0,所以曲線在(0, 1內(nèi)是凸的,在1,+¥)內(nèi)是凹的,拐點為(1,-7). 9.利用函數(shù)圖形的凹凸性,證明下列不等式: (1) (x>0,y>0,x¹y,n>1); (2); (3) (x>0,y>0,x¹y).證明 (1)設(shè)f(t)=tn,則f¢(t)=ntn

21、-1,f¢¢(t)=n(n-1)tn-2.因為當t>0時,f¢¢(t)>0,所以曲線f(t)=tn在區(qū)間(0,+¥)內(nèi)是凹的.由定義,對任意的x>0,y>0,x¹y有,即. (2)設(shè)f(t)=et,則f¢(t)=et,f¢¢(t)=et.因為f¢¢(t)>0,所以曲線f(t)=et在(-¥,+¥)內(nèi)是凹的.由定義,對任意的x,yÎ(-¥,+¥),x¹y有,即. (3)設(shè)f(t)=t ln t,則f

22、¢(t)=ln t+1,.因為當t>0時,f¢¢(t)>0,所以函數(shù)f(t)=t ln t的圖形在(0,+¥)內(nèi)是凹的.由定義,對任意的x>0,y>0,x¹y 有,即. 10.試證明曲線有三個拐點位于同一直線上.證明,.令y¢¢=0,得x1=-1,.例表得x(-¥.-1) -1y¢-0+0-0+yÇ-1ÈÇÈ可見拐點為(-1,-1),.因為,所以這三個拐點在一條直線上. 11.問a、b為何值時,點(1, 3)為曲線y=ax3+bx2的拐點？解

23、y¢=3ax2+2bx,y¢¢=6ax+2b.要使(1, 3)成為曲線y=ax3+bx2的拐點,必須y(1)=3且y¢¢(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程組得,. 12.試決定曲線y=ax3+bx2+cx+d中的a、b、c、d,使得x=-2處曲線有水平切線, (1,-10)為拐點,且點(-2, 44)在曲線上.解y¢=3ax2+2bx+c,y¢¢=6ax+2b.依條件有,即.解之得a=1,b=-3,c=-24,d=16. 13.試決定y=k(x2-3)2中k的值,使曲線的拐點處的法線通過原點.解y&

24、#162;=4kx3-12kx,y¢¢=12k(x-1)(x+1).令y¢¢=0,得x1=-1,x2=1.因為在x1=-1的兩側(cè)y¢¢是異號的,又當x=-1時y=4k,所以點(-1, 4k)是拐點.因為y¢(-1)=8k,所以過拐點(-1, 4k)的法線方程為.要使法線過原點,則(0, 0)應滿足法線方程,即,.同理,因為在x1=1的兩側(cè)y¢¢是異號的,又當x=1時y=4k,所以點(1, 4k)也是拐點.因為y¢(1)=-8k,所以過拐點(-1, 4k)的法線方程為.要使法線過原點,則(0, 0

25、)應滿足法線方程,即,.因此當時,該曲線的拐點處的法線通過原點. 14.設(shè)y=f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導數(shù),如果f¢¢(x 0)=0,而f¢¢¢(x0)¹0,試問 (x0,f(x0)是否為拐點？為什么？解不妨設(shè)f¢¢¢(x0)>0.由f¢¢¢(x)的連續(xù)性,存在x0的某一鄰域(x0-d,x0+d),在此鄰域內(nèi)有f¢¢¢(x)>0.由拉格朗日中值定理,有f¢¢(x)-f¢¢(x0)

26、=f¢¢¢(x)(x-x0) (x介于x0與x之間),即f¢¢(x)=f¢¢¢(x)(x-x0).因為當x0-d<x<x0時,f¢¢(x)<0;當x0<x<x0+d時,f¢¢(x)>0,所以(x0,f(x0)是拐點.習題3-5 1.求函數(shù)的極值: (1) y=2x3-6x2-18x+7; (2) y=x-ln(1+x) ; (3) y=-x4+2x2 ; (4); (5); (6); (7) y=ex cos x ; (8); (9); (

27、10) y=x+tan x .解 (1)函數(shù)的定義為(-¥,+¥), y¢=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1),駐點為x1=-1,x2=3.列表x(-¥,-1)-1(-1, 3)3(3,+¥)y¢+0-0+y17極大值-47極小值可見函數(shù)在x=-1處取得極大值17,在x=3處取得極小值-47. (2)函數(shù)的定義為(-1,+¥),駐點為x=0.因為當-1<x<0時,y¢<0;當x>0時,y¢>0,所以函數(shù)在x=0處取得極小值,極小值為y(0)=0

