微分方程數(shù)值解習(xí)題課

1、微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解習(xí)題課一、應(yīng)用向前歐拉法和改進(jìn)歐拉法求由如下積分所確定的函數(shù)y在點(diǎn)x =0.5,1.0,1.5的近似值。解：該積分問(wèn)題等價(jià)于常微分方程初值問(wèn)題其中h=0.5。其向前歐拉格式為改進(jìn)歐拉格式為將兩種計(jì)算格式所得結(jié)果列于下表向前歐拉法改進(jìn)歐拉法000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969二、應(yīng)用4階4步阿達(dá)姆斯顯格式求解初值問(wèn)題 取步長(zhǎng)h=0.1.解：4步顯式法必須有4個(gè)起步值，已知，其他3個(gè)用4階龍格庫(kù)塔方法求出。本題的信息有：步長(zhǎng)h=0.1；結(jié)點(diǎn)；經(jīng)典的4階龍格庫(kù)塔公式為算得,4階4步阿達(dá)姆斯顯格式由此算出三、

2、用Euler方法求問(wèn)步長(zhǎng)應(yīng)該如何選取，才能保證算法的穩(wěn)定性？解：本題本題的絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)榈?，故步長(zhǎng)應(yīng)滿足四、 求梯形方法的絕對(duì)穩(wěn)定域。證明：將Euler公式用于試驗(yàn)方程，得到整理設(shè)計(jì)算時(shí)有舍入誤差，則有據(jù)穩(wěn)定性定義，要想，只須因此方法絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)閺?fù)平面的整個(gè)左半平面（？），是A-穩(wěn)定的。五、對(duì)初值問(wèn)題 證明：用梯形公式求得的數(shù)值解為并證明當(dāng)步長(zhǎng)時(shí)，收斂于該初值問(wèn)題的精確解證明：由梯形公式，有整理，得由此遞推公式和初值條件，有，則有在區(qū)間上有，步長(zhǎng)，由前面結(jié)果有由x的任意性，得所證。六、對(duì)于微分方程，已知在等距結(jié)點(diǎn)處的y的值為，h為步長(zhǎng)。試建立求的線性多步顯格式與與隱格式。解：取積分區(qū)間，對(duì)兩端積

3、分：對(duì)右端作的二次插值并積分得到線性4步顯格式若對(duì)右端在兩點(diǎn)上作線性插值并積分，有由此產(chǎn)生隱格式七、證明線性多步法存在的一個(gè)值，使方法是4階的。解： 由本題的公式，有 當(dāng)=9時(shí)，局部截?cái)嗾`差是4階的，故該多步法是4階方法。數(shù)值積分習(xí)題解答說(shuō)明 1.確定下列求積公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高，并指出對(duì)應(yīng)的代數(shù)精度（1）（2）（3）（4）6.若用復(fù)化梯形公式計(jì)算問(wèn)區(qū)間0,1應(yīng)分成多少等份才能使截?cái)嗾`差不超過(guò) ？若用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣的精度，區(qū)間0,1應(yīng)分成多少等份？7如果，證明用梯形公式計(jì)算定積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值I大，說(shuō)明其幾何意義。10構(gòu)造Gauss型求積公式11.用n=2,3的高斯-勒讓德公式計(jì)算積分13.證明等式試依據(jù)的值，用外推算法求的近似值。定理 6.4 設(shè)函數(shù)逼近數(shù)的余項(xiàng)