28、. (3)函數(shù)的定義為(-¥,+¥),y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1),y¢¢=-12x2+4,令y¢=0,得x1=0,x2=-1,x3=1.因為y¢¢(0)=4>0,y¢¢(-1)=-8<0,y¢¢(1)=-8<0,所以y(0)=0是函數(shù)的極小值,y(-1)=1和y(1)=1是函數(shù)的極大值. (4)函數(shù)的定義域為(-¥, 1,令y¢=0,得駐點.因為當時,y¢>0;當時,y¢<0,所以為函數(shù)的極大

29、值. (5)函數(shù)的定義為(-¥,+¥),駐點為.因為當時,y¢>0;當時,y¢<0,所以函數(shù)在處取得極大值,極大值為. (6)函數(shù)的定義為(-¥,+¥),駐點為x1=0,x2=-2.列表x(-¥,-2)-2(-2, 0)0(0,+¥)y¢-0+0-y極小值4極大值可見函數(shù)在x=-2處取得極小值,在x=0處取得極大值4. (7)函數(shù)的定義域為(-¥,+¥). y¢=ex(cos x-sin x ),y¢¢=-exsin x.令y¢=0,

30、得駐點, (k=0,±1,±2,× × ×).因為,所以是函數(shù)的極大值.因為y¢¢,所以是函數(shù)的極小值. (8)函數(shù)的定義域為(0,+¥),.令y¢=0,得駐點x=e.因為當x<e時,y¢>0;當x>e時,y¢<0,所以為函數(shù)f(x)的極大值. (9)函數(shù)的定義域為(-¥,+¥),因為y¢<0,所以函數(shù)在(-¥,+¥)是單調(diào)減少的,無極值. (10)函數(shù)y=x+tg x的定義域為(k=0,±1,&

31、#177;2,× × ×).因為y¢=1+sec 2x >0,所以函數(shù)f(x)無極值. 2.試證明:如果函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d滿足條件b2 -3ac<0,那么這函數(shù)沒有極值.證明y¢=3ax2+2bx+c.由b2 -3ac<0,知a¹0.于是配方得到y(tǒng)¢=3ax2+2bx+c,因3ac-b2>0,所以當a>0時,y¢>0;當a<0時,y¢<0.因此y=ax3+bx2+cx+d是單調(diào)函數(shù),沒有極值. 3.試問a為何值時,函數(shù)在處取得極值？它是極大值還

32、是極小值？并求此極值.解f¢(x)=acos x+cos 3x,f¢¢(x)=-asin x-3 sin x.要使函數(shù)f(x)在處取得極值,必有,即,a=2 .當a=2時,.因此,當a=2時,函數(shù)f (x)在處取得極值,而且取得極大值,極大值為. 4.求下列函數(shù)的最大值、最小值: (1) y=2x3-3x2,-1£x£4; (2) y=x4-8x2+2,-1£x£3 ; (3),-5£x£1.解 (1)y¢=6x2-6x=6x(x-1),令y¢=0,得x1=0,x2=1.計算函數(shù)值得y

33、(-1)=-5,y(0)=0,y(1)=-1,y(4)=80,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(-1)=-5,最大值為y(4)=80. (2)y¢=4x3-16x=4x(x2-4),令y¢=0,得x1=0,x2=-2(舍去),x 3=2.計算函數(shù)值得y(-1)=-5,y(0)=2,y(2)=-14,y(3)=11,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(2)=-14,最大值為y(3)=11. (3),令y¢=0,得.計算函數(shù)值得,y(1)=1,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為,最大值為. 5.問函數(shù)y=2x3-6x2-18x-7(1£x£4)在何處取得最大值？并求出它的

34、最大值.解y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1),函數(shù)f(x)在1£x£4內(nèi)的駐點為x=3.比較函數(shù)值: f(1)=-29,f(3)=-61,f(4)=-47,函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f (1)=-29. 6.問函數(shù)(x<0)在何處取得最小值？解,在(-¥, 0)的駐點為x=-3.因為,所以函數(shù)在x=-3處取得極小值.又因為駐點只有一個,所以這個極小值也就是最小值,即函數(shù)在x=-3處取得最小值,最小值為. 7.問函數(shù)(x³0)在何處取得最大值？解.函數(shù)在(0,+¥)內(nèi)的駐點為x=1.因為當0<

35、x<1時,y¢>0;當x>1時y¢<0,所以函數(shù)在x=1處取得極大值.又因為函數(shù)在(0,+¥)內(nèi)只有一個駐點,所以此極大值也是函數(shù)的最大值,即函數(shù)在x=1處取得最大值,最大值為f (1)=. 8.某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋,現(xiàn)有存磚只夠砌20cm長的墻壁,問應圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大？解設(shè)寬為x長為y,則2x+y=20,y=20-2x,于是面積為S=xy=x(20-2x)=20x-2x2.S ¢=20-4x=4(10-x),S¢¢=-4.令S¢=0,得唯一駐點x=10.因為S

36、62;¢(10)-4<0,所以x=10為極大值點,從而也是最大值點.當寬為5米,長為10米時這間小屋面積最大.9.要造一圓柱形油罐,體積為V,問底半徑r和高h等于多少時,才能使表面積最小？這時底直徑與高的比是多少？解由V=p r2h,得h=Vp-1r-2.于是油罐表面積為 S=2p r2+2p rh(0<x<+¥),.令S¢=0,得駐點.因為,所以S在駐點處取得極小值,也就是最小值.這時相應的高為.底直徑與高的比為2r:h=1 : 1.10.某地區(qū)防空洞的截面擬建成矩形加半圓(如圖),截面的面積為5m2,問底寬x為多少時才能使截面的周長最小,從而

37、使建造時所用的材料最??？解設(shè)矩形高為h,截面的周長S,則,.于是(),.令S¢=0,得唯一駐點.因為,所以為極小值點,同時也是最小值點.因此底寬為時所用的材料最省. 11.設(shè)有重量為5kg的物體,置于水平面上,受力F的作用而開始移動(如圖).設(shè)摩擦系數(shù)m=0.25,問力F與水平線的交角a為多少時,才可使力F的大小為最?。拷庥蒄 cos a=(m-Fsin a)m得(),駐點為a= arctan m.因為F的最小值一定在內(nèi)取得,而F在內(nèi)只有一個駐點a= arctan m,所以a=arctan m一定也是F的最小值點.從而當a=arctan0.25=14°時,力F最小. 12.

38、有一杠桿,支點在它的一端.在距支點0.1m處掛一重量為49kg的物體.加力于杠桿的另一端使杠桿保持水平(如圖).如果杠桿的線密度為5kg/m,求最省力的桿長?解設(shè)桿長為x (m),加于杠桿一端的力為F,則有,即.,駐點為x=1.4.由問題的實際意義知,F的最小值一定在(0,+¥)內(nèi)取得,而F在(0,+¥)內(nèi)只有一個駐點x=1.4,所以F一定在x=1.4m處取得最小值,即最省力的桿長為1.4m. 13.從一塊半徑為的圓鐵片上挖去一個扇形做成一漏斗(如圖),問留下的扇形的中心角j取多大時,做成的漏斗的容積最大？解漏斗的底周長l、底半徑r、高h分別為 l=R×j, ,.

39、漏斗的容積為 (0<j<2p).，駐點為.由問題的實際意義,V一定在(0, 2p)內(nèi)取得最大值,而V在(0, 2p)內(nèi)只有一個駐點,所以該駐點一定也是最大值點.因此當j 時,漏斗的容積最大. 14.某吊車的車身高為1.5m,吊臂長15m,現(xiàn)在要把一個6m寬、2m高的屋架,水平地吊到6m高的柱子上去(如圖),問能否吊得上去？解設(shè)吊臂對地面的傾角為j時,屋架能夠吊到的最大高度為h.在直角三角形DEDG中 15sin j=(h-1. 5)+2+3tan j,故,.令h¢=0得唯一駐點°.因為,所以j=54°為極大值點,同時這也是最大值點.當j=54°

40、;時,m.所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m高,現(xiàn)只要求水平地吊到6m處,當然能吊上去.15.一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當月租金定為1000元時,公寓會全部租出去.當月租金每增加50元時,就會多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費100元的維修費.試問房租定為多少可獲最大收入？解房租定為x元,純收入為R元.當x£1000時,R=50x-50´100=50x-5000,且當x=1000時,得最大純收入45000元.當x>1000時, .令R¢=0得(1000,+¥)內(nèi)唯一駐點x=1800.因為,所以1800為極大值點,同時也是最大值點.

41、最大值為R=57800.因此,房租定為1800元可獲最大收入.習題3-6 描繪下列函數(shù)的圖形: 1.;解 (1)定義域為(-¥,+¥); (2),令y¢=0,得x=-2,x=1;令y¢¢=0,得x=-1,x=1. (3)列表x(-¥,-2)-2(-2,-1)-1(-1, 1)1(1,+¥)y¢-0+0+y¢¢+0-0+y=f(x)È極小值È拐點Ç2拐點È (4)作圖: 2.;解 (1)定義域為(-¥,+¥); (2)奇函數(shù),圖形關(guān)于原點

42、對稱,故可選討論x³0時函數(shù)的圖形. (3),當x³0時,令y¢=0,得x=1;令y¢¢=0,得x=0,. (4)列表x0(0, 1)1(1,)(,+¥)y¢+0-y¢¢0-0+y=f(x)0拐點Ç極大值Ç拐點È (5)有水平漸近線y=0; (6)作圖: 3.;解 (1)定義域為(-¥,+¥); (2),令y¢=0,得x=1;令y¢¢=0,得,. (3)列表x1y¢+0-y¢¢+0-0+y=f(x

43、)È拐點Ç1極大值Ç拐點È (4)有水平漸近線y=0; (5)作圖: 4.;解 (1)定義域為(-¥, 0)È(0,+¥); (2),令y¢=0,得;令y¢¢=0,得x=-1. (3)列表x(-¥,-1)-1(-1, 0)0y¢-無-0+y¢¢+0-無+y=f(x)È0拐點Ç無È極小值È (4)有鉛直漸近線x=0; (5)作圖: 5.解 (1)定義域為(n=0,±1,±2,× ×

44、; ×) (2)是偶函數(shù),周期為2 p .可先作0,p上的圖形,再根據(jù)對稱性作出-p, 0)內(nèi)的圖形,最后根據(jù)周期性作出-p,p以外的圖形; (3),在0,p上,令y¢=0,得x=0,x=p;令y¢¢=0,得. (4)列表x0py¢0+無+無+0y¢¢+無-0+無-y=f(x)1極小值È無Ç0拐點È無Ç-1極大值 (5)有鉛直漸近線及; (6)作圖:習題3-7 1.求橢圓4x2+y2=4在點(0, 2)處的曲率.解兩邊對x求導數(shù)得 8x+2yy¢=0,.y¢|(0,

45、 2)=0,y¢¢|(0, 2)=-2.所求曲率為. 2.求曲線y=lnsec x在點(x,y)處的曲率及曲率半徑.解,.所求曲率為,曲率半徑為. 3.求拋物線y=x2-4x+3在其頂點處的曲率及曲率半徑.解y¢=2x-4,y¢¢=2.令y¢=0,得頂點的橫坐標為x=2.y¢|x=2=0,y¢¢|x=2=2.所求曲率為,曲率半徑為. 4.求曲線x=a cos3t,y=a sin 3t在t=t0處的曲率.解,.所求曲率為,. 5.對數(shù)曲線y=ln x上哪一點處的曲率半徑最??？求出該點處的曲率半徑.解,.,.

46、令r¢=0,得.因為當時, r<0;當時,r>0,所以是r的極小值點,同時也最小值點.當時, . 因此在曲線上點處曲率半徑最小, 最小曲率半徑為. 6.證明曲線在點(x, y)處的曲率半徑為.解,.在點(x, y)處的曲率半徑為. 7.一飛機沿拋物線路徑(y軸鉛直向上, 單位為m)作俯沖飛行, 在坐標原點O處飛機的速度為v=200m/s飛行員體重G=70Kg. 求飛機俯沖至最低點即原點O處時座椅對飛行員的反力.解,;y¢|x=0=0,.向心力(牛頓).飛行員離心力及它本身的重量對座椅的壓力為79´9.8+560=1246(牛頓). 8.汽車連同載重共5

47、t,在拋物線拱橋上行駛,速度為21.6km/h,橋的跨度為10m,拱的矢高為0.25m .求汽車越過橋頂時對橋的壓力.解如圖取直角坐標系,設(shè)拋物線拱橋方程為y=ax2,由于拋物線過點(5, 0.25),代入方程得,于是拋物線方程為y=0. 01x2.y¢=0.02x,y¢¢=0.02.向心力為(牛頓).因為汽車重為5噸,所以汽車越過橋頂時對橋的壓力為 5´103´9.8-3600=45400(牛頓). *9. 求曲線y=ln x在與x軸交點處的曲率圓方程. *10.求曲線y=tan x在點處的曲率圓方程. *11.求拋物線y2=2px的漸屈線方

48、程.總習題三 1. 填空: 設(shè)常數(shù)k>0, 函數(shù)在(0, +¥)內(nèi)零點的個數(shù)為_. 解應填寫2. 提示: , . 在(0, +¥)內(nèi), 令f¢(x)=0, 得唯一駐點x=e .因為f¢¢(x)<0, 所以曲線在(0, +¥)內(nèi)是凸的, 且駐點x=e一定是最大值點, 最大值為f(e)=k>0. 又因為, , 所以曲線經(jīng)過x軸兩次, 即零點的個數(shù)為2. 2. 選擇以下題中給出的四個結(jié)論中一個正確的結(jié)論: 設(shè)在0, 1上f¢¢(x)>0, 則f¢(0), f¢(1), f(1)

49、-f(0)或f(0)-f(1)幾個數(shù)的大小順序為( ). (A)f¢(1)>f¢(0)>f(1)-f(0); (B)f¢(1)>f(1)-f(0)>f¢(0); (C)f(1)-f(0)>f¢(1)>f¢(0); (D)f¢(1)>f(0)-f(1)>f¢(0). 解選擇B . 提示: 因為f¢¢(x)>0, 所以f¢(x)在0, 1上單調(diào)增加, 從而f¢(1)>f¢(x)>f¢(0). 又

50、由拉格朗日中值定理, 有f(1)-f(0)=f¢(x), xÎ0, 1, 所以f¢(1)> f(1)-f(0)>f¢(0). 3. 列舉一個函數(shù)f(x)滿足: f(x)在a, b上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)除某一點外處處可導, 但在(a, b)內(nèi)不存在點x, 使f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a). 解取f(x)=|x|, xÎ-1, 1. 易知f(x)在-1, 1上連續(xù), 且當x>0時f¢(x)=1; 當x>0時, f¢(x)=-1; f¢(0)不存在, 即f(x)在-1, 1

51、上除x=0外處處可導. 注意f(1)-f(-1)=0, 所以要使f(1)-f(-1)=f¢(x)(1-(-1)成立, 即f¢(x)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)內(nèi)不存在點x, 使f(1)-f(-1)=f¢(x)(1-(-1). 4. 設(shè), 求. 解根據(jù)拉格朗日中值公式, f(x+a)-f (x)=f¢(x )×a, x介于x+a與x之間. 當x®¥時, x®¥, 于是. 5. 證明多項式f (x)=x3-3x+a在0, 1上不可能有兩個零點. 證明f¢(x)=3x2-3=3(x2-1

52、), 因為當xÎ(0, 1)時, f¢(x)<0, 所以f (x)在0, 1上單調(diào)減少. 因此, f(x) 在0, 1上至多有一個零點. 6. 設(shè)=0, 證明多項式f(x)=a0+a1x+× × ×+anxn在(0,1)內(nèi)至少有一個零點. 證明設(shè), 則F(x)在0, 1上連續(xù), 在(0, 1)內(nèi)可導, 且F(0)=F(1)=0. 由羅爾定理, 在(0, 1)內(nèi)至少有一個點x , 使F(x )=0. 而F ¢(x)=f(x), 所以f(x)在(0, 1)內(nèi)至少有一個零點. 7. 設(shè)f(x)在0, a上連續(xù), 在(0, a)內(nèi)可導,

53、 且f(a)=0, 證明存在一點xÎ(0, a), 使f(x)+xf¢(x)=0.證明設(shè)F(x)=xf(x), 則F(x)在0, a 上連續(xù), 在(0, a )內(nèi)可導, 且F(0)=F(a)=0. 由羅爾定理, 在(0, a )內(nèi)至少有一個點x , 使F(x )=0. 而F(x)=f(x)+xf¢(x), 所以f(x)+xf¢(x)=0. 8. 設(shè)0<a<b, 函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導, 試利用柯西中值定理, 證明存在一點xÎ(a, b)使. 證明對于f(x)和ln x在a, b上用柯西中值定理, 有,

54、xÎ(a, b), 即, xÎ(a, b). 9. 設(shè)f(x)、g(x)都是可導函數(shù), 且|f¢(x)|<g¢(x), 證明: 當x>a時, |f(x)-f(a)|<g(x)-g(a). 證明由條件|f¢(x)|<g¢(x)得知, , 且有g(shù)¢(x)>0, g(x)是單調(diào)增加的, 當x>a時, g(x)>g(a). 因為f (x)、g (x)都是可導函數(shù), 所以f (x)、g (x) 在a, x上連續(xù), 在(a, x)內(nèi)可導, 根據(jù)柯西中值定理, 至少存在一點xÎ(a, x

55、), 使. 因此, , |f (x)-f (a)|<g (x)-g (a). 10. 求下列極限: (1); (2); (3). (4)(其中a1, a2, ×××, an>0).解(1)(xx)¢=(ex l n x)¢=ex l n x(ln x+1)=xx(ln x+1). . (2) (3), 因為, 所以. (4)令. 則, 因為=ln a1+ln a2+× × ×+ln an=ln(a1×a2×××an). 即=ln(a1×a2×&

56、#215;×an), 從而. 11. 證明下列不等式: (1)當時,; (2):當x>0時, . 證明 (1)令, . 因為, 所以在內(nèi)f(x)為單調(diào)增加的. 因此當時有, 即. (2)要證(1+x)ln(1+x)>arctan x , 即證(1+x)ln(1+x)- arctan x >0. 設(shè)f(x)=(1+x)ln(1+x)- arctan x , 則f(x)在0, +¥)上連續(xù),. 因為當x>0時, ln(1+x)>0, , 所以f¢(x)>0, f(x)在0, +¥)上單調(diào)增加. 因此, 當x>0時,

57、f(x)>f(0), 而f(0)=0, 從而f(x)>0, 即(1+x)ln(1+x)-arctan x>0 . 12. 設(shè), 求f(x)的極值. 解x=0是函數(shù)的間斷點. 當x<0時, f¢(x)=1;當x>0時, f¢(x)=2x 2x(ln x+1). 令f¢(x)=0, 得函數(shù)的駐點. 列表: x(-¥, 0)0f¢(x)+不存在-0+f(x)2極大值極小值函數(shù)的極大值為f (0)=2, 極小值為. 13. 求橢圓x2-xy+y2=3上縱坐標最大和最小的點. 解 2x-y-xy¢+2yy¢

58、;=0, . 當時, y¢=0. 將代入橢圓方程, 得, y=±2 . 于是得駐點x=-1, x=1. 因為橢圓上縱坐標最大和最小的點一定存在, 且在駐點處取得, 又當x=-1時, y=-2, 當x=1時, y=2, 所以縱坐標最大和最小的點分別為(1, 2)和(-1, -2). 14. 求數(shù)列的最大項. 解令(x>0), 則, , . 令f¢(x)=0, 得唯一駐點x=e . 因為當0<x<e時, f¢(x)>0; 當x>e時, f¢(x)<0, 所以唯一駐點x=e為最大值點. 因此所求最大項為. 15.

59、曲線弧y=sin x (0<x<p)上哪一點處的曲率半徑最小？求出該點處的曲率半徑. 解y¢=cos x, y¢¢=-sin x, (0<x<p), . 在(0, p)內(nèi), 令r¢=0, 得駐點. 因為當時, r¢<0; 當時, r¢>0, 所以是r的極小值點, 同時也是r的最小值點, 最小值為. 16. 證明方程x3-5x-2=0只有一個正根. 并求此正根的近似值, 使精確到本世紀末10-3.解設(shè)f (x)=x3-5x-2, 則f¢(x)=3x2-5, f¢¢(x)=

60、6x . 當x>0時, f¢¢(x)>0, 所以在(0, +¥)內(nèi)曲線是凹的, 又f(0)=-2, , 所以在(0, +¥)內(nèi)方程x3-5x-2=0只能有一個根. (求根的近似值略) 17. 設(shè)f ¢¢(x0)存在, 證明. 證明. 18. 設(shè)f(n)(x0)存在, 且f (x0)=f¢(x0)= ×××=f (n)(x0)=0, 證明f(x)=o(x-x0)n (x®x0). 證明因為=× × ×, 所以f(x)=o(x-x0)n (x®x0). 19.設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導, 且f¢¢(x)³0. 證明對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1, x2及0£t£1, 有f(1-t)x1+tx2£(1-t)f(x1)+tf(x2). 證明設(shè)(1-t)x1+tx2=x0. 在x=x0點的一階泰勒公式為(其中x介于x與x0之間). 因為f¢